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21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
（第1课时）
人教版 数学 八年级 下册
【观察】上面图形给我们留下什么图形的形象？
导入新知
1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质.
2. 能够灵活运用平行四边形的性质解决问题.
学习目标
3. 经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.
下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？
知识点 1
平行四边形的定义
探究新知
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
探究新知
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
读作：平行四边形ABCD.
A
D
B
C
记作： ABCD.
AB∥CD,
AD∥BC,
∵
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB∥CD,
AD∥BC.
∴　
两组对边分别平行
四边形
C
B
A
D
平行四边形
探究新知
注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向.
如图是某区部分街道示意图，其中BC∥AD∥EG，AB∥FH∥DC．图中的平行四边形共有_____个，并把它们表示出来.
9
A
B
C
D
E
G
F
H
O
探究新知
考点1
利用平行四边形的定义判断平行四边形
解：∵DC∥FH ∥ AB，DA∥ EG∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
AEGD, ABHF, AEOF, GOFD,
BEOH, CHFD, BEGC, CHFD, ABCD.
提示：用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
巩固练习
√
√
B
A
D
c
方法一 观察、度量
平行四边形除两组对边分别平行外,你还能得到对边有什么关系 用什么方法得到这个关系
知识点 2
平行四边形边的特征
探究新知
D
方法二 剪开、叠合
C
A
B
已知:四边形ABCD是平行四边形
求证:AD=BC, AB=CD.
方法三 证明
点拨:先根据题目画图，再写“已知”与 “求证”，最后证明.
C
B
A
D
该怎样证明呢？
探究新知
已知：如图，在平行四边形 ABCD中，
求证: AB=CD, AD=BC.
证明：连接AC，　　ABCD中
∵ AB∥CD，AD∥BC,
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
又∵AC＝CA,
∴△ABC≌△CDA （ASA）.
∴AB＝CD，CB＝AD.
方法点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．
A
D
C
B
1
4
2
3
探究新知
几何语言：
平行四边形的两组对边分别相等.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）.
或
探究新知
平行四边形的性质
C
B
A
D
在　ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠DCF.
∴ △ABE≌ △CDF（SAS）.
∴ AB=CD，AB ∥ CD.
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A
D
B
C
E
F
探究新知
考点1
利用平行四边形边的性质求证线段的关系
如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD, AD=BC.
∵AB=8m,
∴CD=8m.
又∵AB+BC+CD+AD=36m,
∴ AD=BC=10m.
A
D
B
C
8m
巩固练习
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗
猜想: 平行四边形的两组对角有什么数量关系？
两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
探究新知
知识点 3
平行四边形角的特征
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
探究新知
【思考】不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD.
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°.
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
探究新知
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
或
∴∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）.
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）.
平行四边形的两组对角分别相等.
探究新知
平行四边形的性质
C
B
A
D
在　ABCD中，
解:
∵四边形ABCD是平行四边形
且∠A=52°（已知),
∴ ∠C=∠A=52°（平行四边形的对角相等）.
又∵ AD∥BC（平行四边形的对边平行）,
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180 － 52°=128 °.
A
B
C
D
52°
探究新知
考点1
利用平行四边形角的性质求证角的关系
在 ABCD中,已知∠A=52°，求其余三个角的度数.
A
D
B
C
100 °
80 °
解析:
∴∠B= 180 °－∠A= 180 － 100°=80°.
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行),
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等）.
且∠A+∠C=200°，
巩固练习
如图, 在 ABCD中，∠A+∠C=200°
则：∠A= ，∠B= .
1. 如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE=_____.
链接中考
2
2.如图， ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=______．
5
D
基础巩固题
1.在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是(　 ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1
C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
A
D
B
C
D
课堂检测
2.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长为( )
A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm
3. 在□ABCD中, ∠A=3∠B, 求∠C和∠D 的度数 .
B
C
A
D
解:∵在□ABCD中, AD∥BC，
∴∠A+∠B= 180°.
又∵ ∠A=3∠B,
∴ 3∠B +∠B= 180°.
解得∠B= 45°, ∠A=3×45°=135 °.
∴∠C=∠A=135 °, ∠D=∠B= 45°.
课堂检测
有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC , AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°.
能力提升题
课堂检测
证明：∵ 四边形BEFM是平行四边形,
　 ∴BM=EF,AB//EF.
∵ AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AB//EF, ∴ ∠BAD=∠AEF,
∴∠CAD =∠AEF, ∴ AF=EF,
∴ AF=BM.
如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
B
D
C
E
F
A
M
课堂检测
拓广探索题
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两组对角分别相等，邻角互补
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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