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第2讲　三角函数的图象与性质
（时间：45分钟，满分：79分）
一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1.函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.（2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期是（　　）
A. B.
C.π D.2π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.若f（x）＝sin（2x＋）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为（　　）
A.（0，］ B.（0，］
C.（0，］ D.（0，π]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2025·浙江名校协作体考试）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）满足f（）＝1，最小正周期为π，函数g（x）＝sin 2x，则为得到g（x）的图象，需将f（x）的图象向左平移（　　）
A.个单位长度 B.个单位长度
C.个单位长度 D.个单位长度
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.（2025·天津河西一模）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）图象的一条对称轴是x＝，且在[0，π]上有且仅有两个对称中心，则函数f（x）的解析式为（　　）
A.f（x）＝sin（x＋）
B.f（x）＝sin（x＋）
C.f（x）＝sin（2x＋）
D.f（x）＝sin（x＋）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.（2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10 min内（含10 min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是（　　）
A.16 B.17
C.18 D.19
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.（2025·广东广州一模）已知ω＞0，曲线y＝cos ωx与y＝cos（ωx－）相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝（　　）
A.π B.π C.π D.π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8.（2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝sin（2x＋），则下列说法中正确的有（　　）
A.f（x）的图象关于直线x＝对称
B.f（x）的图象关于点（，0）中心对称
C.f（x）在（－，）上单调递增
D.若f（x1）－f（x2）＝2，则｜x1－x2｜的最小值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.（2025·辽宁二模）如图是不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的局部图象，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为
B.（，0）是f（x）图象的一个对称中心
C.｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）
D.f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（2025·浙江温州二模）已知函数f（x）＝sin x，g（x）＝cos x，则以下两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（　　）
A.y＝f（x）－g（x）与y＝f（x）
B.y＝[f（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x）
C.y＝f[f（x）]与y＝f[g（x）]
D.y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题（每小题5分，共15分）
11.已知函数f（x）＝2sin（ωx－）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，则f（x）的最小正周期可能是　　　　（写出一个满足条件的答案即可）.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.已知函数f（x）＝sin（2ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，f（x）在（－，）上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜，则a＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆高考新风向（14题6分，15题5分，共11分）
14.〔创新考法〕〔多选〕设函数f（x）＝，则（　　）
A.f（x）的图象有对称轴
B.f（x）是周期函数
C.f（x）在区间（0，）上单调递增
D.f（x）的图象关于点（，0）中心对称
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.〔创新交汇〕如图，将绘有函数f（x）＝Msin（x＋φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则φ＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第2讲　三角函数的图象与性质
1.B　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x）为偶函数.
2.B　因为函数y＝sin（2x＋）的最小正周期T＝＝＝π，所以函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期为.故选B.
3.A　∵0∈[－t，t]，∴只需考虑f（x）的含0的单调递增区间.由－≤2x＋≤，得－≤x≤，∴－≤－t＜t≤，解得0＜t≤.
4.A　由题意知，＝π，得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），又f（）＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ）＝sin（2x－）＝sin［2（x－）］，又g（x）＝sin 2x，故为得到g（x）的图象，需将f（x）的图象向左平移个单位长度.故选A.
5.B　因为函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）图象的一条对称轴是x＝，则＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝2k＋（k∈Z），当0≤x≤π时，≤ωx＋≤πω＋，因为函数f（x）在[0，π]上有且仅有两个对称中心，则2π≤πω＋＜3π，解得≤ω＜，故ω＝，所以f（x）＝sin（＋）.故选B.
6.B　设乙家庭转动t min出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜t≤10，只需考查旋转的第一周内即可，而摩天轮的座舱每分钟转动＝，则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为t，摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为＝，甲家庭的座舱转过的弧度数为＋t，依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则＋t＋t＝2π，整理得k＝48－t＋1≥17，当且仅当t＝10时取等号，所以k的最小值是17.故选B.
7.A　法一　作出y＝cos ωx与y＝cos（ωx－）（ω＞0）的部分图象，如图，设两个函数图象相邻的三个交点为A，B，C，则易知∠ABC＝.由cos ωx＝cos（ωx－）得，ωx＋ωx－＝2kπ，k∈Z，所以ωx＝＋kπ，k∈Z，x＝＋，k∈Z.分别令k＝0，1，2可得A（，），B（，－），C（，），由·＝0可得（，－）·（－，－）＝0，所以＝3，所以ω＝π.故选A.
法二　由题意，两曲线相邻的三个交点构成直角三角形，且直角边长度相等.根据三角函数图象性质，相邻的两个交点横坐标差为，因此直角三角形的斜边长度为.利用勾股定理，可得：（）2＋（）2＝（）2，解得ω＝π.故选A.
