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21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
（第2课时）
人教版 数学 八年级 下册
取两根等长的木条AB,CD，将它们平行放置，再用两根木条BC,AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
导入新知
D
C
B
A
2. 会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.
1. 掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法 .
学习目标
3. 进一步培养学生演绎推理的能力 .
以小组讨论的形式探讨这一问题.
我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
探究新知
知识点
平行四边形的判定定理4
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明，如果不是，请举出反例说明. xk
小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形.
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.
探究新知
问题3 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
图2
E
F
G
H
图1
我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形.
请你猜想，这个命题成立吗？
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
探究新知
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.
已知：如图 ，在四边
形ABCD中，ABCD，
AB=CD.
求证：四边形ABCD是
平行四边形.
探究新知
B
D
A
C
证明：方法1：
如图， 连接 AC.
∵AB //CD ，
∴∠1=∠2．
又 ∵AB =CD ，
AC =CA ，
∴△ABC≌△CDA．
∴BC =DA ．
∴四边形ABCD是平行四边形．
探究新知
B
D
A
C
2
1
证明：方法2：
∵AB //CD ，
∴∠1=∠2 ．
又 ∵AB =CD ，
AC =CA ，
∴△ABC≌△CDA ．
∴∠BCA=∠DAC ．
∴AD //BC ．
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，连接 AC．
探究新知
B
D
A
C
2
1
平行四边形的判定定理4：
在四边形ABCD中，
∵AB//CD，AB =CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
符号语言：
提示：同一组对边平行且相等.
探究新知
B
D
A
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =CD，EB //FD．
又 ∵EB = AB ，FD = CD，
∴EB =FD ．
∴四边形EBFD是平行四边形．
如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
探究新知
考点 1
直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形
证明：
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥ EF，AD=EF，
EF∥ BC， EF=BC.
∴AD∥ BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
巩固练习
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝DB ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS).
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形BFCE是平行四边形．
考点 2
探究新知
平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形
证明：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，延长DC到点E，使CE=BD，过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF.求证：四边形ADFE是平行四边形．
巩固练习
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD.
∵CE=BD，
∴CD=CE.
∵EF∥AD，
∴∠DCA=∠EFC.
又∵∠DCA=∠ECF.
∴△ACD≌△FCE（AAS）.
∴AD=EF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
探究新知
考点 3
平行四边形的性质和判定的综合题目
解：BF＝CE．理由如下：
∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE.
∴FD=CE.
∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD.
∴∠FBD=∠FDB.
∴BF=FD.
∴BF＝CE.
如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除 ABCD以外的所有的平行四边形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AD=BC.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=EB=DF=FC.
∴四边形ADFE是平行四边形，
四边形EFCB是平行四边形，
四边形BEDF是平行四边形.
巩固练习
如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE=BD，BE=CD．
（1）求证：△ABE≌△BCD;
（2）连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形．
链接中考
证明：（1）∵点B是AC的中点，∴AB＝BC.
AE= BD ，
AB=BC，
BE= CD ，
在△ABE与△BCD中，
∴△ABE≌△BCD（SSS）；
（2）∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD.
∴BE∥CD. 又∵BE=CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选项是（　　）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
C
课堂检测
基础巩固题
2.四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(　　)
A．3种　　 B．4种　　 C．5种　　 D．6种
B
O
D
A
C
B
课堂检测
3.在 ABCD中，E,F分别在BC，AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （　　）
A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
B
课堂检测
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF.∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE．
∴四边形ABED是平行四边形．
课堂检测
证明：
如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
由题意，得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′.
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA.
∴∠DAD′=∠DED′.
∴四边形DAD′E是平行四边形.
∴DE=AD′.
课堂检测
能力提升题
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC.∴CE∥D′B，CE=D′B.
∴四边形BCED′是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．
（1）用含t的代数式表示：
AP=_____； DP=________；
BQ=________；CQ=________；
tcm
(12-t)cm
(15-2t)cm
2tcm
课堂检测
拓广探索题
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，
PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15-2t，
解得t=5．
∴t=5时四边形APQB是平行四边形.
课堂检测
解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，
∵AD∥BC，
∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12-t=2t，解得t=4s，
∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
课堂检测
平行四边形的判定
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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