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(共37张PPT)
21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱形（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
下面的图形中有你熟悉的吗？
导入新知
如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等时,这又是一类特殊的平行四边形——菱形.那么什么样的图形是菱形 为什么说菱形是特殊的平行四边形 菱形具有怎样的性质 这些就是我们这节课要解决的问题.
导入新知
1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题.
2. 探索并证明菱形的性质定理.
学习目标
3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法.
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
有一个角是直角
有一组邻边相等
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
四边形

探究新知
知识点 1
菱形的定义
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形
邻边相等
探究新知
有一组 的
邻边相等
平行四边形叫作
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形.
探究新知
菱形的定义：
几何语言：
菱形就在我们身边！
探究新知
自己再试着想想生活中还有哪些物体是菱形吧！
探究新知
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
做一做
探究新知
知识点 2
菱形的边的性质
你知道这样做其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
探究新知
问题：菱形的四条边在数量上有什么关系
猜想：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
探究新知
探究新知
菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
B
D
A
C
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______.
巩固练习
9cm
已知一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的边长是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周长是（ ）
A.24m B.12m C.96m D.48m
C
观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
探究新知
知识点 3
菱形的对角线的性质
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，菱形的两条对角线有什么关系
猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
探究新知
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
探究新知
证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
探究新知
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
B
D
A
C
菱形的性质：
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC.
对边相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
平行四边形的性质
矩形的性质
菱形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
比一比，猜一猜，填写下表：
探究新知
如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理,得
∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)．
探究新知
考点 1
利用菱形的性质求线段的长
菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,
AO=4cm，求两对角线AC , BD的长.
O
C
B
D
A
解：∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD,
AC⊥BD.
∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2,
AB= 5，AO= 4,
∴OB= 3.
∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm.
5
4
3
巩固练习
如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC=∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，
又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA .
考点 2
利用菱形的性质求证线段相等
探究新知
∴AO＝BE .
∴∠BAE＝∠ADB.
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
巩固练习
　 菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢
菱形
A
B
C
D
O
E
【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗
探究新知
知识点 4
菱形的面积
S菱形=BC× AE.
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC·(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
探究新知
考点1 1
利用菱形的面积公式解答问题
在Rt△OAB中，
∴ .
∴
菱形ABCD的两条对角线BD，AC长分别是6cm和8cm，求菱形面积.
C
B
D
A
O
解：
巩固练习
O
(cm2).
1. 如图，菱形ABCD中，对角线AC , BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）
A．3.5 B．5
C．7 D．14
链接中考
A
链接中考
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AD=CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）.
∴∠DEF＝∠DFE．
2. 如图，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，且AE=CF，连接EF，求证：∠DEF＝∠DFE．
AE＝CF，
∠A＝∠C，
AD＝CD，
1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
课堂检测
基础巩固题
3.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
4.如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD=118°，则∠CEB的度数为_______.
第3题图
第4题图
59°
课堂检测
A
B
C
D
A
B
C
D
E
∟
5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
课堂检测
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°.
∴△ABC是等边三角形，∠ABO= ×∠ABC=30°.
课堂检测
能力提升题
O
A
B
C
D
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm.
∴ .
∴BD=2OB= cm；
（2）S菱形ABCD = AC BD
= ×2×
= （cm2）．
课堂检测
∵菱形ABCD的周长是8cm，
∴AB=2cm.
O
A
B
C
D
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 ∵CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课堂检测
拓广探索题
菱形的性质及有关计算
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍；
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
1.两组对角分别相等；
2.邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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