8.BCD　A选项，x＝时，2x＋＝π，因为x＝π不是y＝sin x的对称轴，故A错误；B选项，x＝时，2x＋＝π，因为（π，0）是y＝sin x的对称中心，故B正确；C选项，x∈（－，）时，2x＋∈（－，），因为y＝sin x在（－，）上单调递增，故C正确；D选项，因为f（x）max＝1，f（x）min＝－1，由f（x1）－f（x2）＝2得f（x1）＝1，f（x2）＝－1，所以｜x1－x2｜的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为T，因为T＝＝π，所以｜x1－x2｜的最小值为，故D正确.
9.AC　由图象可知f（x）的最小正周期为T＝［－（－）］＝，故A正确；由T＝＝，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图象的对称性可知（，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象上，所以f（）＝2tan（＋φ）＝0，因为｜φ｜＜，所以φ＝－，则f（x）＝2tan（2x－），因为f（）＝2tan（－）＝2≠0，所以（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误；令2x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f（x）的对称中心为（＋，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移个单位长度，得到y＝2tan［2（x－）］＝2tan（2x－）≠f（x），故D错误.故选A、C.
10.AC　对于A选项，f（x）－g（x）＝sin x－cos x＝sin（x－），函数y＝f（x）＝sin x，所以这两个函数的图象能通过平移重合，A正确；对于B选项，[f（x）]2－[g（x）]2＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，f（x）g（x）＝sin xcos x＝sin 2x，函数y＝[f（x）]2－[g（x）]2的振幅为1，函数y＝f（x）g（x）的振幅为，所以y＝[f（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x）的图象不能通过平移重合，B错误；对于C选项，因为f[f（x）]＝sin（sin x），f[g（x）]＝sin（cos x）＝sin［sin（x＋）］，将函数y＝f[f（x）]的图象向左平移个单位长度可与函数y＝f[g（x）]的图象重合，C正确；对于D选项，g[f（x）]＝cos（sin x）＝sin（sin x＋），函数y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）]的图象不能通过平移重合，D错误.故选A、C.
11.（答案不唯一）　解析：∵函数f（x）＝2sin（ωx－）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，∴ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝4＋6k，k∈Z.∵ω＞0，∴ω＝4＋6k，k∈N，f（x）的最小正周期为T＝＝，k∈N，当k＝0时，f（x）的最小正周期为T＝.
12.－1　解析：法一（观察法）　因为当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，函数y＝｜sin x｜和y＝cos x都取最小值，且最小值分别为0和－1，所以函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x的最小值为0＋（－1）＝－1.
法二（利用周期函数的性质）　因为f（x＋2π）＝｜sin（x＋2π）｜＋cos（x＋2π）＝｜sin x｜＋cos x，所以2π是函数f（x）的一个周期，所以求函数f（x）的最小值，只需求出其在一个周期内的最小值即可.下面考虑x∈[0，2π）.f（x）＝｜sin x｜＋cos x＝
作出函数f（x）在[0，2π）上的大致图象，如图，所以当x＝π时，函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x取得最小值－1.故函数f（x）的最小值为－1.
13.　解析：因为函数f（x）＝sin（2ωx＋）的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π ω＝1.所以f（x）＝sin（2x＋）.当x∈（－，）时，2x＋∈（0，π），所以sin（2x＋）∈（0，1].作函数f（x）＝sin（2x＋），x∈（－，）的草图如图所示.
函数f（x）的图象关于直线x＝对称，设｜CD｜＝2t，则B（＋2t，a），D（＋t，a）.0＜t＜，所以sin［2（＋t）＋］＝sin［2（＋2t）＋］ cos 2t＝cos 4t cos 2t＝（2cos22t－1） 2cos22t－cos 2t－＝0，解得cos 2t＝或cos 2t＝－（舍去）.所以a＝sin［2（＋2t）＋］＝cos 4t＝2cos22t－1＝2×－1＝.
14.ABD　函数f（x）的定义域为x≠，k∈Z，关于原点对称.∵f（－x）＝＝＝＝f（x），∴f（x）是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵f（x＋2π）＝＝＝f（x），∴T＝2π是函数f（x）的一个周期，故B正确；f（x）＝，∵f（）＝＝＞0，f（）＝＝0，显然f（）＞f（），故f（x）在区间（0，）上不单调递增，故C错误；f（－x）＋f（＋x）＝
＋
＝
＋＝0，∴f（x）的图象关于点（，0）中心对称.故选A、B、D.
15.　解析：如图，设C，D分别为x轴上的两点，且AC⊥x轴，BD⊥x轴，因为f（x）的最小正周期T＝＝6，所以｜CD｜＝＝3，又｜AC｜＝M，｜BC｜＝＝，当折成直二面角时，因为AC⊥x轴，AC 平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，所以AC⊥平面BCD，又BC 平面BCD，所以AC⊥BC，所以｜AB｜＝＝＝，解得M＝1（负值已舍去），所以f（x）＝sin（x＋φ），所以f（0）＝sin φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝或，又因为函数f（x）在y轴右侧附近单调递减，所以φ＝.
