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21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
A
B
C
导入新知
1. 经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，逐步掌握说理的基本方法.
2. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
学习目标
3. 在探索过程中发展我们的合理推理意识、培养主动探究的习惯.
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形，
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
探究新知
知识点 1
平行四边形的判定定理1
如何证明这个结论呢？
B
D
C
A
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3.
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
探究新知
你能用平行四边形的定义来证明吗？
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
A
B
C
D
A
B
C
D
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
探究新知
考点1 1
利用两组对边分别相等识别平行四边形
如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形．
巩固练习
怎么处理本课开头遗留的玻璃碎片问题呢？接下来跟着老师一起解决吧！
A
B
C
探究新知
知识点 2
平行四边形的判定定理2
D
A
B
C
观看上面的图形，李明想使∠B=∠D，∠A=∠C即可，你觉得可以吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么
探究新知
D
A
B
C
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
猜想，对吗？
探究新知
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
同理可证AB∥CD.
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °,
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °,
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）,
即∠A+ ∠B=180 °.
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）.
A
B
C
D
探究新知
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2:
符号语言：
A
B
C
D
∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
探究新知
A
B
C
D
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，又∵∠D＝∠B＝55°，
探究新知
考点1
利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
∴四边形ABCD是平行四边形．
判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：
∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （　　）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
巩固练习
如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
猜想：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
A
C
B
D
探究新知
知识点 3
平行四边形的判定定理3
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
∴△ADO ≌△CBO.
OA=OC，
证明：
OB=OD，
∠AOD=∠COB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
D
B
O
2
1
在△ADO 和△CBO中，
∴ ∠1=∠2.
∴AD∥BC.
同理AB∥CD.
探究新知
A
D
C
B
O
几何语言：
∵OA=OC ， OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
探究新知
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3:
如图， □ABCD 的对角线AC，BD相交于点O ，E ，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
探究新知
考点1
利用平行四边形的判定定理3判定平行四边形
根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是( )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,
BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
C
4
5
巩固练习
1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件________________，使四边形ABCD是平行四边形．
链接中考
AD∥BC
2. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF=AD，连接CE，DF．求证：四边形DFCE是平行四边形．
链接中考
证明：
又∵DE∥FC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∵∠ACB=90°，AC=BC,
∴∠A=∠B=45°.
∵DE //BC,
∴∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B=45°.
∴∠A=∠AED.
∴AD=DE.
∵FC=AD,∴DE=FC.
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC , BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB∥CD，AD∥BC B. OA＝OC，OB＝OD
C. AD＝BC，AB∥CD D. AB＝CD，AD＝BC
C
C
课堂检测
基础巩固题
B
O
D
A
C
2.在四边形ABCD中，AC , BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm， CD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AO=10cm，BO=18cm，那么当AC=___ cm， BD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形．
A
B
C
D
O
8㎝
4㎝
8
4
20
36
课堂检测
3.如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
课堂检测
∵AC∥DE，AC＝DE，
∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB.
又∵AC＝DE，∴△ABC≌△DBE.
∴AB＝DB，CB＝EB.
∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，
∴BF=BC,BG=BE.∴BG＝BF.
∴四边形AGDF是平行四边形.
证明：
4.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）.
∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS）.
∴GH=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂检测
证明：
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD , CE，交于点P．
求证：四边形ABPE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB=BC=CD=DE=AE.
∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°.
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A.
∴四边形ABPE是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
课堂检测
能力提升题
如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
课堂检测
拓广探索题
平行四边形的判定
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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