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21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱形(第2课时)
人教版 数学 八年级 下册
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角
A
D
C
B
O
导入新知
菱
形
的
性
质
怎样判断一个四边形是菱形？
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路.
1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
学习目标
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
还有其他的方法吗
探究新知
知识点 1
菱形的判定定理1
O
A
B
C
D
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
探究新知
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD.
ABCD
求证： ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BA=BC.
探究新知
∴ ABCD是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理1：
探究新知
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF.
探究新知
考点1 1
利用对角线判定菱形
如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
证明：
1
A
B
C
D
O
∟
E
F
2
∴∠1=∠2.
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO,
∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形.
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD
C．AB=CD D．AB∥CD
B
巩固练习
猜想：四条边都相等的四边形是菱形 .
A　
B　
C　
D　
李芳同学先画两条等长的线段AB , AD，然后分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
探究新知
知识点 2
菱形的判定定理2
证明：∵AB=BC=CD=AD,
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
探究新知
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定定理2：
探究新知
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
文字语言 图形语言 符号语言
判定方法1
判定 方法2
判定方法3
菱形的判定：
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
探究新知
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC , BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E , F , G , H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE.
∴四边形EFGH是菱形.
例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
考点1 1
探究新知
利用边相等判断四边形是菱形
∴ .
如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
C
A
D
O
E
M
N
∵ MN是AC的垂直平分线,
∴AD=CD，OA=OC，AE=CE.
∵ CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO.
∴ △ADO ≌ △CEO .
∴ AD=CE .
∴AD=CD=CE=AE.
∴四边形ADCE是菱形.
巩固练习
证明：
B
如图，在△ABC中，D , E分别是AB , AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D , E分别是AB , AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC.
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
探究新知
知识点 3
菱形的性质和判定的综合应用
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.
∴△EBC是等边三角形.
过点E作EH⊥BC, 则HE= ,
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
探究新知
H
探究新知
方法点拨
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠BAC=∠ACD.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=DC.∴四边形ABCD为菱形.
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
巩固练习
A
B
C
D
1.按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF;（2）以点A为圆心,1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D;（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，DC，BD，若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
链接中考
A.64° B.66°
C.68° D.70°
D
2.如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接 BF，点O为BF的中点，AO的延长线交BC于点E，连接EF.
链接中考
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,即AF∥BE.
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA.
∵O为BF的中点，∴BO=FO.
∴△AOF≌△EOB.∴BE=FA.
∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
（1）求证：四边形ABEF是菱形.
（1）证明：
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，CE=1，∠BAD=120°，求AE的长.
链接中考
(2)解:∵四边形ABCD为平行四边形，四边形ABEF为菱形，
∴AD=BC, AF=BE. ∴DF=CE=1.
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为22-2=20.
∴AB=20÷4=5.
∵四边形ABEF是菱形，
∴∠BAE=∠BAD=×120°=60°.
又∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形.
∴AE=AB=5.
1.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
C
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
课堂检测
基础巩固题
24cm
菱形
3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为 ，其面积为 .
4.如图，在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE，如果∠BCE=36°，则∠CFE= .
课堂检测
63°
证明：∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形.
2
5.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E , F分别在AB , AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
课堂检测
∴CD=ED=CF=EF.
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
由平移变换的性质,得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm.
∴四边形ACFD是菱形．
课堂检测
能力提升题
证明：
∴ .
已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形.
A
B
F
C
D
E
O
∟
∵EF垂直平分AC,
∴AO=CO, ∠AOE=90°.
∴∠FOC=∠AOE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC. ∴AE∥FC.
∴∠AEO=∠CFO.
∴△AEO≌△CFO.
∴OE=OF.
又∵AO=CO,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形.
课堂检测
拓广探索题
证明：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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