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第3讲　解三角形
（时间：60分钟，满分：102分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2asin B，bc＝4，则△ABC的面积为（　　）
A.1 B.
C.2 D.2
2.（2023·全国乙卷文4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为（　　）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
4.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝acos C－2acos B，则＝（　　）
A. B.
C.1 D.2
5.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40 cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（　　）
A.－ B.－
C.－ D.－
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且－a＝，延长BC至点D，使得BC＝CD，连接AD，若AD＝2，AB＝2，则a＝（　　）
A.1 B.
C.2 D.3
二、多项选择题（每小题6分，共12分）
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5∶6∶7，则下列结论正确的是（　　）
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a＝6，则△ABC的面积是6
D.若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则＝
`8.（2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos Bsin C＝，则（　　）
A.sin C＝sin2A＋sin2B
B.AB＝
C.sin A＋sin B＝
D.AC2＋BC2＝3
三、填空题（每小题5分，共10分）
9.在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a为最大边.若a2＜b2＋c2，则A的取值范围为　　　　.
10.（2025·四川南充一诊）已知平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为　　　　.
四、解答题（共30分）
11.（15分）（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝.
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求sin（A＋2B）的值.
12.（15分）（2025·广东综合能力测试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2btan C＝c（tan A＋tan C）.
（1）求角A的大小；
（2）若B＝，c＝4.
①求b；
②过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值.
☆高考新风向（13题5分，14题15分，共20分）
13.〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，b2，2c2成等差数列，则tan（C－B）的最小值为（　　）
A. B.
C.－ D.－
14.（15分）〔创新考法〕如图，∠AOD与∠BOC是对顶角，且∠AOD＝∠BOC＝，AC＝2，BD＝2，BC＝AD.
（1）证明：O为BD的中点；
（2）若sin 2A＋cos B＝，求OC的长.
第3讲　解三角形
1.A　由b＝2asin B，可得sin B＝2sin Asin B，因为0＜B＜π，所以sin B＞0，则sin A＝，S△ABC＝bcsin A＝1，故选A.
2.C　由正弦定理及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin（A－B）＝sin C＝sin（A＋B）.因为A－B＜A＋B，所以A－B＋A＋B＝π，解得A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
3.A　由cos B＝1－2sin2，得sin2＝，所以＝，即cos B＝.由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.
4.D　法一（正弦定理）　∵b－2c＝acos C－2acos B，∴b－acos C＝2c－2acos B，由正弦定理得sin B－sin Acos C＝2sin C－2sin Acos B，即sin（A＋C）－sin Acos C＝2sin（A＋B）－2sin Acos B，化简得cos Asin C＝2sin Bcos A，∵△ABC为锐角三角形，∴cos A＞0，∴sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b，故＝2.故选D.
法二（余弦定理）　∵b－2c＝acos C－2acos B，∴b－acos C＝2c－2acos B，由余弦定理得b－a×＝2c－2a×，即（2b2－a2－b2＋c2）c＝2（2c2－a2－c2＋b2）b，∵△ABC为锐角三角形，∴cos A＝＞0，∴b2＋c2－a2＞0，∴c＝2b，故＝2.故选D.
法三（射影定理）　∵b－2c＝acos C－2acos B，∴b－acos C＝2c－2acos B，由射影定理得ccos A＋acos C－acos C＝2（bcos A＋acos B）－2acos B，即ccos A＝2bcos A，∵△ABC为锐角三角形，∴cos A＞0，∴c＝2b，故＝2.故选D.
5.A　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16（cm），因为B为AD'的中点，所以AB＝AC＝AD'＝20（cm），当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD'＝40（cm），所以BD＝20（cm），在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝，所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－.
6.C　由－a＝，可得bsin B＝asin A＋（c－a）sin C，由正弦定理得b2＝a2＋（c－a）c，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，又0＜B＜π，所以B＝，由题意可知BD＝2a，AD＝2，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝22＋（2a）2－2×2×2a×cos ＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2（负值舍去）.故选C.
7.BD　设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，则a＝3t，b＝2t，c＝4t，对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；对于B，c最大，所以C最大，cos C＝＝－＜0，故B正确；对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，由cos C＝－ sin C＝，所以△ABC的面积是S＝absin C＝×6×4×＝3，故C不正确；对于D，由正弦定理推得R＝＝＝t，△ABC的周长l＝9t，S＝absin C＝t2，所以内切圆半径为r＝＝t，所以＝，故D正确.故选B、D.
8.ABC　A.cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2，所以sin2A＋sin2B＝sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由sin2A＋sin2B＝sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.由cos Acos Bsin C＝，易知A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，即A＞－B，则sin A＞sin（－B）＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B＞cos2B＋sin2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝；B.由cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝，所以sin Asin B＝.因为S△ABC＝ab＝，所以ab＝，所以＝（2R）2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，故B正确；C.（sin A＋sin B）2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋2sin Asin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，故C正确；D.AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误.故选A、B、C.
