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21.2 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
人教版 数学 八年级 下册
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！
【想一想】为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗
导入新知
1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.
2. 掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.
学习目标
3. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
1.什么叫三角形的中线？有几条？
2.三角形的中线有哪些性质？
A
B
C
D
E
F
　　连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.
①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.
②三角形的中线相交于同一点.
探究新知
知识点 1
三角形的中位线
三角形有3条中线.
A
B
C
D
E
DE是△ ABC的
中位线.
什么叫三角形的中位线呢？
探究新知
定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D ， E分别是AB ， AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
探究新知
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，如图，△ABC的中位线是DE，DF，EF.
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
探究新知
问题3 如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
探究新知
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析1：
D
E
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
问题4 如何证明你的猜想？
探究新知
B
C
A
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
探究新知
B
C
A
延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴△ADE≌△CFE.
∴∠ADE=∠F，
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法1：
AD=CF.
∴BD CF.
又∵ ，
∴DF BC .
∴ DE∥BC， .
∴CF AD ,
探究新知
证明：
B
C
A
D
E
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF , CF , DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴CF AD .
∴CF BD .
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， .
探究新知
B
C
A
证法2：
A
B
C
D
E
如图，D ， E ， F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE ， DF ， EF都是△ABC的中位线.
F
DE∥BC且DE= BC;
同理:DF∥AC且DF= AC;
EF∥AB且EF= AB.
探究新知
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE= BC.
符号语言：
有何作用？
（ ∵AD=BD, AE=CE )
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.
探究新知
A
B
C
D
E
F
提示：
①中位线DE,EF,DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和四边形BDEF，四边形BFED和四边形CFDE，四边形ADFE和四边形DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
探究新知
如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.
解：∵D,E分别为AC,BC的中点，
∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2.
∴AD＝DF＝3.
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
探究新知
考点 1
利用中位线定理求线段
三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和12cm ，连接各边中点所成三角形的周长是________.
A
B
C
D
E
F
6
10
12
14 cm
6
5
3
巩固练习
如图， A ，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A，B两点的实际距离？根据是什么？
A
B
C
测出MN的长，就可知A，B两点的距离.
M
N
分别找出AC和BC的中点M，N.
若MN=36 m，则AB=
2MN=72 m.
如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
巩固练习
已知: 如图,在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,
CD,DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AD=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,且HG＝AC.
同理EF ∥ AC,且EF ＝AC.
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
E
F
G
H
A
B
C
D
探究新知
考点 2
利用三角形的中位线判断平行四边形
求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.
如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证：四边形DGFE是平行四边形.
A
B
C
G
F
E
D
O
∴四边形DGFE是平行四边形.
证明：
在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE,
=
∴ .
=
∴ .
=
∴ .
在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF,
巩固练习
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M ，N ， P分别是AD ， BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.
考点 3
利用三角形的中位线求角度
探究新知
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°.
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
A
C
B
D
E
5cm
如图， △ABC中,D , E分别是AB , AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED= .
60°
巩固练习
60°
如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°,则∠AMN = .
61°
A
M
B
C
N
1. 如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（　　）
A．20° B．40°
C．70° D．110°
链接中考
C
2. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE，下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
链接中考
C
A．OE=AD
B．OE=BC
C．OE=AB
D．OE=AC
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （　　）
A.8 B.10
C.12 D.16
D
课堂检测
基础巩固题
2.如图，点 D ， E ， F 分别是 △ABC 的三边AB ， BC ， AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= ；
（2）已知三边AB ， BC ， AC分别为12 ， 10 ， 8， 则△DEF的周长为 .
50°
15
A
B
C
D
F
E
课堂检测
3.如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵ ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= CD，
∴OE= BC.
∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15.
课堂检测
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB（SAS).
∴CE＝BF.
∴CD＝2CE.
F
课堂检测
如图，E,F,G,H分别为四边形ABCD四边的中点．
求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E,F,G,H分别为四边形ABCD四边的中点，
∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD.
∴EH∥FG且EH=FG ，
∴四边形EFGH为平行四边形.
能力提升题
课堂检测
G
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG ， FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
拓广探索题
课堂检测
三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
课堂小结
三角形的中位线的概念
连接三角形两边中点的线段
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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