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(共32张PPT)
23.1 一次函数的概念
人教版 数学 八年级 下册
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系.并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温.
函数解析式为y=5-6x.也可以写成y=-6x+5.
导入新知
1.理解一次比例函数的概念.
2. 能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.
学习目标
3.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数解析式，并解决简单的实际问题.
在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.写出下列问题中的函数关系式：
(2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h随这些练习本的本数n的变化而变化；
(1)铁的密度为7.8g/cm3 ,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm3)大小变化而变化；
探究新知
知识点 1
一次函数的概念
解：是函数关系，函数解析式为m=7.9V.
解：是函数关系，函数解析式为h=0.5n.
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化.
（4） 把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化.
解：是函数关系，函数解析式为y=0.1x+22.
解：是函数关系，函数解析式为y=-5x+50 (0≤x≤10).
探究新知
这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的形式.
（2）h = 0.5 n
（3）m = 1 h + 105
（4）y = -5 x + 50
（1）m = 7.9 V
y
k(常数)
x
=
探究新知
+b
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
一次函数的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是 次;
（2）比例系数 ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
1
k≠0
探究新知
为什么强调k是常数，k≠0呢？
【讨论】一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
探究新知
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
答：（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
巩固练习
已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值.
解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，
解得：k＝1.
提示：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k ≠0）的形式.
探究新知
考点 1
利用正比例函数的概念求字母的值
（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=_______.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=________.
k≠1
2
4
巩固练习
求出下列各题中字母的值.
解： ∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1;
∴
解得k=2,b=3.
一次函数 ，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.求k和b的值.
探究新知
考点 2
利用一次函数一般式求字母的值
已知一次函数y=kx-b，当x=3时，y=8；当x=-3时，y=-10．
求k和b的值．
解：∵当x=3时，y=8；当x=-3时，y=-10;
∴
解得k=3，b=1.
巩固练习
已知函数y=(m-2)x+4-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：（1）由题意可得m-2≠0，
解得m≠2.
即m≠2时，这个函数是一次函数.
探究新知
考点 3
利用一次函数的概念求字母的值
注意：利用定义求一次函数
解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；
（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，
解得m=-2.
即m=-2时，这个函数是正比例函数.
已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： ,因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 ,
解得m= -1.
巩固练习
探究新知
考点 4
利用一次函数关系求正比例函数的解析式
若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y关于x的解析式；
（2）当x=9时，求出对应的函数值y.
解：（1）设该正比例函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式得：-6=2k，
解得k=-3，
所以y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x；
（2）把x=9代入解析式得：y=-3×9=-27.
例 一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm.
（1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
知识点 2
探究新知
由实际问题确定一次函数解析式
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2 cm可知，挂x kg的物体时，弹簧伸长2x cm.
因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12.
（2）把x=5代入，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm.
探究新知
如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15-x，是一次函数.
(2)由题意可得x=2（15-x）.
解得x=10，所以y=15-x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
巩固练习
1.（2025·上海中考） 下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A．y=3x+1 B．y=3x2 C．y= D．y=
链接中考
D
链接中考
2.根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；
小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．
解：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；
（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，
∴m＝16∴当时地面气温为16℃.
∵x＝12＞11，
∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）.
假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．
链接中考
1.下列各函数是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.若 是正比例函数，则m=_______.
3.已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=6，则与之间的函数关系为 .
C
1
y=-6x
基础巩固题
课堂检测
4. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②③ B. ①③④
C. ①④ D. ②③④
C
课堂检测
5.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
6. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
n=2
m≠2
课堂检测
7.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
∴ y＝3x－9，
y是x的一次函数．
y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
解 ：(1)设y＝k(x－3),
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3),
解得 k＝3，
(2)当x＝2.5时，
∴y＝3(x－3),
课堂检测
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于5000元的部分不收税；月收入超过5000元但低于8000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入5360元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（5360-5000）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于5000元而又小于8000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式.
解:y=0.03×(x-5000) (5000课堂检测
能力提升题
(2)某人月收入为5660元，他应缴所得税多少元？
解:当x=5660时，y=0.03×(5660-5000)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则 19.2=0.03×(x-5000),
解得 x=5640.
答:此人本月工资是5640元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
课堂检测
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线， ∴BD= .
即
∴h是x的一次函数，且
课堂检测
拓广探索题
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
A
B
C
D
（2）当 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
解:
（2）当 ，有 .
解得x=2.
（3）∵
即 ∴S不是x的一次函数.
课堂检测
一次函数的概念
形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）
特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数
由实际问题确定一次函数解析式
课堂小结
一次函数的概念
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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