9.{A｜60°＜A＜90°}　解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是{A｜60°＜A＜90°}.
10.2　解析：连接AC，如图，则AC2＝5－4cos B＝25－24cos D，所以－cos B＋6cos D＝5　①.平面四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝×2×sin B＋×3×4×sin D＝sin B＋6sin D　②，①2＋②2，得S2＋25＝cos2B－12cos B·cos D＋36cos2D＋sin2B＋12sin B·sin D＋36sin2D＝37－12cos（B＋D），所以S2＝12－12cos（B＋D），则当B＋D＝π时，有＝24，所以Smax＝2.
11.解：（1）因为asin B＝bcos A，所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝.
又因为A∈（0，π），所以A＝.
（2）因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）×，化简得b2＋b－2＝0，又b＞0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
（3）由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝.
因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角，cos B＝＝.
sin 2B＝2sin Bcos B＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝.
所以sin（A＋2B）＝sin（＋2B）＝sincos 2B＋cossin 2B＝×＋×＝.
12.解：（1）在△ABC中，A＋C＝π－B，sin（A＋C）＝sin B.
由2btan C＝c（tan A＋tan C）及正弦定理得，2sin B·＝sin C（＋）＝
sin C·＝
sin C·＝sin C·.
因为sin B＞0，sin C＞0，所以cos A＝，又0＜A＜π，故A＝.
（2）①在△ABC中，C＝π－－，所以sin C＝sin（＋）＝.
由正弦定理＝，得＝，所以b＝4－4.
②由∠PDB＝∠PEB＝，得∠DPE与∠DBE互补，
故cos∠DPE＝－cos∠DBE＝－.
法一（单变量法）　设AD＝x，则PA＝2x，PD＝x，PC＝4（－1）－2x，
PE＝PC·sin C＝2－x，则DE2＝PD2＋PE2－2PD·PE·cos∠DPE＝3x2＋（2－x）2＋2·x·（2－x）·＝2x2－4x＋8＝2（x－1）2＋6，
所以当x＝1时，DE取得最小值，为.
法二（四点共圆）　如图1，连接BP，由PD⊥AB，PE⊥BC，得P，E，B，D四点共圆，且BP为该圆的直径.
由正弦定理得，DE＝BPsin ＝BP，故求DE的最小值等价于求BP的最小值.
当BP⊥AC时，BP最小，此时BP＝AB×sin A＝4×sin ＝2，
DE＝×2＝，故DE的最小值为.
法三（建系法）　以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2，则A（2，0），B（－2，0），直线BC：y＝x＋2，
直线AC：y＝－（x－2）.
设D（t，0），则P（t，－（t－2）），
直线PE：y＝－（x－t）－（t－2）.
联立
解得E（t＋－1，t＋＋1），
DE2＝（t＋－1）2＋（t＋＋1）2＝2t2－4t＋8＝2（t－1）2＋6.
当t＝1时，DE取得最小值，为.
13.D　因为a2，b2，2c2成等差数列，所以a2＋2c2＝2b2，则cos B＝＝，cos C＝＝，所以＝＝＝，即tan B＝3tan C，设tan C＝t，则tan B＝3t（此时t＞0，因为B，C为三角形内角，且tan B与tan C同号，若t＜0，则两角均为钝角，矛盾）.所以tan（C－B）＝＝＝＝≥＝－（当3t＝，即t＝时取等号）.故tan（C－B）的最小值为－.故选D.
14.解：（1）证明：如图，设OB＝x，OC＝m，∴OD＝2－x，OA＝2－m，
在△BOC与△AOD中分别由余弦定理 BC2＝AD2 m2＋x2－2mx·＝（2－m）2＋（2－x）2－2（2－m）·（2－x）·＝m2＋x2－4m－4x＋12－8＋2x＋4m－mx，
∴2x＝4，x＝，
∴BO＝OD＝，∴O为BD中点.
（2）在△BOC与△AOD中，分别由正弦定理得
∵BC＝AD，BO＝OD，∴sin A＝sin C，
由图知显然A≠C，
∴A＋C＝π，∴C＝π－A，
∴B＝A－，＜A＜，
∴sin 2A＋cos（ A－）＝，
令sin A＋cos A＝t，t＞0，
∴（t2－1）＋t＝，解得t＝（负值舍去），
∴sin A＋cos A＝，
∴（ －sin A）2＋sin2A＝1，
∴sin A＝，cos A＝，
∴sin B＝sin A－cos A＝×＝，sin C＝sin A＝，
在△BOC中，由正弦定理得＝，∴OC＝.
3 / 3第3讲　解三角形
【备考指南】　正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.主观题与客观题均有涉及，难度中等或偏下.
1.正弦定理：＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径）.
1.在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝（　　）
A. B.
C.＋ D.＋
2.余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，推论：cos A＝.
2.（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　）
A.45° B.60°
C.120° D.135°
3.验证三角形解的情况：
（1）任意两角之和小于π；
（2）大边对大角，小边对小角.