2 / 3第2讲　三角函数的图象与性质
【备考指南】　三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，利用三角函数的性质可求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，试题主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下.
1.函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z），单调递减区间为［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）.
1.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7sin的单调递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
2.函数y＝tan x的对称中心为（，0），k∈Z；
单调递增区间为（－＋kπ，＋kπ），k∈Z.
2.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
3.函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z；
对称中心为（kπ＋，0），k∈Z；
零点为x＝＋kπ，k∈Z.
3.〔多选〕设函数f（x）＝cos（2x－），则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的一个周期为　 　
B.f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x）的一个零点是
D.f（x）的最大值为1，最小值为－1
4.平移变换：左“＋”右“－”，一定要注意对x前的系数的处理.　
4.要得到函数y＝sin（4x－）的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向　　　平移　　　　个单位长度.
5.y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数.
5.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）－cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的奇函数，则f（－）＝　　　　.
考点一　图象变换
【易错提醒】　对于y＝sin x（或y＝cos x）的图象，变为y＝sin ωx（或y＝cos ωx）的图象时，x的变化量为原来的倍.
【例1】　（1）把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　）
A.cos（2x－） B.cos（2x－）
C.cos（x－） D.cos（x－）
（2）（2025·江苏南通二模）将函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后与函数g（x）＝cos（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为（　　）
A.2 B.3
C.6 D.9
【易错提醒】　注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
【训练1】　（1）将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝cos 2x的图象，则φ可以是（　　）
A. B.
C. D.π
（2）〔创新命题角度〕已知函数f（x）的部分图象如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　　）
A.y＝f（2x－） B.y＝f（－）
C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1）
考点二　图象与解析式
【通性通法】　已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求解析式，A易求，关键是求ω和φ，常有如下方法：
（1）五点法：由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，即可求出φ；
（2）代入法：将一些已知点（最高点、最低点或“零点”）的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.
【例2】　（1）函数f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则φ＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　）
A.3 B.4 C.6 D.8
【训练2】　（1）〔创新交汇〕已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝（　　）
A.1 B.
C.π D.
【瓶颈突破】　根据函数解析式作出函数图象，将方程的根的问题转化为f（x）的图象与直线y＝λ的交点个数的问题.
（2）（2025·湖南长沙三模）已知函数f（x）＝2sin x＋2｜cos x｜，若f（x）＝λ在［0，］上有且仅有4个不相等的实数根，则λ的取值范围为　　　　.
考点三　三角函数的性质
【通性通法】　研究三角函数的性质，首先化函数为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，一定要保证ω＞0，否则易出错，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f（x）的性质.
【例3】　〔多选〕（2025·湖北武汉二调）函数f（x）＝sin2（x＋）＋sin2（x＋），则下列关于f（x）的说法中正确的是（　　）
A.最小正周期是π B.最大值是2
C.在区间（，）上单调递减 D.图象关于点（，1）中心对称
【易错提醒】　易忽视函数的定义域致误.
【训练3】　（1）（2025·江西赣州一模）函数f（x）＝的最小正周期是（　　）
A. B.
C.π D.2π
（2）已知函数f（x）＝（sin x＋cos x）cos x－，若f（x）在区间［－，m］上的值域为［－，1］，则实数m的取值范围是（　　）
A.［，） B.［，］
C.［，） D.［，］
（3）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝.
①求φ；
②设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间.
第2讲　三角函数的图象与性质
【基础·回扣】
1.A　2.B　3.BD　4.右　　5.－
【典例·讲解】
【例1】　（1）B　把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）后的图象对应的函数为y＝cos 2x，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的图象对应的函数为y＝cos［2（x－）］＝cos（2x－）.故选B.
（2）B　将f（x）＝sin（ωx＋）的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin［ω（x＋）＋］＝sin（ωx＋＋）＝cos（ωx＋），则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为3.故选B.
【训练1】　（1）A　因为y＝cos 2x＝sin（2x＋），将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝sin[2（x＋φ）]＝sin（2x＋2φ）的图象，所以sin（2x＋）＝sin（2x＋2φ），则＋2kπ＝2φ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，k＝1时，φ＝，故选A.
（2）D　图2相对于图1进行了向右平移1个单位，再横向缩短为原来的，图2对应函数为y＝f（2x－1）.故选D.
【例2】　（1）B　令f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1＝0，则sin（2x＋φ）＝－，根据图象得x＝－为函数零点，零点左右函数为上升趋势，则2×（－）＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝0，φ＝.
