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19.1 二次根式及其性质
（第2课时）
人教版 数学 八年级 下册
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
a
a≥0
1
导入新知
我们都是非负数哟！
【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
1
16
4
1
a
a为任意数
【想一想】 你发现了什么？
导入新知
我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.
2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
学习目标
1. 经历探索性质 = 和= 的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.
（2）什么叫作一个数的算术平方根？如何表示？
（1）什么叫作一个数的平方根？如何表示？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即那么这个数x就叫作a的平方根.
正数有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.
a的平方根是
用 表示.
知识点 1
的性质
探究新知
（1）填空：
（2）通过（1）的计算，你能确定的化简结果吗？说说你的理由.
探究新知
，
3
0
0.5
是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数，因此有.
同理，，，分别是0.5，，0的算术平方根.
因此，
探究新知
的性质：
一般地， .
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
探究新知
归纳：
计算：
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
探究新知
利用的性质进行计算
（1）； （2） .
（1）
（2）
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
考点1
=
=
=
=1.5
解:
巩固练习
计算：
（1） （2）
（1）
（2）
=7；
=
=
=54.
解：
探究新知
利用的性质分解因式
总结：本题逆用了在实数范围内
分解因式.
在实数范围内分解因式：
（1） ; (2).
（1）
考点2
（2）
=
=
=
巩固练习
在实数范围内分解因式：
（1）； （2）
解：（1）
=
（2）
=
=.
化简下列根式，想一想.
知识点 2
的性质
探究新知
化简后，你能确定的化简结果吗？
2
0
0.1
...
平方运算
算术平方根
2 0.1
0
...
2
...
观察两者有什么关系？
填一填：
探究新知
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
【猜一猜】当a＜0时，=
？
-a
探究新知
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
探究新知
归纳：
的性质：
解：
探究新知
利用的性质进行计算
警示：，而3.14＜π，要注意a的正负性.
化简：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
考点1
（1）
（2）
（3）
（4）
=
=
=
=
=
=
=
=
【讨论】（1）在中，可否去掉“”？如果去掉“”,结论将会发生怎样的变化？
（2）第二小题中的能否直接使用性质进行化简？
探究新知
探究新知
方法点拨
计算一般有两个步骤:
①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即；
②去掉绝对值符号,即
请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
×
×
√
√
巩固练习
（ ）
（ ）
（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
3
7
4
81
巩固练习
化简：
（1）= ; （2）= ;
（3）= ; （4）= ;
（5）=______ ; （6）=_______ .
0.6
10-3
【议一议】如何区别与？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
探究新知
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
b
探究新知
几何图形与的性质相结合的题目
考点2
+ .
-1
0
1
2
a
实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 .
1
巩固练习
实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简的结果是(　　)
A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
A
a
b
0
链接中考
2.实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是( )
A.2 B. C. D.
A
1.计算的结果是( )
A. B.3 C. D.9
D
C
2. 当时，的值为（ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
课堂检测
基础巩固题
1.化简的结果是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
3.计算：
解:
课堂检测
（1）；（2）；（3）；（4） .
（1） =0.76；
（2） =15；
（3） ==2；
（4）=
5.在实数范围内分解因式：
解：
课堂检测
（1）；
（2）
（1）
=
（2）
=
=.
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.
解：根据数轴可知，
∴.
则
=
=
=．
能力提升题
课堂检测
a
b
0
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
课堂检测
拓广探索题
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
二次根式
性质
拓展性质
课堂小结
（a为全体实数）
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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