4.三角形面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般已知哪个角就用哪个公式.
3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，A＝，则△ABC的解的个数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.不确定
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝（b－c）2，A＝，则△ABC的面积为　　　　.
考点一　正、余弦定理
【通性通法】　三角形边角转化的主要策略
（1）对于边的“一次齐次式”，常利用正弦定理化边为角；
（2）对于含角的余弦值或含边的二次关系的式子，常利用余弦定理进行边角互化.
【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
【训练1】　（1）（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝（　　）
A. B.
C. D.
【瓶颈突破】　解三角形问题注意隐含条件的挖掘
（1）在△ABC中，a＋b＞c，｜a－b｜＜c；A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B；
（2）在△ABC中，A＋B＋C＝π，sin（A＋B）＝sin C，cos（A＋B）＝－cos C，sin＝cos；
（3）若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞ A＞－B sin A＞cos B cos A＜sin B.
（2）〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的是（　　）
A.若a＞b，则sin A＞sin B
B.若sin A＞sin B，则A＞B
C.若sin A＞cos B，则△ABC为锐角三角形
D.若△ABC为锐角三角形，则sin A＞cos B
（3）（2025·江苏四市调研）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos B＋1＝.
①证明：B＝2A；
②若sin A＝，b＝，求△ABC的周长.
考点二　最值（范围）问题
【通性通法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略
（1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值或范围；
（2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简，利用三角函数的性质求最值或范围.
【例2】　（2025·东北四市联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝.
（1）求角A的大小；
（2）若BC＝2，求·的最大值.
【易错提醒】　涉及锐角三角形时，要综合考虑三个角均为锐角的条件.
【训练2】　（1）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.若B＝2A，则的取值范围是（　　）
A.（－2，2） B.（0，2）
C.（，） D.（，2）
（2）〔多选〕（2025·山东济宁一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，且2c－b＝2acos B，则下列结论正确的是（　　）
A.A＝ B.△ABC外接圆的面积为π
C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为3
考点三　多个三角形联立问题
【通性通法】　解多个三角形联立问题的步骤
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
（2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
（3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件.
【例3】　如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，cos B＝，
cos∠ACB＝，BC＝.
（1）求AC；
（2）若△ACD的面积为，求CD.
【训练3】　（2025·浙江稽阳联谊学校二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC＝1且bcos C＋csin B＝1＋2c.
（1）求角B的大小；
（2）如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB＝B，CD＝，AC＝AD，求sin∠BCA的值.
第3讲　解三角形
【基础·回扣】
1.D　2.A　3.C　4.2　
【典例·讲解】
【例1】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，
又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可得A＝，
则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，
由正弦定理有＝，
从而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），
将a＝c代入，解得c＝2.
【训练1】　（1）C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝.
（2）ABD　在△ABC中，若a＞b，则根据正弦定理可得sin A＞sin B，选项A正确；由sin A＞sin B及正弦定理得a＞b，则A＞B，选项B正确；若sin A＞cos B，即cos（－A）＞cos B，当cos B＜0，cos（－A）＞0时，△ABC为钝角三角形，选项C错误；若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，则有＞A＞－B＞0，又正弦函数在（0，）上单调递增，所以sin A＞sin（－B），即sin A＞cos B，选项D正确.故选A、B、D.
（3）解：①证明：由2cos B＋1＝，得（2cos B＋1）sin A＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，
从而得sin A＝sin Bcos A－cos Bsin A＝sin（B－A），
∵A，B∈（0，π），∴B－A∈（－π，π），
∴A＝B－A或A＋（B－A）＝π（舍），∴B＝2A.
②由sin A＝，结合①知A＋B＝3A∈（0，π），则A∈（0，），得cos A＝＝＝，
sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝，
cos B＝cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×＝，
∴sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝＝，
由正弦定理得＝＝，即＝＝，即得a＝2，c＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
【例2】　解：（1）因为tan A＋tan B＝，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝，
由正弦定理得tan A＋tan B＝，
又tan A＋tan B＝＋＝＝＝，所以＝，显然cos B≠0，
又在△ABC中，sin C＞0，
所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，所以A＝.
（2）法一　由余弦定理及A＝可得a2＝c2＋b2－2cbcos A＝c2＋b2－cb＝4，
又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立，
所以4＋bc≥2bc，则bc≤，
·＝cbcos A≤×＝2＋2，
所以·的最大值为2＋2.
法二　·＝bccos A＝bc＝×sin Bsin C＝4sin Bsin C＝2[cos（B－C）－cos（B＋C）]＝2［cos（B－C）＋］，
因为0＜B＜，0＜C＜，所以－＜B－C＜，则·≤2（1＋）＝2＋2，当且仅当B＝C时“＝”成立.
故·的最大值为2＋2.
【训练2】　（1）C　∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A.由正弦定理得＝＝＝2cos A.∵0＜2A＜，0＜π－3A＜，∴＜A＜，∴＜cos A＜，＜2cos A＜.故选C.
