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微突破1　ω的值（范围）问题
（时间：30分钟，满分：45分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1.（2025·河南郑州模拟）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（　　）
A.2　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.如图，函数f（x）＝2tan（ωx＋）（ω＞0）的部分图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且△ABC的面积为，则ω＝（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.已知函数f（x）＝2cos（ωx－φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，在（0，）上单调递增，且 x∈（0，），f（x）＜2，则ω的取值范围是（　　）
A.［1，］ B.（1，2] C.（0，1] D.（0，2]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2025·安徽安庆二模）已知函数f（x）＝sin（2ωx＋）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，且f（x）在（0，）上没有最小值，则ω的值为（　　）
A. B. C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.（，］
C.（，］ D.［，＋∞）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω＞0），若 x0∈［－，］使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值为（　　）
A. B. C. D.1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、填空题（每小题5分，共15分）
7.已知函数f（x）＝cos（ωx＋）＋cos（ωx－）（ω＞0）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.已知f（x）＝sin ωx（ω∈N*），若在区间［0，］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，则ω的值可以为　　　　.（填一个值即可）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0），若集合{x∈（0，π）｜f（x）＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
微突破1　ω的值（范围）问题
1.A　由题意知，f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期T＝＝2（－）＝π，得ω＝2.故选A.
2.B　根据题意，当x＝0时，f（0）＝2tan ＝2，又因为△ABC的面积为，所以S△ABC＝×2×AB＝，则AB＝，所以函数f（x）的周期为，可得周期T＝＝，解得ω＝2，故选B.
3.D　因为函数f（x）为奇函数，所以φ＝kπ＋（k∈Z），由0＜φ＜π，得φ＝，则f（x）＝2sin ωx（ω＞0）.又函数f（x）在（0，）上单调递增，且 x∈（0，），f（x）＜2，所以0＜ω≤，解得0＜ω≤2.故选D.
4.B　因为f（x）的图象关于点（，0）对称，所以f（）＝sin（＋）＝0，故＋＝kπ，k∈Z，即ω＝2k－，k ∈Z，当2ωx＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z时，函数f（x）取得最小值，因为f（x）在（0，）上没有最小值，所以≥，即ω≤，由ω＝2k－≤，解得k≤，故k＝1，得ω＝.故选B.
5.A　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－∈（－，2ωπ－），令t＝ωx－，则t∈（－，2ωπ－），作出y＝2cos t＋1的部分图象如图所示，
则f（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴等价于y＝2cos t＋1的图象在区间（－，2ωπ－）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈（－，3π］，解得ω∈（0，］.故选A.
6.C　f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ωx＋），因为 x0∈［－，］使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，所以函数f（x）在［－，］上存在最值，即函数f（x）在［－，］上存在对称轴，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，因为－≤x≤，所以－≤＋≤，即－≤＋≤，则k∈Z，又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为.
7.［，］　解析：因为f（x）＝cos（ωx＋）＋cos（ωx－）＝cos（ωx＋）＋sin（ωx＋）＝2cos（ωx＋－）＝2cos（ωx＋），令π＋2kπ≤ωx＋≤2π＋2kπ，k∈Z，因为ω＞0，所以≤x≤，k∈Z，因为f（x）在（，π）上单调递增，所以解得＋4k≤ω≤＋2k.由＋4k≤＋2k，得k≤，又k∈Z且ω＞0，所以k＝0，故≤ω≤.
8.5（答案不唯一，大于等于5的正整数均可）
解析：因为0≤x≤，所以0≤ωx≤，又f（x）＝sin ωx（ω∈N*）在区间［0，］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，所以≥，解得ω≥5（ω∈N*），所以ω的值可以为5.
9.（，］　解析：函数f（x）＝sin ωx－cos ωx＝2sin（ωx－），令2sin（ωx－）＝－1，得ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ（k∈Z），所以x＝＋或x＝＋（k∈Z），设直线y＝－1与y＝f（x）在（0，＋∞）上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.由于方程f（x）＝－1在（0，π）上有且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即＋＜π≤＋，解得＜ω≤.
