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21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 矩形（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？
我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？
导入新知
1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
学习目标
3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
一个角是
直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形.
探究新知
知识点 1
矩形的定义
【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗 若是它们之间有何关系呢
探究新知
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
探究新知
具备平行四边形所有的性质.
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
知识点 2
矩形的性质
探究新知
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A
B
C
D
探究新知
做一做
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
探究新知
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
探究新知
你能证明吗？
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
又 ∵矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC = ∠DCB = 90°,
又∵AB = DC ， BC = CB,
∴△ABC≌△DCB (SAS).
∴AC = BD,
即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
探究新知
矩形特殊的性质:
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
探究新知
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言：
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB.
∴AD =BC ，CD =AB.
∴AC= BD.
A
B
C
D
O
∴AO= CO ，OD = OB.
探究新知
矩形的性质
∴ ∠BAD=∠ABC=
∠BCD=∠ADC=90°.
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°，AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC 与 BD相等且相互平分.
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
探究新知
考点 1
利用矩形的性质求线段的长
矩形的对角线相等且互相平分
∴△OAB是等边三角形.
如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
巩固练习
将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.
G
D
C
B
A
A′
解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, AB=CD， .
又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG,
∴△ADG≌ △ A′DG.
方法点拨：在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法.
∴x2+42=(8-x)2 解得x=3. ∴ AG=3.
设AG=x，则BG=AB-AG=8-x，
在Rt△GA′B中，由勾股定理得,A′B2+A′G2=BG2
∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4，
探究新知
考点 2
利用矩形的性质解答折叠问题
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
又由折叠知,∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3.∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
巩固练习
∴∠2＝∠3.
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
知识点 3
探究新知
矩形的对称性及相关性质
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
矩形的性质：
中心对称： .
对称中心： .
中心对称图形
对角线的交点
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
O
这是矩形所特有的性质
探究新知
A
B
C
D
O
两对全等的等腰三角形.
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
探究新知
A
B
C
D
O
四个全等的直角三角形.
探究新知
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
　　如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
B
C
O
A
　　Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
知识点 4
直角三角形的性质
探究新知
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
O
C
B
A
D
证明:延长BO至D, 使OD=BO,
连接AD,DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC .
∴BO= BD= AC.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究新知
如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4.
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
探究新知
考点1 1
利用直角三角形的性质解答题目
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E,F在线段AD的垂直平分线上.
∴EF垂直平分AD.
探究新知
提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
A
B
C
O
巩固练习
答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
1. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（ ）
链接中考
A.1 B.5 C.2 D.
D
2. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P，若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=（ ）
链接中考
C
A.95° B.100°
C.110° D.145°
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
课堂检测
基础巩固题
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
课堂检测
4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
.
∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.
课堂检测
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
课堂检测
能力提升题
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
课堂检测
拓广探索题
∴GF⊥DE.
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
课堂小结
定义
性质
直角三角形的性质
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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