（2）C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
【训练2】　（1）D　连接BC交x轴于点E，由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故｜AE｜＝｜BE｜，｜AE｜＝T＝·＝，｜BE｜＝＝，故＝，解得ω＝，故选D.
（2）[2，4）
解析：由题意知，当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x＋2｜cos x｜＝
作出f（x）在［0，］上的图象，如图所示，结合图形可知，若f（x）＝λ在［0，］上有且仅有4个不相等的实数根，则2≤λ＜4.
【例3】　AC　f（x）＝sin2（x＋）＋sin2（x＋）＝＋＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin（2x－）＋1，则f（x）的最小正周期是＝π，故选项A正确；由三角函数的性质可知f（x）≤＋1，即f（x）的最大值是＋1，故选项B错误；x∈（，）时，2x－∈（ ，），因为y＝sin z在z∈（ ，）上单调递减，故f（x）在区间（，）上单调递减，故选项C正确；令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心为（＋，1），k∈Z，令＋＝得k＝ Z，所以f（x）的图象不关于点（，1）中心对称，故选项D错误.故选A、C.
【训练3】　（1）C　由f（x）＝＝tan 2x，可得x≠＋kπ，且x≠＋π，k∈Z，故T＝π.故选C.
（2）D　依题意，函数f（x）＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），当x∈［－，m］时，2x＋∈［－，2m＋］，显然sin（－）＝sin＝－，sin＝1，且正弦函数y＝sin x在［，］上单调递减，由f（x）在区间［－，m］上的值域为［－，1］，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是［，］.
（3）解：①因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝.
②g（x）＝f（x）＋f（x－）＝cos（2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（cos 2x－sin 2x）＝cos（2x＋），
故函数g（x）的值域为[－，].
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z），
所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）.
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
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第2讲　
三角函数的图象与性质
备考指南
三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，利用三角函数的性质可求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，试题主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. （2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7 sin 的单调
递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
√
函数y＝ sin x的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z），单调递减区间为［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）.
解析： 　令－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋2kπ≤x≤
＋2kπ，k∈Z. 取k＝0，则－ ≤x≤ .因为 ，所以
区间 是函数f（x）的单调递增区间.故选A.
2. （2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－
）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
√
函数y＝tan x的对称中心为（ ，0），k∈Z；
单调递增区间为（－ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z.
解析： 　令x－ ＝ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z，故y＝2tan（x－
）的图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z，由题意知a＝ ＋ ，
k∈N，其最小值为 .故选B.
A. f（x）的一个周期为
B. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
C. f（x）的一个零点是
D. f（x）的最大值为1，最小值为－1
3. 〔多选〕设函数f（x）＝ cos （2x－ ），则下列结论正确的是（　　）
√
√
函数y＝ cos x的对称轴为x＝
kπ，k∈Z；对称中心为
（kπ＋ ，0），k∈Z；零点
为x＝ ＋kπ，k∈Z.
解析： 　因为最小正周期T＝ ＝ ＝π，故A错误；因为f（ ）
＝ cos （2× － ）＝1，故B正确，C错误；因为f（x）＝ cos （2x－
）中A＝1，所以f（x）的最大值为1，最小值为－1，故D正确.
　
4. 要得到函数y＝ sin （4x－ ）的图象，只需将函数y＝ sin 4x的图象
向 平移 个单位长度.
右

平移变换：左“＋”右“－”，
一定要注意对x前的系数的处理.
解析：要得到y＝ sin （4x－ ）＝ sin ［4（x－ ）］的图象，只需将y
＝ sin 4x的图象向右平移 个单位长度即可.
5. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）－ cos （2x＋φ）（0＜φ＜π）是定
义在R上的奇函数，则f（－ ）＝ 　　－ 　　.
－
y＝A sin （ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；当φ＝kπ＋ （k∈Z）时为偶函数.　
解析：f（x）＝ sin （2x＋φ）－ cos （2x＋φ）＝2 sin （2x＋φ－
），可得φ－ ＝kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，∴φ＝ ，∴f（x）＝2 sin
2x，∴f（－ ）＝2 sin （－ ）＝－ .
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一　图象变换
【例1】　（1）把函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵
坐标不变），再将图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数y＝f
（x）的图象，则f（x）＝（　　）
A. cos （2x－ ） B. cos （2x－ ）
C. cos （ x－ ） D. cos （ x－ ）
√
【易错提醒】　对于y＝ sin x（或y＝ cos x）的图象，变为y＝ sin ωx（或y＝ cos ωx）的图象时，x的变化量为原来的 倍.
解析： 把函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不
变）后的图象对应的函数为y＝ cos 2x，再将图象上所有的点向右平移
个单位长度后的图象对应的函数为y＝ cos ［2（x－ ）］＝ cos （2x－
）.故选B.