2 / 2微突破1　ω的值（范围）问题
【备考指南】　在三角函数的图象和性质中，求ω的值（范围）问题是近几年高考的一个热点内容，主要考查由三角函数的单调性、最值、零点等求ω的值（范围），难度中等.
1.若已知y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在区间[x1，x2]上单调递增，则[ωx1＋φ，ωx2＋φ] ［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
1.若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A.［0，］ B.［0，］
C.［，3］ D.［，3］
2.利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，建立关于T，ω，φ的方程求解.
2.已知直线x＝，x＝π是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，＜φ＜）图象上两条相邻的对称轴，则φ＝（　　）
A.π B.
C. D.
3.由三角函数的最值（值域）求ω的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解.
3.已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域为［－，1］，则ω的取值范围为（　　）
A.［，］ B.［，］
C.［，］ D.［，］
4.已知函数的零点求ω的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
4.设函数f（x）＝sin ωx，若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（　　）
A.（1，2） B.[1，2）
C.（2，3） D.[2，3）
【思维建模】　求ω的值（范围）问题的思路
【瓶颈突破】　（1）对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，则需要确定含有k个零点的区间长度；
（2）若在区间上至多含有k个零点，则需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
【例】　（1）（2025·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（　　）
A.（ 1，） B.（ 2，）
C.［1，） D.［2，）
（2）（2025·北京东城一模）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则ω＝　　　　；若存在x1，x2∈[π，2π]，使得｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则ω的最小值为　　　　.
【训练】　（1）已知ω＞0，函数f（x）＝cos的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　）
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
（2）〔多选〕（2025·广东江门一模）已知函数f（x）＝2sin（2ωx＋）（ω＞0），则下列结论正确的是（　　）
A.若f（x）相邻两条对称轴距离为，则ω＝2
B.当ω＝1，x∈［0，］时，f（x）的值域为[－，2]
C.当ω＝1时，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（2x＋）的图象
D.若f（x）在区间［0，］上有且仅有两个零点，则5≤ω＜8
【瓶颈突破】　根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数y＝sin（ωx－）含有数0的单调区间，列不等式求解即可.
（3）若直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则ω的最小值为　　　　.
微突破1　ω的值（范围）问题
【基础·回扣】
1.D　2.A　3.C　4.D
【典例·讲解】
【例】　（1）D　由f（x）＝sin ωx＋cos ωx可得f（x）＝2sin（ωx＋），若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2sin（ωx＋φ）.令g（x）＝1，即sin（ωx＋φ）＝，x∈[0，π]，取z＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知，sin z＝在[φ，ωπ＋φ]上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到之间，即2π≤ωπ＜，解得2≤ω＜.
（2）2　　解析：因为函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，因为f（x）＝sin ωx（ω＞0）∈[－1，1]，又｜f（x1）－f（x2）｜＝2，所以f（x1），f（x2）为函数的最大值或最小值，要使ω最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由x∈[π，2π]，则ωx∈[ωπ，2ωπ]，则或解得≤ω≤，所以ω的最小值为.
【训练1】　（1）A　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为，依题意，可得－≥.将T＝代入上式，得ω≥2，故选A.
（2）BD　对于A，若f（x）相邻两条对称轴的距离为，则T＝2×＝π＝，故ω＝1，A错误；对于B，当ω＝1时，f（x）＝2sin（2x＋），当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，则f（x）的值域为[－，2]，B正确；对于C，当ω＝1时，f（x）＝2sin（2x＋），f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f（x＋）＝2sin［2（x＋）＋］＝2sin（2x＋）＝2cos（2x＋）的图象，C错误；对于D，当x∈［0，］时，2ωx＋∈［，＋］，若f（x）在区间［0，］上有且仅有两个零点，则2π≤＋＜3π，解得5≤ω＜8，故D正确.
（3）11　解析：因为直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤，得－≤x≤，则函数y＝sin（ωx－）在［－，］上单调递增，而函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则＜，解得ω＞9，所以ω的最小值为11.
