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19.2 二次根式的乘法与除法
（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
导入新知
李大爷家有一块长方形菜地，它的长为米，它的宽为米，求它的面积.
如何计算 ？
1. 掌握二次根式乘法法则.
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
学习目标
计算下列各式:
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1
二次根式的乘法
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
2
4
6
7
42
6
3
5
20
6
20
42
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
探究新知
不成立！
探究新知
【思考】
成立吗？
没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0.
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则是:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
探究新知
计算:
探究新知
简单的二次根式的乘法运算
考点1
（1）；（2） ；（3） .
解：
（1）
（2）
（3）
=
=
=；
=
=
=
= ；
=
【想一想】下边的式子如何运算？
解:
探究新知
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ ）
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
=
=
=
A. B.4 C. D.2
巩固练习
计算的结果是 ( )
A. B.
C. D.
下面计算结果正确的是( )
计算： ____.
C
B
20
【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算4a2·5a4= .
20a6
探究新知
计算:
解:
探究新知
因数不是1二次根式的乘法运算
总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即=(a≥0,b≥0).
（1）; （2）.
(1)
可类比前面的计算哦！
考点2
(2)
=
=
=；
=
=
=
探究新知
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
=(a≥0,b≥0,…,n≥0)
=(a≥0,b≥0).
计算：
巩固练习
解：
(1); (2).
（1）
=
=
=
=
=360.
（2）
=
=
=
=
=30.
解：(1)方法一：
∵
方法二：
∵
探究新知
二次根式的大小比较
比较大小:（1）与;
考点3
，
又∵，
∴
即.
又∵
∴
即.
解：(2)∵，
，
又∵52＜54，
∴
∴ ,即
探究新知
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
（2）与.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．
巩固练习
比较下列各组数的大小:
(1) 和 3;　(2) 和.
解：
（1）∵
又∵，
（2）∵
又∵ ，
∴
∴.
∴.
反过来，就得到：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般地：
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
探究新知
知识点 2
二次根式乘法法则的逆用
化简：
（1）； （2）．　　
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开得尽平方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
探究新知
利用二次根式的乘法法则的逆用计算
（1）
=
=
=36；
考点1
解：
（2）
=
=
=
=.
化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
巩固练习
（1）;
（2）;
（3）.
解:
（1）
（2）
（3）
=
=
=
=
=
=
=
=
计算：
探究新知
利用二次根式的乘法法则及逆用计算
考点2
（1）；（2） ；（3）.
解：
（1）
（2）
（3）
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=.
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
巩固练习
计算：（1）;
（1）原式=
（2）.
（2）原式=
=
=
=
解：
链接中考
1.计算的结果是（ ）
A.3 B.6 C. D.
2.对于二次根式的乘法运算,一般地，有，该运算法则成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
B
D
1.下面计算结果正确的是 ( )
A. B. 5
C. D. 5
D
基础巩固题
2.若，则（　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
A
课堂检测
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”
或“=”）：
3. 计算：
（1） =______;
（2） =______;
（3）=______.
（1）___;
（2）___ .
课堂检测
6
2
5. 计算：
解：
（1）;
（2）.
（1）
=
=
=156；
课堂检测
（2）
=
=
=
=
6.计算：
课堂检测
（1）;
（2）3.
解：
（1）
=
=
=；
（2） 3
=
=
=
1.某幅世界名画，若长为米，宽为米，求出它的面积.
解：它的面积为
能力提升题
课堂检测
=
=
= （平方米）.
2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
（1）已知,，求S；
（2）已知, ，求S.
课堂检测
解：
（1） S = ab
=
=
=
=；
（2） S = ab
=
=6
=
=
（1）； （2）．　
1. 化简：
解：　　
拓广探索题
课堂检测
（2）
=
=
（1）
=
=
=
=45；
2.已知试着用a, b表示.
解：
课堂检测
∵
又∵
∴
∴
=
=
=
=
二次根式的乘法
法则
逆用
拓展法则
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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