（2）BCD　对于选项A，因为2c－b＝2acos B，由余弦定理可得2c－b＝2a×＝，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，且A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于选项B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝＝＝1，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确；对于选项C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为×3×＝，故C正确；对于选项D，由b2＋c2＝3＋bc可得（b＋c）2＝3＋3bc，即bc＝，且bc≤，即≤，解得（b＋c）2≤12，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故D正确.故选B、C、D.
【例3】　解：（1）由cos B＝，cos∠ACB＝，则sin B＝＝，sin∠ACB＝＝，
又由∠CAB＝π－B－∠ACB，
所以cos∠CAB＝－cos（B＋∠ACB）＝－（×－×）＝，
又由∠CAB∈（0，），可得∠CAB＝，
在△ABC中，由正弦定理得：＝，即＝，可得AC＝2.
（2）由AB⊥AD，∠CAB＝，可得∠CAD＝，
由△ACD的面积为，有×2AD×sin ＝，可得AD＝，
在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝.
【训练3】　解：（1）∵bcos C＋csin B＝1＋2c＝a＋2c，
∴在△ABC中，由正弦定理得，sin Bcos C＋sin Csin B＝sin A＋2sin C，　
由三角形内角和为180°可得sin A＝sin（B＋C），
∴sin Bcos C＋sin Csin B＝sin（B＋C）＋2sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C＋2sin C，
即sin Csin B－cos Bsin C＝2sin C，
∵0°＜C＜180°，∴sin C≠0，∴sin B－cos B＝2，sin B－cos B＝1，
即sin（B－30°）＝1，
又∵0°＜B＜180°，
∴B－30°＝90°，即B＝120°.
（2）∵AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形，令∠DCA＝∠CDA＝α，
∴∠CAD＝180°－2α，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
又CD＝，∴AC＝＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
又∠BAC＝α－60°，BC＝1，
∴AC＝，
∴sin（α－60°）＝cos α，sin（α－60°）＝sin（90°－α），解得α＝75°，
∴sin∠BCA＝sin（120°－75°）＝.
2 / 3(共65张PPT)
第3讲　解三角形
备考指南
正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.主观题与客观题均有涉及，难度中等或偏下.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝（　　）
A. B.
C. ＋ D. ＋
正弦定理： ＝ ＝ ＝2R
（R为△ABC外接圆半径）.
√
解析： 　由题知B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理 ＝
，得c＝ ＝ ＝ ＝ ＋ .
2. （2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋ ，AB＝ ，
则A＝（　　）
A. 45° B. 60°
C. 120° D. 135°
√
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，
推论： cos A＝ .
解析： 　法一（通解）　 cos A＝ ＝ ＝ ，
因为0°＜A＜180°，所以A＝45°.
法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜
60°，排除B、C、D，故选A.
3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，
A＝ ，则△ABC的解的个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 不确定
√
验证三角形解的情况：
（1）任意两角之和小于π；
（2）大边对大角，小边对小角.　
解析： 　法一　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所
以4＝9＋c2－6c· ，即c2－3 c＋5＝0，解得c＝ 或c＝
，所以△ABC的解的个数是2.
法二　因为 sin B＝ ＝ ，b＞a，B有两解，所以△ABC解的个数
是2.
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝
（b－c）2，A＝ ，则△ABC的面积为 　2 　.
2
4. 三角形面积公式：S＝ ab sin C＝ ac sin B
＝ bc sin A，一般已知哪个角就用哪个公式.
解析：由a2－8＝（b－c）2，得b2＋c2－a2＝2bc－8，因为A＝ ，所以
由余弦定理推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，解得bc＝8，所以
△ABC的面积是 bc sin A＝ ×8× ＝2 .
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一　正、余弦定理
【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
【通性通法】　三角形边角转化的主要策略
（1）对于边的“一次齐次式”，常利用正弦定理化边为角；
（2）对于含角的余弦值或含边的二次关系的式子，常利用余弦定理进行边角互化.
解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cosB，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解： 由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，
由正弦定理有 ＝ ，从而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
【训练1】　（1）（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin A＋ sin C＝
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin A
sin C＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－ac＝
ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所以（ sin
A＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝ ，又 sin A＞
0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ .
（2）〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
下列判断正确的是（　　）
A. 若a＞b，则 sin A＞ sin B
B. 若 sin A＞ sin B，则A＞B
C. 若 sin A＞ cos B，则△ABC为锐角三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则 sin A＞ cos B
√
√
√
【瓶颈突破】　解三角形问题注意隐含条件的挖掘
（1）在△ABC中，a＋b＞c，｜a－b｜＜c；A＞B a＞b sin A＞
sin B cos A＜ cos B；
（2）在△ABC中，A＋B＋C＝π， sin （A＋B）＝ sin C， cos （A＋
B）＝－ cos C， sin ＝ cos ；
（3）若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞ A＞ －B sin A＞ cos
B cos A＜ sin B.