（2）（2025·江苏南通二模）将函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的
图象向左平移 个单位长度后与函数g（x）＝ cos （ωx＋ ）的图象重
合，则ω的最小值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
√
解析： 　将f（x）＝ sin （ωx＋ ）的图象向左平移 个单位长度，得
到y＝ sin ［ω（x＋ ）＋ ］＝ sin （ωx＋ ＋ ）＝ cos （ωx＋
），则 ＝ ＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，所以ω
的最小值为3.故选B.
【训练1】　（1）将函数y＝ sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函
数y＝ cos 2x的图象，则φ可以是（　　）
A. B.
C. D. π
√
【易错提醒】　注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
解析： 　因为y＝ cos 2x＝ sin （2x＋ ），将函数y＝ sin 2x的图象向
左平移φ个单位长度后得到函数y＝ sin [2（x＋φ）]＝ sin （2x＋2φ）的
图象，所以 sin （2x＋ ）＝ sin （2x＋2φ），则 ＋2kπ＝2φ，k∈Z，
所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝ ，k＝1时，φ＝ ，故选A.
（2）〔创新命题角度〕已知函数f（x）的部分图象如图1，则图2中的函
数图象对应的函数是（　　）
A. y＝f（2x－ ）
B. y＝f（ － ）
C. y＝f（ －1）
D. y＝f（2x－1）
√
解析： 　图2相对于图1进行了向右平移1个单位，再横向缩短为原来的
，图2对应函数为y＝f（2x－1）.故选D.
考点二　图象与解析式
【例2】　（1）函数f（x）＝2 sin （2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图
象如图所示，则φ＝（　　）
A. B.
√
【通性通法】　已知f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求解析式，A易求，关键是求ω和φ，常有如下方法：
（1）五点法：由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，即可求出φ；
（2）代入法：将一些已知点（最高点、最低点或“零点”）的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.
C. D.
解析： 令f（x）＝2 sin （2x＋φ）＋1＝0，则 sin （2x＋φ）＝－ ，
根据图象得x＝－ 为函数零点，零点左右函数为上升趋势，则2×（－
）＋φ＝2kπ－ ，k∈Z，则φ＝2kπ＋ ，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝
0，φ＝ .
（2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与y＝2 sin
（3x－ ）的交点个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
√
解析： 因为函数y＝ sin x的最小正周期为T＝
2π，函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周期为T＝
，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ）
的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
【训练2】　（1）〔创新交汇〕已知函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）
的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝
（　　）
A. 1 B.
C. π D.
√
解析： 　连接BC交x轴于点E，由于A，B，C，D四点在同一个圆
上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故｜AE｜＝｜
BE｜，｜AE｜＝ T＝ · ＝ ，｜BE｜＝ ＝
，故 ＝ ，解得ω＝ ，故选D.
（2）（2025·湖南长沙三模）已知函数f（x）＝2 sin x＋2 ｜ cos x｜，
若f（x）＝λ在［0， ］上有且仅有4个不相等的实数根，则λ的取值范
围为 .
[2 ，4）
【瓶颈突破】　根据函数解析式作出函数图象，将方程的根的问题转化为f（x）的图象与直线y＝λ的交点个数的问题.
解析：由题意知，当x∈［0， ］时，f（x）＝2 sin x
＋2 ｜ cos x｜＝ 作
出f（x）在［0， ］上的图象，如图所示，结合图形可知，若f（x）＝λ在［0， ］上有且仅有4个不相等的实数根，则2 ≤λ＜4.
考点三　三角函数的性质
【例3】　〔多选〕（2025·湖北武汉二调）函数f（x）＝ sin 2（x＋ ）
＋ sin 2（x＋ ），则下列关于f（x）的说法中正确的是（　　）
A. 最小正周期是π
B. 最大值是2
C. 在区间（ ， ）上单调递减
D. 图象关于点（ ，1）中心对称
√
√
【通性通法】　研究三角函数的性质，首先化函数为f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋B的形式，一定要保证ω＞0，否则易出错，然后结合正弦函数y＝ sin x的性质求f（x）的性质.
解析： 　f（x）＝ sin 2（x＋ ）＋ sin 2（x＋ ）＝
＋ ＝ sin 2x－ cos 2x＋1＝ sin （2x－ ）＋1，则f
（x）的最小正周期是 ＝π，故选项A正确；由三角函数的性质可知f
（x）≤ ＋1，即f（x）的最大值是 ＋1，故选项B错误；x∈（ ，
）时，2x－ ∈（ ， ），因为y＝ sin z在z∈（ ， ）上单调递
减，故f（x）在区间（ ， ）上单调递减，故选项C正确；
令2x－ ＝kπ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，故f（x）的图象的对称
中心为（ ＋ ，1），k∈Z，令 ＋ ＝ 得k＝ Z，所以f（x）的
图象不关于点（ ，1）中心对称，故选项D错误.故选A、C.
