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21.3 特殊的平行四边形
21.3.3 正方形(第2课时)
人教版 数学 八年级 下册
宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？
导入新知
2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
1. 理解并掌握正方形的判定方法 .
学习目标
做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
探究新知
知识点
正方形的判定
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
探究新知
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
探究新知
矩形
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD.
∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
探究新知
A
B
C
D
O
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角
正方形常见的判定方法
先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形
探究新知
平行四边形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
探究新知
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
∴四边形CFDE是矩形.
又∵CD平分∠ACB,
∴ DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形.
探究新知
考点 1
由矩形到正方形的识别
证明：
∵ DE⊥AC，DF⊥BC ，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线,
DE⊥AC，DG⊥AB，
同理得DG=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
巩固练习
证明：
∴ DE=DG.
∴ED=DF，
∟
如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA.
证明：
H
G
1
2
3
探究新知
考点 2
由菱形到正方形的识别
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DNG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，
∴∠2=∠3.
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-（∠1+∠3）=90°.
∴四边形EFGH是正方形 .
巩固练习
H
G
1
2
3
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠COH=∠BOE,
∴OE=OH.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
∴OE=OF=OG=OH.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴△CHO ≌△BEO,
同理可证：OE=OF=OG,
又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.
∴四边形EFGH为正方形.
巩固练习
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD;③∠ADC=90°，则正确的组合是_______________（只需填一种组合即可）．
①②（或①③）
链接中考
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
基础巩固题
课堂检测
2.下列判断中正确的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
课堂检测
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
课堂检测
B
D
A
C
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
课堂检测
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°, 又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
课堂检测
如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形ADEF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
课堂检测
能力提升题
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
课堂检测
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
在△ABF 和△ADE中，AB＝AD ，∠BAF＝∠EAD ，AF＝AE ,
∴△ABF≌△ADE（SAS），
拓广探索题
课堂检测
∴∠BAF=∠EAD.
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF.
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
课堂检测
∴BE=AF=AE.
∵BE=AF，
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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