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21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形（第2课时）
人教版 数学 八年级 下册
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形.
你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？
导入新知
2. 能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
1. 理解并掌握矩形的判定方法 .
学习目标
3.提高学生合情推理和演绎推理的能力.
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1 请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？
　　除了矩形的定义外，有没有
其他判定矩形的方法呢？
知识点 1
矩形的判定定理1
探究新知
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
证明
逆命题
（修正）
问题2 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
性质　
猜想　
判定定理 　
探究新知
同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
　　小明的猜想:　对角线相等的四边形是矩形．
　　
　　
问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
【讨论】你能证明这一猜想吗？
探究新知
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等还平分.
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明:
∴ AB=DC.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.
∵ AB//CD ,
∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
又∵四边形ABCD是平行
四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
又∵ AC=DB，BC=CB,
探究新知
对角线相等的平行四边形是矩形 .
矩形的判定定理1：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
探究新知
如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC.
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
探究新知
考点1 1
利用对角线判定矩形
A
B
C
D
O
1
2
如图 ABCD中, ∠1= ∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AO=CO= AC,DO=BO= .
又∵∠1= ∠2，
∴AO=BO.∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
巩固练习
问题1 前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，
它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
探究新知
知识点 2
矩形的判定定理2
做一做 某同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
探究新知
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC , AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探究新知
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：
探究新知
矩形的判定定理2：
探究新知
归纳总结
矩形的几种判定方法:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
方法3：
如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形 EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AF,DF分别平分∠BAD,∠ADC,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠H=∠AEB=90°.
∴∠F=90°.
∴ ∠DAF+∠ADF= ∠BAD+ ∠ADC= (∠BAD+∠ADC)=90°.
考点1 1
利用角判断四边形是矩形
探究新知
∴AB∥CD.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
A
B
C
M
N
O
)
1
)
2
(
5
(
4
(
3
(
6
(1)求证:OE=OF.
E
F
证明：∵CF平分∠ACD，
∴∠1=∠2.
又∵ MN∥BC，
∴∠1=∠3.
∴ ∠2=∠3.
同理可证：OC=OE.
∴OE=OF.
D
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形
∴OC=OF.
(1)
巩固练习
解：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.
理由：由（1）知OE=OF,
又AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EC, FC分别平分∠ACB ,∠ACD,
∴∠2+∠4=90°,即∠ECF=90°.
∴四边形 AECF是矩形.
(2)
A
B
C
M
N
O
)
1
)
2
(
5
(
4
(
3
(
6
E
F
D
巩固练习
1. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　）
A．AB∥CD
B．AB=BC
C．∠B=∠D
D． AC=BD
链接中考
D
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形.
（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD=180°-∠ADC=90°.
又∵AE⊥AD，
∴∠EAD=90°.
∴四边形AECF是矩形．
链接中考
（2）若BC=4，CE=3，求EF的长．
解：由（1）可知四边形ADCE是矩形，
∴AE=DC，CE=AD=3,∠AEC=90°.
∵D是BC的中点，BC=4,
∴DC=AE=BC=2.
在△ADC中，∠ADC=90°，
∴AC===.
∵EF⊥AC,
∴EF·AC=AE·CE,即·=×2×3.
解得EF=.
链接中考
1.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC=BD，则下面条件能判定四边形ABCD是矩形的是 （　　）
A．AB=CD
B．OA=OC，OB=OD
C．AC⊥BD
D．AB∥CD，AB=BC
B
基础巩固题
课堂检测
A
B
C
D
O
2.如图,直线EF∥MN , PQ交EF , MN于A , C两点,AB , CB , CD , AD分别是∠EAC , ∠MCA , ∠ ACN , ∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
课堂检测
3.如图,矩形ABCD的对角线AC , BD相交于点O，E ， F ， G ， H分别是AO ， BO ， CO ， DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
AO=BO=CO=DO.
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
课堂检测
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，
即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°.
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
课堂检测
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．
课堂检测
能力提升题
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ， 所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即经过6s，四边形PQCD是平行四边形.
拓广探索题
课堂检测
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形.
课堂检测
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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