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21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
人教版 数学 八年级 下册
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
导入新知
1. 理解并掌握四边形的概念及相关定义.
2. 探究四边形的内角和外角的性质，掌握四边形的内角和和外角和.
素养目标
3. 了解四边形具有不稳定性，并能利用这一性质解决现实生活中的问题.
多边形的定义及相关概念
观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形.
什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
探究新知
知识点 1
问题1：
问题2：
【思考】 比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名四边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内.
四边形用表示它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
探究新知
内角：四边形相邻两边组成的角.
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边形的边、顶点、内角、外角、对角线．
顶点：每相邻两条线段的公共端点.
边：组成四边形的各条线段.
外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
探究新知
问题3：
对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段.
请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？
（1）
（2）
如图（1）这样，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.
探究新知
问题4：
例 下列长度的两条线段与长度为2，5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）
A．1，1 B．1，8 C．1，2 D．2，3．
素养考点 1
四边形存在的条件
探究新知
D
总结：任意三条线段之和大于另一条线段的长度.
下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．1，1，1，3 B．2，2，2，3
C．1，3，2，6 D．2，2，2，7
巩固练习
B
你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
三角形内角和是多少度？
三角形内角和是180°.
都是360°.
猜想任意四边形的内角和是多少度？
四边形的内角和
探究新知
知识点 2
问题1：
问题2：
问题3：
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
解法一：如图，连接对角线AC，则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.
同理∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=（∠1+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D） =180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
A
B
C
D
探究新知
猜想与证明
问题4：
1
2
3
4
在△ABC中，根据三角形内角
和定理，得∠1+∠B+∠3=180°.
解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3–180°
=360°.
A
B
C
D
E
探究新知
解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
A
B
C
D
E
探究新知
A
B
C
D
P
解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
探究新知
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
素养考点 1
运用四边形内角和定理进行证明或计算
探究新知
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
巩固练习
解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，
∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，
∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.
∵在四边形ABEF中，
∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°.
四边形的外角和
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
四个外角加上它们分别相邻的四个内角和是多少？
B
C
D
1
2
3
4
A
互补
4×180°=720°
知识点 3
探究新知
结论：四边形的外角和等于360°.
解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
探究新知
同理∠ABC＋∠2=180°，
∠BCD＋∠3＝180°,
∠CDA＋∠4＝180°.
∴∠DAB＋∠1+∠ABC＋∠2+∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°.
而∠DAB+∠ABC+∠BCD＋∠CDA=360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=360°.
例1 . 如图，设三角形纸片ABC的内角和为a，外角和为b，将该纸片剪掉一角得四边形BCDE，设四边形BCDE的内角和为m，外角和为n，则下列结论正确的是（ ）
素养考点 3
四边形的内角和公式和外角和公式的综合应用
探究新知
A. m=a,n=b B. m=a+180°, n=b+180 °
C. m=a, n=b+180° D. m=a+180°,n=b
D
如图，∠FCD，∠EDC是四边形ABCD的外角，CP，DP分别平分∠FCD和∠EDC且相交于点P．若∠A=70°，∠B=80°，则∠CPD=___________．
巩固练习
105°
四边形的不稳定性
知识点 4
探究新知
将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗
想一想
不会
会
1. 四边形不具有稳定性.
2. 三角形具有稳定性.
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
下列图形中哪些具有稳定性
试一试
探究新知
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？
探究新知
四边形的不稳定性有广泛的应用
活动晾衣架
探究新知
伸缩门
探究新知
遮阳棚
探究新知
2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务,如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（ ）
A．三角形的稳定性
B．四边形的不稳定性
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．两点之间线段最短
四边形不稳定性的应用
探究新知
素养考点 3
素养考点
B
填空:
（1）有下列图形：①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形.其中不具有稳定性的是_______.（填序号）
（2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的____________.
（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上_____根木条.
不稳定性
2
①②④
巩固练习
下列图形中具有稳定性的是（ ）．
A．三角形 B．长方形
C．正方形 D．平行四边形
A
链接中考
1. 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=80°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
C
基础巩固题
课堂检测
2.如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1+∠2等于（ ）
A．140° B．180° C．220 ° D．240°
课堂检测
C
能力提升题
课堂检测
如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
A
如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x，
（1）若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值；
（2）在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
（3）AB、BC、CD能围成一个三角形吗？
拓广探索题
课堂检测
解：（1）x最大值 = AB + BC + CD = 19.
x最小值 =BC – AB – CD = 3；
（2）3 < x < 19；
（3）不能.
课堂检测
四边形
定义
前提条件是在一个平面内
内角和定理
不稳定性
应用
课堂小结
四边形的内角和等于360°
外角和定理
四边形的外角和等于360°
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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