解析： 　在△ABC中，若a＞b，则根据正弦定理可得 sin A＞ sin B，
选项A正确；由 sin A＞ sin B及正弦定理得a＞b，则A＞B，选项B正确；
若 sin A＞ cos B，即 cos （ －A）＞ cos B，当 cos B＜0， cos （ －A）
＞0时，△ABC为钝角三角形，选项C错误；若△ABC为锐角三角形，则A
＋B＞ ，则有 ＞A＞ －B＞0，又正弦函数在（0， ）上单调递增，
所以 sin A＞ sin （ －B），即 sin A＞ cos B，选项D正确.故选A、B、D.
（3）（2025·江苏四市调研）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知2 cos B＋1＝ .
①证明：B＝2A；
②若 sin A＝ ，b＝ ，求△ABC的周长.
解：①证明：由2 cos B＋1＝ ，得（2 cos B＋1） sin A＝ sin C＝ sin （A
＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，
从而得 sin A＝ sin B cos A－ cos B sin A＝ sin （B－A），
∵A，B∈（0，π），∴B－A∈（－π，π），
∴A＝B－A或A＋（B－A）＝π（舍），∴B＝2A.
②由 sin A＝ ，结合①知A＋B＝3A∈（0，π），则A∈（0， ），得
cos A＝ ＝ ＝ ，
sin B＝ sin 2A＝2 sin A cos A＝2× × ＝ ，
cos B＝ cos 2A＝1－2 sin 2A＝1－2× ＝ ，
∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B＝ × ＋ × ＝
＝ ，
由正弦定理得 ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，即得a＝2，c＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋ .
考点二　最值（范围）问题
【例2】　（2025·东北四市联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分
别为a，b，c，且tan A＋tan B＝ .
（1）求角A的大小；
解：因为tan A＋tan B＝ ，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝
＝ ，
由正弦定理得tan A＋tan B＝ ，
又tan A＋tan B＝ ＋ ＝ ＝ ＝
，所以 ＝ ，显然 cos B≠0，
又在△ABC中， sin C＞0，
所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝1，所以A＝ .
（2）若BC＝2，求 · 的最大值.
【通性通法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略
（1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b
与ab相互转化求最值或范围；
（2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简，
利用三角函数的性质求最值或范围.
解： 法一　由余弦定理及A＝ 可得a2＝c2＋b2－2cb cos A＝c2＋b2
－ cb＝4，
又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立，
所以4＋ bc≥2bc，则bc≤ ，
· ＝cb cos A≤ × ＝2 ＋2，
所以 · 的最大值为2 ＋2.
法二　 · ＝bc cos A＝ bc＝ × sin B sin C＝4 sin B sin C＝
2 [ cos （B－C）－ cos （B＋C）]＝2 ［ cos （B－C）＋ ］，
因为0＜B＜ ，0＜C＜ ，所以－ ＜B－C＜ ，则 · ≤2
（1＋ ）＝2 ＋2，当且仅当B＝C时“＝”成立.
故 · 的最大值为2 ＋2.
【训练2】　（1）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C
的对边.若B＝2A，则 的取值范围是（　　）
A. （－2，2） B. （0，2）
C. （ ， ） D. （ ，2）
√
【易错提醒】　涉及锐角三角形时，
要综合考虑三个角均为锐角的条件.
解析： 　∵B＝2A，∴ sin B＝ sin 2A. 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2
cos A. ∵0＜2A＜ ，0＜π－3A＜ ，∴ ＜A＜ ，∴ ＜ cos A＜ ，
＜2 cos A＜ .故选C.
（2）〔多选〕（2025·山东济宁一模）在△ABC中，内角A，B，C的对
边分别为a，b，c，a＝ ，且2c－b＝2a cos B，则下列结论正确的是
（　　）
A. A＝
B. △ABC外接圆的面积为π
C. △ABC面积的最大值为
D. △ABC周长的最大值为3
√
√
√
解析： 　对于选项A，因为2c－b＝2a cos B，由余弦定理可得2c－b
＝2a× ＝ ，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则 cos A＝
＝ ＝ ，且A∈（0，π），所以A＝ ，故A错误；对于选项
B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝ ＝ ＝1，所以
△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确；
对于选项C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋
c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝ 时，等号成
立，所以△ABC面积的最大值为 ×3× ＝ ，故C正确；对于选项D，
由b2＋c2＝3＋bc可得（b＋c）2＝3＋3bc，即bc＝ ，且
bc≤ ，即 ≤ ，解得（b＋c）2≤12，即b
＋c≤2 ，当且仅当b＝c＝ 时，等号成立，所以△ABC周长的最大
值为2 ＋ ＝3 ，故D正确.故选B、C、D.
考点三　多个三角形联立问题
【例3】　如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD， cos B＝ ，
cos ∠ACB＝ ，BC＝ .
【通性通法】　解多个三角形联立问题的步骤
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
（2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
（3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件.