【训练3】　（1）（2025·江西赣州一模）函数f（x）＝ 的最小正
周期是（　　）
A. B.
C. π D. 2π
√
【易错提醒】　易忽视函数的定义域致误.
解析： 　由f（x）＝ ＝tan 2x，可得x≠ ＋kπ，且x≠ ＋ π，
k∈Z，故T＝π.故选C.
（2）已知函数f（x）＝（ sin x＋ cos x） cos x－ ，若f（x）在区间
［－ ，m］上的值域为［－ ，1］，则实数m的取值范围是（　　）
A. ［ ， ） B. ［ ， ］
C. ［ ， ） D. ［ ， ］
√
解析： 　依题意，函数f（x）＝ sin x cos x＋ cos 2x－ ＝ sin 2x＋
cos 2x＝ sin （2x＋ ），当x∈［－ ，m］时，2x＋ ∈［－ ，2m＋
］，显然 sin （－ ）＝ sin ＝－ ， sin ＝1，且正弦函数y＝ sin x在
［ ， ］上单调递减，由f（x）在区间［－ ，m］上的值域为［－
，1］，得 ≤2m＋ ≤ ，解得 ≤m≤ ，所以实数m的取值范围
是［ ， ］.
（3）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝ cos （2x＋φ）（0≤φ＜
π），f（0）＝ .
①求φ；
②设函数g（x）＝f（x）＋f（x－ ），求g（x）的值域和单调区间.
解：①因为f（0）＝ cos φ＝ ，且0≤φ＜π，所以φ＝ .
②g（x）＝f（x）＋f（x－ ）＝ cos （2x＋ ）＋ cos 2x＝ cos 2x cos
－ sin 2x sin ＋ cos 2x＝ cos 2x－ sin 2x＝ （ cos 2x－ sin
2x）＝ cos （2x＋ ），
故函数g（x）的值域为[－ ， ].
令2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ－ （k∈Z），
所以g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ－ ］（k∈Z）.
令2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），
所以g（x）的单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：79分）
一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1. 函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋ ，k∈Z}，关于原点对
称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x）
为偶函数.
2. （2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜ sin （2x＋ ）｜的最小
正周期是（　　）
A. B.
C. π D. 2π
√
解析： 　因为函数y＝ sin （2x＋ ）的最小正周期T＝ ＝ ＝π，所
以函数f（x）＝｜ sin （2x＋ ）｜的最小正周期为 .故选B.
1
2
3
4
5
6
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15
3. 若f（x）＝ sin （2x＋ ）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取
值范围为（　　）
A. （0， ］ B. （0， ］
C. （0， ］ D. （0，π]
√
解析： 　∵0∈[－t，t]，∴只需考虑f（x）的含0的单调递增区间.由
－ ≤2x＋ ≤ ，得－ ≤x≤ ，∴－ ≤－t＜t≤ ，解得0＜t≤ .
1
2
3
4
5
6
7
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4. （2025·浙江名校协作体考试）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞
0）满足f（ ）＝1，最小正周期为π，函数g（x）＝ sin 2x，则为得到g
（x）的图象，需将f（x）的图象向左平移（　　）
A. 个单位长度 B. 个单位长度
C. 个单位长度 D. 个单位长度
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
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15
解析： 　由题意知， ＝π，得ω＝2，所以f（x）＝ sin （2x＋φ），又
f（ ）＝1，所以2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，得φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ）＝ sin （2x－ ）＝ sin ［2（x－
）］，又g（x）＝ sin 2x，故为得到g（x）的图象，需将f（x）的图
象向左平移 个单位长度.故选A.
1
2
3
4
5
6
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8
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12
13
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15
5. （2025·天津河西一模）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）图
象的一条对称轴是x＝ ，且在[0，π]上有且仅有两个对称中心，则函数f
（x）的解析式为（　　）
A. f（x）＝ sin （ x＋ ）
B. f（x）＝ sin （ x＋ ）
C. f（x）＝ sin （2x＋ ）
D. f（x）＝ sin （ x＋ ）
√
1
2
3
4
5
6
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8
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13
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15
解析： 　因为函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）图象的一条对称轴
是x＝ ，则 ＋ ＝kπ＋ （k∈Z），解得ω＝2k＋ （k∈Z），当
0≤x≤π时， ≤ωx＋ ≤πω＋ ，因为函数f（x）在[0，π]上有且仅有
两个对称中心，则2π≤πω＋ ＜3π，解得 ≤ω＜ ，故ω＝ ，所以f
（x）＝ sin （ ＋ ）.故选B.
