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19.3 二次根式的加法与减法
（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
导入新知
1. 理解二次根式可以合并的条件.
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算.
学习目标
2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
在七年级我们就已经学过合并同类项的法则.观察下图并思考.
由上图，易得2a+3a=5a.
当a=时，分别代入左右得;
当a=时，分别代入左右得;......
知识点 1
二次根式可以合并的条件
探究新知
你发现了什么？
因为，由前面知两者可以合并.
当,时，得.
a
2a+3b
b
=
+
b
b
a
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
探究新知
这两个二次根式可以合并吗？
你又有什么发现吗
探究新知
归纳总结
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断;
2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
D
下列二次根式，不能与合并的是________(填 序号）.
②
巩固练习
⑤
① , ② , ③, ④ , ⑤ .
若最简二次根式与可以合并，求的值.
解：由题意得
即
探究新知
利用二次根式可以合并的条件求字母的值
提示：求可以合并的最简二次根式中字母的取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.
解得
考点1
=
=
= .
1
（1）与最简二次根式能合并，则m =_____.
1
巩固练习
完成下列各题：
（2）若两个最简二次根式与可
以合并,则a=_____，b=_____.
1
【讨论】与能直接相加吗 如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.
（化简）
（利用分配律合并）
解：
探究新知
知识点 2
二次根式的加减
=
=
=
【思考】如何计算？
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
===
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
加减法的运算步骤：
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
解：
计算:
（1） （2）
（3）
二次根式的加减计算（较简单）
探究新知
考点1
（1）
=
= ；
=
= ；
=
= .
（2）
（3）
下列计算正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为______.
巩固练习
计算:
解：
探究新知
二次根式的加减运算（较复杂）
（1）;
计算时，有括号，一定要先去括号！
考点2
（2）.
（1）
（2）
=
=
=
= .
解：
计算:（1）
（2）.
巩固练习
（1）原式=
=
（2）原式=
=3
有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
S=8dm2
S=18dm2
知识点 3
二次根式的加减的应用
探究新知
分析：
由图可知，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
探究新知
解：
大正方形木板的边长为dm.
因为，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为dm，
而
由可知，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
巩固练习
解：
答：圆环的宽度d为cm.
R-r
= .
1.下列二次根式中,与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2. 计算：= .
链接中考
C
基础巩固题
2.下列计算正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
1.与能合并的二次根式是( )
A. B. C. D.
课堂检测
D
3.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为 .
4.计算:
（1）= ;
（2）= ;
（3）= ;
（4）= .
课堂检测
解：
5.计算:
（1）;
（2）.
课堂检测
（1）
=
=；
（2）
=
=
6.如果最简二次根式与可以合并，那么要使式子有意义，求x的取值范围.
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5.
∴=
∴20-2x≥0，x-5＞0.
∴5＜x≤10.
课堂检测
已知a,b,c满足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得
(2)能.理由如下：
课堂检测
能力提升题
∴能构成三角形，周长为
.
∵即
又∵∴
.
已知a，b都是有理数，现定义新运算：，求的值．
解：∵，
∴
=
=
=
拓广探索题
课堂检测
二次根式的加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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