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21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
（第2课时）
人教版 数学 八年级 下册
导入新知
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老大
老二
老三
老四
2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.
1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质 .
学习目标
3. 了解平行线之间的距离.
　　如图，在　ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
　　猜想：平行四边形的对角线互相平分．　
　　想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？
知识点 1
平行四边形对角线的性质
探究新知
你能证明这个猜想吗？　
　　如图，在　ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，
求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴　AB=CD，AB∥CD.
∴　∠1=∠2，∠3=∠4.
∴　△COD≌△AOB.
∴　OA=OC，OB=OD．
D
A
B
C
O
1
2
3
4
　　证明过程
探究新知
符号语言：
平行四边形的对角线互相平分.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
或
或
AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO.
探究新知
在　 ABCD中，
OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
平行四边形的性质
B
O
D
A
C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm.
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC , BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
探究新知
考点 1
利用平行四边形对角线的性质求线段的值
总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.
C
B
A
D
O
如图，□ABCD的两条对角线相交于点O, 已知AB=8cm,BC=6cm, △AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是 .
C
B
A
D
O
16cm
巩固练习
如图，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
探究新知
考点 2
利用平行四边形对角线的性质求线段的相等
B
C
D
A
O
F
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC (平行四边形的性质).
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚,
OA = OC,
∠EAO = ∠FCO,
∴ △AOE≌△COF (ASA).
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）.
改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立吗？
同例2易证明OE=OF还成立.
探究新知
归纳总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
如图,平行四边形ABCD中，AC , BD交于O点，点E , F分别是AO , CO的中点，试判断线段BE , DF的数量关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E , F分别是AO , CO的中点 ∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB.
∴BE＝DF. ∠DFO＝∠BEO.
∴ BE∥DF.
巩固练习
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得 .
∴BC=AD=8cm,CD=AB=10cm.
∴△ABC是直角三角形.
又∵OA=OC,
　 如图，在 　ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 　ABCD的面积．
探究新知
知识点 2
平行四边形的面积
∵AC⊥BC，
A
B
C
D
O
∴ .
已知: □ ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，AC =16cm，
BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是__________， □ABCD的面积是__________.
40cm
96cm2
16
12
10
10
6
8
10
10
巩固练习
B
O
D
A
C
如图，EF过 ABCD的对角线AC , BD的交点O，△AOE与△COF的面积有何关系？四边形AEFD与四边形BCFE的面积有何关系？
F
E
C
B
O
D
●
A
探究新知
知识点 3
平行四边形中有关图形的面积
解：△AOE与△COF面积相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC.
∴∠ EAO=∠FCO
在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴S△AOE=S△COF.
探究新知
F
E
C
B
O
D
●
A
四边形AEFD与四边形BCFE的面积相等.理由如下：
由前面的证明过程可同理得出
S△AOD=S△COB ， S△COD=S△AOB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∴△ AOD和∠COD等底同高
∴S△AOD=S△COD，
∴ S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
∵S四边形AEFD= S△ADO+S△AEO+ S△DOF ,
S四边形BCFE= S△BCO+S△BEO+ S△COF ,
∴S四边形AEFD= S四边形BCFE.
探究新知
总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
F
E
C
B
O
D
●
A
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
●
●
方案一
方案二
方案四
方案五
方案三
方案六
总结：过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
探究新知
A
B
C
D
O
F
E
如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO.
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
探究新知
考点1
利用平行四边形的有关图形的面积证明相等
如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
B
M
C
●
D
A
O
解：如图所示．
巩固练习
如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．线段AE与CF有怎样的数量关系？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∵∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE=CF.
【思考】在上述证明中还能得出什么结论？
D
A
B
C
F
E
DE=BF.
探究新知
知识点 4
平行线之间的距离
AE=CF
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于点A，C，E，交 n于点B，D，F.线段AB，CD，EF相等吗？
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形.
探究新知
两条平行线之间的距离相等.
若m // n，AB , CD , EF垂直于 n，交n于B , D , F , 交 m于A , C , E.
B
F
E
A
n
m
C
D
同前面易得AB=CD=EF.
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
探究新知
点到直线的距离
如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，
求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC = AB BC,
= ×4 ×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高为6cm.
巩固练习
如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;
④=，其中正确结论的个数为( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
链接中考
C
1.平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形（ ）
A.都是等腰三角形 B.都是全等三角形
C.都是直角三角形 D.是面积相等的三角形
D
A
课堂检测
基础巩固题
2. ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（ ）
A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm
课堂检测
1＜AD＜9
O
D
B
A
C
●
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，
AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 .
4.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
课堂检测
如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得,5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
课堂检测
能力提升题
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10.
∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20．
课堂检测
拓广探索题
平行四
边形的性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等
课堂小结
两条平行线间的距离相等,
两条平行线间的平行线段也相等
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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