1
2
3
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15
6. （2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游
客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距
离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱（按顺时针
依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到
距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天
轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座
舱开始计时，10 min内（含10 min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一
样的情况，则k的最小值是（　　）
A. 16 B. 17
C. 18 D. 19
√
1
2
3
4
5
6
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15
解析： 　设乙家庭转动t min出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜
t≤10，只需考查旋转的第一周内即可，而摩天轮的座舱每分钟转动 ＝
，则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为 t，摩天轮的两个相邻座舱中
点间的圆弧所对圆心角为 ＝ ，甲家庭的座舱转过的弧度数为
＋ t，依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对
称，则 ＋ t＋ t＝2π，整理得k＝48－ t＋1≥17，当且仅当
t＝10时取等号，所以k的最小值是17.故选B.
1
2
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7. （2025·广东广州一模）已知ω＞0，曲线y＝ cos ωx与y＝ cos （ωx－
）相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝（　　）
A. π B. π
C. π D. π
√
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5
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解析： 　法一　作出y＝ cos ωx与y＝
cos （ωx－ ）（ω＞0）的部分图象，如
图，设两个函数图象相邻的三个交点为
A，B，C，则易知∠ABC＝ .由 cos ωx＝ cos （ωx－ ）得，ωx＋ωx－ ＝2kπ，k∈Z，所以ωx＝ ＋kπ，k∈Z，x＝ ＋ ，k∈Z. 分别令k＝0，1，2可得A（ ， ），B（ ，－ ），C（ ， ），由 · ＝0可得（ ，－ ）·（－ ，－ ）＝0，所以 ＝3，所以ω＝ π.故选A.
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2
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法二　由题意，两曲线相邻的三个交点构成直角三角形，且直角边长度相
等.根据三角函数图象性质，相邻的两个交点横坐标差为 ，因此直角三角
形的斜边长度为 .利用勾股定理，可得：（ ）2＋（ ）2＝（ ）2，
解得ω＝ π.故选A.
1
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二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8. （2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ），则下列说
法中正确的有（　　）
A. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
B. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
C. f（x）在（－ ， ）上单调递增
D. 若f（x1）－f（x2）＝2，则｜x1－x2｜的最小值为
√
√
√
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2
3
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解析： 　A选项，x＝ 时，2x＋ ＝ π，因为x＝ π不是y＝ sin x的
对称轴，故A错误；B选项，x＝ 时，2x＋ ＝π，因为（π，0）是y＝
sin x的对称中心，故B正确；C选项，x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（－
， ），因为y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，故C正确；D选项，因
为f（x）max＝1，f（x）min＝－1，由f（x1）－f（x2）＝2得f（x1）＝
1，f（x2）＝－1，所以｜x1－x2｜的最小值即为两条相邻对称轴之间的距
离，即为 T，因为T＝ ＝π，所以｜x1－x2｜的最小值为 ，故D正确.
1
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9. （2025·辽宁二模）如图是不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan
（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的局部图象，则下列结论正确的是（　）
A. f（x）的最小正周期为
B. （ ，0）是f（x）图象的一个对称中心
C. ｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）
D. f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移 个单位长度得到的
√
√
1
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15
解析： 　由图象可知f（x）的最小正周期为T＝ ［ －（－ ）］＝
，故A正确；由T＝ ＝ ，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图
象的对称性可知（ ，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象
上，所以f（ ）＝2tan（ ＋φ）＝0，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，则f
（x）＝2tan（2x－ ），因为f（ ）＝2tan（ － ）＝2≠0，所以
（ ，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误；
1
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令2x－ ＝ ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，所以函数f（x）的对称
中心为（ ＋ ，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝ ＋ ，
k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移 个单位长度，得到y＝
2tan［2（x－ ）］＝2tan（2x－ ）≠f（x），故D错误.故选A、C.
1
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10. （2025·浙江温州二模）已知函数f（x）＝ sin x，g（x）＝ cos x，则
以下两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（　　）
A. y＝f（x）－g（x）与y＝ f（x）
B. y＝[f（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x）
C. y＝f[f（x）]与y＝f[g（x）]
D. y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）]
√
√
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2
3
4
5
6
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15
解析： 　对于A选项，f（x）－g（x）＝ sin x－ cos x＝ sin （x－
），函数y＝ f（x）＝ sin x，所以这两个函数的图象能通过平移重
合，A正确；对于B选项，[f（x）]2－[g（x）]2＝ sin 2x－ cos 2x＝－ cos
2x，f（x）g（x）＝ sin x cos x＝ sin 2x，函数y＝[f（x）]2－[g
（x）]2的振幅为1，函数y＝f（x）g（x）的振幅为 ，所以y＝[f
（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x）的图象不能通过平移重合，B错
误；对于C选项，因为f[f（x）]＝ sin （ sin x），f[g（x）]＝ sin （ cos
x）＝ sin ［ sin （x＋ ）］，将函数y＝f[f（x）]的图象向左平移 个单
位长度可与函数y＝f[g（x）]的图象重合，C正确；对于D选项，g[f（x）]＝ cos （ sin x）＝ sin （ sin x＋ ），函数y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）]的图象不能通过平移重合，D错误.故选A、C.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
11. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）（ω＞0）的图象关于点（ ，0）
对称，则f（x）的最小正周期可能是 （写出一个满
足条件的答案即可）.
