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23.3 一次函数与方程（组）、不等式
人教版 数学 八年级 下册
　　今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时 “x+y=5”来了.
二元一次方程
一次函数
x+y=5
到我这里来
到我这里来
导入新知
x+y=5应该坐在哪里呢？
1. 认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．
2. 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
学习目标
3. 经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想.
我们先来看下面两个问题：
（1）解方程2x-1=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=2x-1的值为0？
问题：
1. 对于2x-1=0 和y=2x-1，从形式上看，有什么相同和不同？
2. 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
探究新知
知识点 1
一次函数与一元一次方程
作出函数y=2x-1的图象.
【思考】函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
与x轴的交点（0.5，0）.
即当x=0.5时，函数y=2x-1的值为0，这说明方程2x-1=0的解是x=0.5.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
0.5
-0.5
问题(1)解方程2x-1=0，
得x=0.5.
所对应的（ ）为何值？
实质上这可以通过解方程2x-1=0,得出x=0.5.因此，这两个问题实际上是同一个问题.
问题(2)就是要考虑当函数y=2x-1的值为（ ）时，
自变量x
0
从图象上看：
探究新知
O
x
y
-1
0.5
【思考】由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
探究新知
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数值y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.从函数的图象考虑,相当于已知直线y=ax+b,求它与x轴交点的横坐标.
求ax+b=0(a≠0)的解
x为何值时，
y= ax+b的值为0
求ax+b=0(a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
探究新知
一次函数与一元一次方程的关系
以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2=0 当x为何值时, y=3x－2的值为0
2 解方程8x+3=0
3 当x为何值时, y= -7x+2的值为0
4 解方程3x-2=8x+3
当x为何值时,y=8x+3的值为0
解方程-7x+2=0
当x为何值时, y=-5x-5的值为0
巩固练习
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17,
解得 x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
探究新知
考点 1
利用一次函数、方程及图象解答问题
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.
由2x+5=17, 得 2x－12=0.
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
探究新知
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.
由右图可以看出当y =17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
探究新知
当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8.
已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( )
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
-2
-2
-2
-2
-2
A
B
C
D
B
(1)x=-4；
(2)x=-8.
巩固练习
解:
【讨论】观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？
（1）
2x-1＞0；
（2）
2x-1＜0.
两个不等式相同的特点是：不等号左边都是 ，不等号右边都是____；
不同点是：不等号的方向_______.
不同
0
探究新知
知识点 2
一次函数与一元一次不等式
2x-1
【讨论】你能从函数的角度对以上两个不等式进行解释吗？
的函数值分别为 、 时，求自变量x的取值范围.
解释1：这两个不等式相当于在一次函数
y=2x-1
大于0
小于0
探究新知
2x-1＞0
2x-1＜0
解释2：在直线 y=2x-1
上取纵坐标分别
满足条件 、 的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
大于0
小于0
探究新知
0.5
-0.5
O
x
y
-1
0.5
探究新知
归纳总结
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax +b的值 或 时,求自变量x的_________；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax +b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
取值范围
大于0
小于0
求kx+b＞0(或<0）
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0）
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
探究新知
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
探究新知
考点 2
利用一次函数的图象解一元一次不等式
解：（1）由图象可知，
不等式-3x+6>0 的解集是图象位于
x轴上方的x的取值范围,即x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
探究新知
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，
x的取值范围是（ ）
A.x>-4 B. x>0
C. x<-4 D. x<0
C
巩固练习
y
y=kx+b
x
已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞-2 B．x＜-2
C．x＞-1 D．x＜-1
B
巩固练习
-2
-1
x
y
0
y=kx+b
同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5 m 高处出发，以1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面15 m 高处出发，以0.5 m/s 的速度上升．两个气球都上升了1 min．
(1)分别写出表示两个气球所在位置的
高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)
的函数解析式．
h1
h2
气球上升时间x满足0≤x≤60.
气球1 ：y =x+5；
气球2 ：y =0.5x+15．
探究新知
解:
知识点 3
一次函数与二元一次方程组
【讨论】一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y =0.5x+15
二元一次方程
y -0.5x =15
二元一次方程
y =0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
探究新知
由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
【讨论】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y =0.5x+15
探究新知
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y =x+5
y =0.5x+15
h1
h2
(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
探究新知
　　二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
P（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
探究新知
探究新知
归纳总结
一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.
（2）0~20min时，2 号气球比1 号气球高.
探究新知
如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
探究新知
考点 3
一次函数的图象与二元一次方程组
解方程组
y =2x+2，
y =-x+3，
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
得
即直线l1与l2 的交点坐标为
探究新知
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
P
y=ax+b
y=cx+d
巩固练习
B
1.若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 上，则常数b=（　　）
A． B．2 C．﹣1 D．1
链接中考
2.（2025·广东中考）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（　　）
A B C D
B
链接中考
3.（2025·新疆中考）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．两车出发2h后相遇
B．A，B两地相距280km
C．快车比慢车早h到达目的地
D．快车的速度为80km/h,慢车的速度为60km/h
C
链接中考
1.直线 与x轴的交点是（ ）
A．（0，-3） B．（-3，0）
C．（0，3） D．（0，-3）
2.方程 的解是 ，则函数 在自变量x等于 时的函数值是8.
B
x=2
2
基础巩固题
课堂检测
3. 直线 在坐标系中的位置如图，则方程 的解是x=___.
-2
2
x
y
0
-2
课堂检测
0
4.根据图象，你能直接说出一元一次方程 的解吗？
解：由图象可知x+3=0的
解为x= 3．
3
x
y
0
-3
从“形”上看
直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0），这说明方程x＋3＝0的解是x=-3.
课堂检测
0
5.当自变量取何值时，函数 与
的值相等？这个函数值是多少？
解： 由已知可得：
2.5x+ 1 = 5x+ 17,
解得：x=-6.4
y=5 ×(- 6.4 )+ 17
y=-15
课堂检测
6.用函数图象来解5x+6>3x+10.
解：化简，得2x-4>0.画出直线y=2x-4的图象.
-4
2
y
x
0
y=2x-4
可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0.
所以不等式的解集是x>2.
课堂检测
一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）
A.x<5 B.x>5
C.x>-5 D.x>25
1
B
课堂检测
能力提升题
y=4x+5
y=3x+10
x
y
直线y=3x+ 6与x轴的交点的横坐标的值是方程2x+a=0 的解，求a的值.
解：由题意可得：
当直线y=3x+ 6与x轴相交时，y=0
则3x+ 6=0, 解得：x= -2,
当x= -2 时，
2 × (-2) + a =0，
解得：a = 4.
课堂检测
拓广探索题
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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