（1）求AC；
解： 由 cos B＝ ， cos ∠ACB＝ ，则 sin B＝ ＝
， sin ∠ACB＝ ＝ ，又由∠CAB＝π－B－
∠ACB，
所以 cos ∠CAB＝－ cos （B＋∠ACB）＝－（ × － × ）
＝ ，
又由∠CAB∈（0， ），可得∠CAB＝ ，
在△ABC中，由正弦定理得： ＝ ，即 ＝ ，可得AC＝
2 .
（2）若△ACD的面积为 ，求CD.
解： 由AB⊥AD，∠CAB＝ ，可得∠CAD＝ ，
由△ACD的面积为 ，有 ×2 AD× sin ＝ ，可得AD＝ ，
在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝ .
【训练3】　（2025·浙江稽阳联谊学校二模）在△ABC中，内角A，B，
C的对边分别为a，b，c，BC＝1且b cos C＋ c sin B＝1＋2c.
（1）求角B的大小；
解： ∵b cos C＋ c sin B＝1＋2c＝a＋2c，
∴在△ABC中，由正弦定理得， sin B cos C＋ sin C sin B＝ sin A＋2
sin C，
由三角形内角和为180°可得 sin A＝ sin （B＋C），
∴ sin B cos C＋ sin C sin B＝ sin （B＋C）＋2 sin C＝ sin B cos C＋
cos B sin C＋2 sin C，即 sin C sin B－ cos B sin C＝2 sin C，
∵0°＜C＜180°，∴ sin C≠0，∴ sin B－ cos B＝2， sin B－
cos B＝1，
即 sin （B－30°）＝1，又∵0°＜B＜180°，∴B－30°＝90°，即
B＝120°.
（2）如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB＝B，CD＝ ，AC＝
AD，求 sin ∠BCA的值.
解：∵AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形，令∠DCA＝∠CDA＝α，
∴∠CAD＝180°－2α，
在△ACD中，由正弦定理得， ＝ ，
又CD＝ ，∴AC＝ ＝ .
在△ABC中，由正弦定理得， ＝ ，
又∠BAC＝α－60°，BC＝1，∴AC＝ ，
∴ sin （α－60°）＝ cos α， sin （α－60°）＝ sin （90°－
α），解得α＝75°，
∴ sin ∠BCA＝ sin （120°－75°）＝ .
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：60分钟，满分：102分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2a sin B，
bc＝4，则△ABC的面积为（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 2
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√
解析： 　由b＝2a sin B，可得 sin B＝2 sin A sin B，因为0＜B＜π，所以
sin B＞0，则 sin A＝ ，S△ABC＝ bc sin A＝1，故选A.
2. （2023·全国乙卷文4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是
a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝ ，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由正弦定理及a cos B－b cos A＝c，得 sin A cos B－ cos A sin B＝
sin C，即 sin （A－B）＝ sin C＝ sin （A＋B）.因为A－B＜A＋B，所
以A－B＋A＋B＝π，解得A＝ .所以B＝π－A－C＝π－ － ＝ .故
选C.
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3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ＝ sin 2 ，则
△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
√
解析： 　由 cos B＝1－2 sin 2 ，得 sin 2 ＝ ，所以 ＝ ，
即 cos B＝ .由余弦定理得 ＝ ，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋
b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.
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4. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝a
cos C－2a cos B，则 ＝（　　）
A. B.
C. 1 D. 2
√
解析： 　法一（正弦定理）　∵b－2c＝a cos C－2a cos B，∴b－a
cos C＝2c－2a cos B，由正弦定理得 sin B－ sin A cos C＝2 sin C－2
sin A cos B，即 sin （A＋C）－ sin A cos C＝2 sin （A＋B）－2 sin A
cos B，化简得 cos A sin C＝2 sin B cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴
cos A＞0，∴ sin C＝2 sin B，由正弦定理得c＝2b，故 ＝2.故选D.
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法二（余弦定理）　∵b－2c＝a cos C－2a cos B，∴b－a cos C＝2c－
2a cos B，由余弦定理得b－a× ＝2c－2a× ，即
（2b2－a2－b2＋c2）c＝2（2c2－a2－c2＋b2）b，∵△ABC为锐角三角
形，∴ cos A＝ ＞0，∴b2＋c2－a2＞0，∴c＝2b，故 ＝2.故
选D.
法三（射影定理）　∵b－2c＝a cos C－2a cos B，∴b－a cos C＝2c－
2a cos B，由射影定理得c cos A＋a cos C－a cos C＝2（b cos A＋a cos
B）－2a cos B，即c cos A＝2b cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴ cos
A＞0，∴c＝2b，故 ＝2.故选D.