解析：∵函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）（ω＞0）的图象关于点（ ，0）
对称，∴ ω－ ＝kπ，k∈Z，解得ω＝4＋6k，k∈Z. ∵ω＞0，∴ω＝4
＋6k，k∈N，f（x）的最小正周期为T＝ ＝ ，k∈N，当k＝0
时，f（x）的最小正周期为T＝ .
（答案不唯一）
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12. 函数f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x的最小值为 .
解析：法一（观察法）　因为当x＝2kπ＋π
（k∈Z）时，函数y＝｜ sin x｜和y＝ cos x都取最
小值，且最小值分别为0和－1，所以函数f（x）
＝｜ sin x｜＋ cos x的最小值为0＋（－1）＝－1.
－1
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法二（利用周期函数的性质）　因为f（x＋2π）＝｜ sin （x＋2π）｜＋ cos （x＋2π）＝｜ sin x｜＋ cos x，所以2π是函数f（x）的一个周期，所以求函数f（x）的最小值，只需求出其在一个周期内的最小值即可.下面考虑x∈[0，2π）.f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x＝
作出函数f（x）在[0，2π）上的大致图象，如图，所以当x＝π时，函数f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x取得最小值－1.故函数f（x）的最小值为－1.
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13. 已知函数f（x）＝ sin （2ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，f
（x）在（－ ， ）上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝ a
交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜，则a＝ .

解析：因为函数f（x）＝ sin （2ωx＋ ）的最小正周
期为π，且ω＞0，所以 ＝π ω＝1.所以f（x）＝ sin
（2x＋ ）.当x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（0，
π），所以 sin （2x＋ ）∈（0，1].作函数f（x）＝ sin （2x＋ ），x∈（－ ， ）的草图如图所示.
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函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，设｜CD｜＝2t，则B（ ＋2t，a），D（ ＋t， a）.0＜t＜ ，所以 sin ［2（ ＋t）＋ ］＝ sin ［2（ ＋2t）＋ ］ cos 2t＝ cos 4t cos 2t＝ （2 cos 22t－1） 2 cos 22t－ cos 2t－ ＝0，解得 cos 2t＝ 或 cos 2t＝－ （舍去）.所以a＝ sin ［2（ ＋2t）＋ ］＝ cos 4t＝2 cos 22t－1＝2× －1＝ .
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【高考新风向】（14题6分，15题5分，共11分）
14. 〔创新考法〕〔多选〕设函数f（x）＝ ，则（　　）
A. f（x）的图象有对称轴
B. f（x）是周期函数
C. f（x）在区间（0， ）上单调递增
D. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
√
√
√
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解析： 　函数f（x）的定义域为x≠ ，k∈Z，关于原点对称.∵f
（－x）＝ ＝ ＝ ＝f（x），∴f（x）
是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵f（x＋2π）＝
＝ ＝f（x），∴T＝2π是函数f（x）的一
个周期，故B正确；
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f（x）＝ ，∵f（ ）＝ ＝ ＞0，f（ ）＝ ＝0，显然
f（ ）＞f（ ），故f（x）在区间（0， ）上不单调递增，故C错误；
f（ －x）＋f（ ＋x）＝ ＋
＝ ＋ ＝0，∴f（x）的图象
关于点（ ，0）中心对称.故选A、B、D.
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15. 〔创新交汇〕如图，将绘有函数f（x）＝M sin （ x＋φ）（M＞0，
0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为
，则φ＝ 　 　.

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解析：如图，设C，D分别为x轴上
的两点，且AC⊥x轴，BD⊥x轴，
因为f（x）的最小正周期T＝ ＝
6，所以｜CD｜＝ ＝3，又｜AC｜
＝M，｜BC｜＝ ＝ ，当折成直二面角时，因为
AC⊥x轴，AC 平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，所以AC⊥
平面BCD，又BC 平面BCD，所以AC⊥BC，所以｜AB｜＝ ＝ ＝ ，解得M＝1（负值已舍去），
所以f（x）＝ sin （ x＋φ），所以f（0）＝ sin φ＝ ，因为0＜φ＜π，所以φ＝ 或 ，又因为函数f（x）在y轴右侧附近单调递减，所以φ＝ .
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