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19.1 二次根式及其性质
（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
　　广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.实际上，广播电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6400 km.如果两个广播电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .
公式r=中的表示什么意义？
式子表示什么？
导入新知
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
学习目标
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
（1）一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，那么t 为_____．
探究新知
知识点 1
二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:
（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 .
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示65，的算术平方根．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
（2）这些式子有什么共同特征？
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是：，，．
一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. 二次根式是代数式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
探究新知
归纳总结
探究新知
当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
由，得
当时，在实数范围内有意义.
【思考】当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
呢？
因为，所以x可以为任意实数.
因为，所以 .
解：
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究新知
利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3）；（4）;
（5） ;（6）；（7）.
考点1
下列各式是二次根式吗
是
是
是
是
是
巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：
∴
探究新知
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1）;
考点2
（2）.
（2）由题意得
∴.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
（1）由题意得，
2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为任何实数， ，
∴当x=1时，在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.
探究新知
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
（1）
（2）
(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；
(3)多个二次根式相加如有意义的条件：
(2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；
(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：
A≥0且B≠0.
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
x取何值时,下列二次根式有意义
巩固练习
（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
探究新知
知识点 2
二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知.
探究新知
二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
归纳总结
解：
由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,
解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
探究新知
利用二次根式的双重非负性求字母的值
若，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
考点1
已知和互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得
所以3x-y-1=0，2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9.
∴x+4y的平方根为±3.
巩固练习
探究新知
二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
已知实数x、y满足等式，
求的值.
解：
由题意得
解得x=2.
把x=2代入得y=-5.
所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(2+5)2=49.
总结：若，则根据被开方数0，可得a=0.
考点2
已知,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=7.∴y=2.
∴3x+2y=3×7＋2×2=25.
∴3x+2y的算术平方根为5．
巩固练习
链接中考
1.若在实数范围内有意义,则实数x的值可以是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
D
3.若代数式有意义,则实数x的取值范围是 .
2.已知x,y为实数,若满足,则的值
为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
D
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是(　　 )
A. B. C. D.
2.二次根式 中的x的取值范围是（　 　）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
D
D
-1
0
4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
课堂检测
5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得 m≥2且m≠-1，m≠2，
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
课堂检测
∴m＞2．
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3.∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
能力提升题
课堂检测
先阅读，后回答问题：
当x为何值时，有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0.
由乘法法则得或
解得x≥1 或x≤0.
即当x≥1 或x≤0时，有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？
解：由题意得.
则或
解得或
即当或时，有意义．
课堂检测
二次根式有意义的条件和非负性
二次根式的定义
在有意义的条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集
二次根式的双重非负性
课堂小结
形如的式子叫作二次根式
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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