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5. 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP
始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞
圈D能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，
且A，B，D'三点共线，AD'＝40 cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到
完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，
∠BAC的余弦值是（　　）
A. － B. －
C. － D. －
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解析： 　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16
（cm），因为B为AD'的中点，所以AB＝AC＝ AD'＝20（cm），当伞完
全收拢时，AB＋BD＝AD'＝40（cm），所以BD＝20（cm），在△ABD
中， cos ∠BAD＝ ＝ ＝ ，所以 cos ∠BAC＝
cos 2∠BAD＝2 cos 2∠BAD－1＝2× －1＝－ .
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6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 －a
＝ ，延长BC至点D，使得BC＝CD，连接AD，若AD＝
2 ，AB＝2，则a＝（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 3
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解析： 　由 －a＝ ，可得b sin B＝a sin A＋（c－a） sin
C，由正弦定理得b2＝a2＋（c－a）c，即a2＋c2－b2＝ac，所以 cos B
＝ ＝ ＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，由题意可知BD＝2a，
AD＝2 ，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝22＋（2a）2－
2×2×2a× cos ＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2（负值舍去）.故选C.
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二、多项选择题（每小题6分，共12分）
7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a＋
b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5∶6∶7，则下列结论正确的是（　　）
A. sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4
B. △ABC为钝角三角形
C. 若a＝6，则△ABC的面积是6
D. 若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则 ＝
√
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解析： 　设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，则a＝3t，b＝2t，c＝
4t，对于A， sin A∶ sin B∶ sin C＝3∶2∶4，故A不正确；对于B，c
最大，所以C最大， cos C＝ ＝－ ＜0，故B正确；对于C，
若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，由 cos C＝－ sin C＝ ，所以
△ABC的面积是S＝ ab sin C＝ ×6×4× ＝3 ，故C不正确；对
于D，由正弦定理推得R＝ ＝ ＝ t，△ABC的周长l＝9t，S
＝ ab sin C＝ t2，所以内切圆半径为r＝ ＝ t，所以 ＝ ，故
D正确.故选B、D.
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8. （2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为 ， cos 2A＋ cos 2B＋2 sin
C＝2， cos A cos B sin C＝ ，则（　　）
A. sin C＝ sin 2A＋ sin 2B
B. AB＝
C. sin A＋ sin B＝
D. AC2＋BC2＝3
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解析： 　A. cos 2A＋ cos 2B＋2 sin C＝1－2 sin 2A＋1－2 sin 2B＋2
sin C＝2，所以 sin 2A＋ sin 2B＝ sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC，
c＝AB，则 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由 sin
2A＋ sin 2B＝ sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.由 cos A cos B sin C＝ ，易知
A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞ ，即
A＞ －B，则 sin A＞ sin （ －B）＝ cos B，所以 sin C＝ sin 2A＋ sin
2B＞ cos 2B＋ sin 2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝ ；B.
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由 cos A cos B sin C＝ cos A cos B＝ ，所以 sin A sin B＝ .因为S△ABC＝ ab
＝ ，所以ab＝ ，所以 ＝（2R）2＝ ＝2，所以2R＝ ，所以
c＝2R· sin C＝ ，故B正确；C. （ sin A＋ sin B）2＝ sin 2A＋ sin 2B＋2
sin A sin B＝ sin C＋2 sin A sin B＝1＋2× ＝ ，所以 sin A＋ sin B＝ ，故
C正确；D. AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误.故选A、B、C.
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三、填空题（每小题5分，共10分）
9. 在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且a为最大边.若a2＜b2＋c2，则A的取值范围为
.
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则 cos A＝ ＞0.∴A＜
90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是{A｜60°＜A＜
90°}.
{A｜60°＜A＜
90°}
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10. （2025·四川南充一诊）已知平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，
CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为 .
解析：连接AC，如图，则AC2＝5－4 cos B＝25－24 cos D，
所以－ cos B＋6 cos D＝5　①.平面四边形ABCD的面积S＝
S△ABC＋S△ACD＝ ×2× sin B＋ ×3×4× sin D＝ sin B＋6
sin D　②，①2＋②2，得S2＋25＝ cos 2B－12 cos B· cos D＋
36 cos 2D＋ sin 2B＋12 sin B· sin D＋36 sin 2D＝37－12 cos（B＋D），所以S2＝12－12 cos （B＋D），则当B＋D＝π时，有 ＝24，所以Smax＝2 .
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四、解答题（共30分）
11. （15分）（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分
别为a，b，c.已知a sin B＝ b cos A，c－2b＝1，a＝ .
（1）求A的值；
解： 因为a sin B＝ b cos A，所以由正弦定理可得 sin A sin B＝
sin B cos A，
因为B∈（0，π），所以 sin B＞0，所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝
.
又因为A∈（0，π），所以A＝ .
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（2）求c的值；
解： 因为c－2b＝1，a＝ ， cos A＝ ，所以由a2＝b2＋c2－2bc
cos A，
可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）× ，化简得b2＋b－2＝0，又b
＞0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
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（3）求 sin （A＋2B）的值.
解： 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得 sin B＝ .
因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角， cos B＝ ＝ .
sin 2B＝2 sin B cos B＝ ，
cos 2B＝2 cos 2B－1＝ .
