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21.3 特殊的平行四边形
21.3.3 正方形(第1课时)
人教版 数学 八年级 下册
　除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？　　　
正方形　
　 怎样研究这类图形？
　想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.
导入新知
1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概
念之间的联系和区别.
2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算.
学习目标
平行四边形
情境一： 观察体会
探究新知
知识点 1
正方形的定义
探究新知
探究新知
有一个直角
探究新知
矩形
有一个直角
探究新知
矩形
有一个直角
一组邻边相等
菱形
探究新知
矩形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
探究新知
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
探究新知
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
探究新知
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
探究新知
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
一组邻边相等
探究新知
平行四边形
菱形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
你能给正方形下一个定义吗？
探究新知
平行四边形
问题1 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
问题2 当CD移动到C D 位置，此时AD ＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
正方形是特殊的矩形.
情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
探究新知
矩 形
正方形
〃
〃
【思考】1.
探究新知
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
探究新知
小结：
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形叫正方形.
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形.
如何来给正方形下定义？
探究新知
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
探究新知
知识点 2
正方形的性质
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四边形
中心对称图形
（对角线的交点）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（四条）
探究新知
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
矩形
菱形
正方形
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
探究新知
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
探究新知
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:△ABO,△BCO,△CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD.
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO都
是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
考点 1
探究新知
利用正方形的性质求线段相等
已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC. EA = EC吗？说说你的理由.
E
A
B
C
D
1
2
？
？
巩固练习
解： EA = EC .理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠1=∠2=45°.
又∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=CE.
如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ △BEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°.
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
探究新知
考点 2
利用正方形的性质求角度
A
B
D
C
E
已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°.
证明：∵CE⊥AF， ∴∠ADC＝∠AEM＝90°.
又∵∠CMD＝∠AME，
∴∠1＝∠2.
　 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC,
　 ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(ASA).
∴DM=DF.
∴∠DMF=∠DFM.
∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.
巩固练习
如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.
解：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD.
又∵四边形DEFG也是正方形,
∴DE=DG.
又∵正方形的每个内角为90°,
∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC.
∴∠ADE＝∠CDG.
∴△AED≌△CGD(SAS).
∴AE=CG.
A
B
C
D
E
F
G
考点 3
利用正方形的性质证明线段相等
探究新知
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
巩固练习
证明：（1）∵ ABCD是正方形,
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°.
又∵DE=BF，∴ △ABF≌△ADE（SAS）.
∴ AE=AF.
（2）由（1）知△ABF≌△ADE，
∴∠1=∠3.
∵∠2+∠3=90 °,
∴∠1+∠2=90 °，即 EA⊥FA.
1
2
3
如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE，CE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ADE=∠CBF=45°.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
AD=BC，
∠ADE=∠CBF，
BF=DE，
A
D
B
C
E
F
链接中考
(2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长.
(2)解：连接AC交BD于点O.
链接中考
A
D
B
C
E
F
O
∵四边形ABCD为正方形，BD=10，
∴BD垂直平分AC，OA=OC=OB=BD=5.
∴AF=CF,AE=CE.
由(1)知△ADE≌△CBF，∴AE=CF.
∴AF=CF=AE=CE.
∵四边形AECF的周长为4,
∴AF=.
在Rt△AOF中,OF==3,
∴BF=DE=OB-OF=5-3=2.
∴EF=BD-BF-DE=6.
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
课堂检测
基础巩固题
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
课堂检测
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
课堂检测
解:
A
D
B
C
O
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
课堂检测
能力提升题
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
课堂检测
拓广探索题
同理可得∠DEC＝15°.
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
课堂检测
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的定义和性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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