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19.2 二次根式的乘法与除法
（第2课时）
人教版 数学 八年级 下册
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为.
解：
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？
导入新知
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
解：.
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？
导入新知
2. 会运用除法法则及商的算术平方根的性质进行简单运算.
1. 掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
学习目标
3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化为最简二次根式.
(1) =___÷___ =____，
= _____;
计算下列各式:
(2) =___÷___=____，
(3) = ___÷___=____，
= _____;
= _____.
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1
二次根式的除法
2
3
4
5
6
7
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？
特殊
一般
探究新知
在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢？
a,b同号就可以啦
探究新知
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
探究新知
计算：
解:
探究新知
利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式
提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法
再进行运算.
（1）;
（2）.
考点1
（1）
（2）
=
=
=
计算：
解：
巩固练习
（1）;
（2）;
（3）.
（1）
（2）
（3）
=
=
=
=
=
=.
=
解:
探究新知
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式
计算:
（1） ;
（2）.
考点2
（1）
（2）
=
=
=
=
=
=
计算，看谁算的既对又快.
巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
=
=
=
=
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
探究新知
知识点 2
商的算术平方根的性质
解:
探究新知
商的算术平方根的性质的应用
化简:
（1） ;（2）
考点1
（1）
=
=
（2）
=
=
=
（3） ;
（3）
=
=
= ；
探究新知
提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.
（4）;
（5） .
（4）
= ；
=
（5）
=
= .
=
=
C
巩固练习
能使等式成立的条件是 ( )
A. x≥0 B. －3＜x≤0
C. x＞3 D. x＞3或x＜0
化简：
（1） =_____;
（2） =_____;
（3） =_____;
（4）=_____.
解：
　　问题1　设长方形的面积为，相邻两边长分别为已知
求.　
探究新知
知识点 3
最简二次根式
=
=
=
= .
=
这个结果能否再化简
问题2　观察下面式子中的二次根式.
它们有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
探究新知
探究新知
归纳总结
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含____________；
(2)被开方数中不含____________的因数或因式.
注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.
二次根式
开得尽平方
解:
探究新知
分母有理化
总结：分母形如的式子，分子、分母同乘可使分母不含根号.
计算:（1）；（2）；（3）
（2）
（3）
（1）
考点1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
探究新知
方法点拨
化成最简二次根式的一般方法:
(1)将被开方数中能开得尽平方的因数或者因式进行开方,
如;
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如
;
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如.
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式.
巩固练习
（1）; （2）; （3）; （4）; （5） .
（1）
（2）
=
=；
=
= .
=
=
（4）
=
=
=
= .
（5）
=
=
=
= .
1.将化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
链接中考
D
2.计算= .
1.化简的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
C
课堂检测
基础巩固题
3.能使等式成立的x的取值范围是（ 　 ）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2
C
4.化简：
解：
课堂检测
（1）;
（2） ;
（3）.
（1）
=
=
=
=
=
=
=
=
（2）
（3）
= .
在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有.若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400，R=100，t=15时，
课堂检测
能力提升题
=
=
=
= (安培).
自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
按计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
课堂检测
拓广探索题
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
而按计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
二次根式的除法
法则
性质
拓展法则
相关概念
分母有理化
最简二次根式
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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