所以 sin （A＋2B）＝ sin （ ＋2B）＝ sin cos 2B＋ cos sin 2B＝
× ＋ × ＝ .
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12. （15分）（2025·广东综合能力测试）在△ABC中，内角A，B，C的
对边分别为a，b，c，且2btan C＝c（tan A＋tan C）.
（1）求角A的大小；
解： 在△ABC中，A＋C＝π－B， sin （A＋C）＝ sin B.
由2btan C＝c（tan A＋tan C）及正弦定理得，2 sin B· ＝ sin C（
＋ ）＝
sin C· ＝ sin C· ＝ sin C· .
因为 sin B＞0， sin C＞0，
所以 cos A＝ ，又0＜A＜π，故A＝ .
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（2）若B＝ ，c＝4.
①求b；
②过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值.
解： ①在△ABC中，C＝π－ － ，
所以 sin C＝ sin （ ＋ ）＝ .
由正弦定理 ＝ ，
得 ＝ ，所以b＝4 －4.
②由∠PDB＝∠PEB＝ ，
得∠DPE与∠DBE互补，故 cos ∠DPE＝－ cos ∠DBE＝－ .
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法一（单变量法）　设AD＝x，则PA＝2x，PD＝ x，PC＝4（ －1）－2x，
PE＝PC· sin C＝2 － x，则DE2＝PD2＋PE2－2PD·PE· cos ∠DPE＝3x2＋（2 － x）2＋2· x·（2 － x）· ＝2x2－4x＋8＝2（x－1）2＋6，
所以当x＝1时，DE取得最小值，为 .
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法二（四点共圆）　如图1，连接BP，由PD⊥AB，
PE⊥BC，得P，E，B，D四点共圆，且BP为该圆
的直径.
由正弦定理得，DE＝BP sin ＝ BP，故求DE的最
小值等价于求BP的最小值.
当BP⊥AC时，BP最小，此时BP＝AB× sin A＝4×sin ＝2 ，
DE＝ ×2 ＝ ，故DE的最小值为 .
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法三（建系法）　以AB的中点O为坐标原点，AB所
在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2，则A
（2，0），B（－2，0），直线BC：y＝x＋2，
直线AC：y＝－ （x－2）.
设D（t，0），则P（t，－ （t－2）），
直线PE：y＝－（x－t）－ （t－2）.
联立
解得E（ t＋ －1， t＋ ＋1），
DE2＝（ t＋ －1）2＋（ t＋ ＋1）2＝
2t2－4t＋8＝2（t－1）2＋6.当t＝1时，DE取得最小值，为 .
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【高考新风向】（13题5分，14题15分，共20分）
13. 〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若a2，b2，2c2成等差数列，则tan（C－B）的最小值为（　　）
A. B.
C. － D. －
√
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解析： 　因为a2，b2，2c2成等差数列，所以a2＋2c2＝2b2，则 cos B＝
＝ ， cos C＝ ＝ ，所以 ＝
＝ ＝ ，即tan B＝3tan C，设tan C＝t，则tan B＝3t（此
时t＞0，因为B，C为三角形内角，且tan B与tan C同号，若t＜0，则两角
均为钝角，矛盾）.所以tan（C－B）＝ ＝ ＝ ＝
≥ ＝－ （当3t＝ ，即t＝ 时取等号）.故tan（C－B）的最小
值为－ .故选D.
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14. （15分）〔创新考法〕如图，∠AOD与∠BOC是对顶角，且∠AOD
＝∠BOC＝ ，AC＝2，BD＝2 ，BC＝AD.
（1）证明：O为BD的中点；
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解：证明：如图，设OB＝x，OC＝m，∴OD＝
2 －x，OA＝2－m，
在△BOC与△AOD中分别由余弦定理 BC2＝AD2 m2
＋x2－2mx· ＝（2－m）2＋（2 －x）2－2（2－m）·（2 －
x）· ＝m2＋x2－4m－4 x＋12－8＋2 x＋4m－ mx，∴2 x＝4，x＝ ，∴BO＝OD＝ ，∴O为BD中点.
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（2）若 sin 2A＋ cos B＝ ，求OC的长.
解： 在△BOC与△AOD中，分别由正弦定理
得 ∵BC＝AD，BO＝OD，
∴ sin A＝ sin C，由图知显然A≠C，∴A＋C＝π，∴C＝π－A，
∴B＝A－ ， ＜A＜ ，
∴ sin 2A＋ cos （A－ ）＝ ，
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令 sin A＋ cos A＝t，t＞0，
∴ （t2－1）＋ t＝ ，解得t＝ （负值舍去），∴ sin A＋ cos A
＝ ，
∴（ － sin A）2＋ sin 2A＝1，∴ sin A＝ ， cos A＝ ，
∴ sin B＝ sin A－ cos A＝ × ＝ ， sin C＝ sin A＝ ，
在△BOC中，由正弦定理得 ＝ ，∴OC＝ .
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