2 / 2(共34张PPT)
微突破1　ω的值（范围）问题
备考指南
在三角函数的图象和性质中，求ω的值（范围）问题是近几年高考的一个热点内容，主要考查由三角函数的单调性、最值、零点等求ω的值（范围），难度中等.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 若函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［ ， ］上单调递减，则ω的
取值范围是（　　）
A. ［0， ］ B. ［0， ］
C. ［ ，3］ D. ［ ，3］
√
若已知y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在区间[x1，x2]上单调递增，则[ωx1＋φ，ωx2＋φ] ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z.
解析： 　令 ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ（k∈Z），得 ＋ ≤x≤ ＋
，k∈Z，因为f（x）在［ ， ］上单调递减，所以
得6k＋ ≤ω≤4k＋3，k∈Z. 又ω＞0，所以k≥0，又6k＋ ≤4k＋3，所
以k＝0.从而 ≤ω≤3，故选D.
2. 已知直线x＝ ，x＝π是函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0， ＜φ＜
）图象上两条相邻的对称轴，则φ＝（　　）
A. π B.
C. D.
√
利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，建立关于T，ω，φ的方程求解.
解析： 　由题意得π－ ＝ ＝ ，解得ω＝ ，故f（x）＝ sin （ x＋
φ），则当x＝ 时， × ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，解得φ＝kπ（k∈Z），
又 ＜φ＜ ，故φ＝π.故选A.
3. 已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）在［0， ］上的值域为
［－ ，1］，则ω的取值范围为（　　）
A. ［ ， ］ B. ［ ， ］
C. ［ ， ］ D. ［ ， ］
√
由三角函数的最值（值域）求ω的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解.
解析： 　当x∈［0， ］时，ωx－ ∈［－ ， － ］.由f（x）在
［0， ］上的值域为［－ ，1］，知 ≤ － ≤ ，解得
≤ω≤ ，故实数ω的取值范围是［ ， ］.
4. 设函数f（x）＝ sin ωx，若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则正
实数ω的取值范围是（　　）
A. （1，2） B. [1，2）
C. （2，3） D. [2，3）
√
已知函数的零点求ω的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
解析： 　若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ωπ∈[2π，3π），故
2≤ω＜3.
【思维建模】　求ω的值（范围）问题的思路
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例】　（1）（2025·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝ sin
ωx＋ cos ωx，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲
线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数
ω的取值范围为（　　）
A. （1， ） B. （2， ）
C. ［1， ） D. ［2， ）
√
【瓶颈突破】　（1）对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，则需要确定含有k个零点的区间长度；
（2）若在区间上至多含有k个零点，则需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
解析： 　由f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx可得f（x）＝2 sin （ωx＋
），若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2
sin （ωx＋φ）.令g（x）＝1，即 sin （ωx＋φ）＝ ，x∈[0，π]，取z
＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知， sin z＝ 在[φ，ωπ＋φ]上至少
有2解，至多有3解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到 之间，即
2π≤ωπ＜ ，解得2≤ω＜ .
（2）（2025·北京东城一模）已知函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0），若f
（x）的最小正周期为π，则ω＝ ；若存在x1，x2∈[π，2π]，使
得｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则ω的最小值为 .
2

解析：因为函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期为π，所以 ＝
π，解得ω＝2，因为f（x）＝ sin ωx（ω＞0）∈[－1，1]，又｜f（x1）
－f（x2）｜＝2，所以f（x1），f（x2）为函数的最大值或最小值，要使
ω最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由x∈[π，2π]，则
ωx∈[ωπ，2ωπ]，则 或 解得 ≤ω≤ ，所以ω的
最小值为 .
【训练】　（1）已知ω＞0，函数f（x）＝ cos 的一条对称轴为
直线x＝ ，一个对称中心为点 ，则ω有（　　）
A. 最小值2 B. 最大值2
C. 最小值1 D. 最大值1
√
解析： 　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为 ，依题
意，可得 － ≥ .将T＝ 代入上式，得ω≥2，故选A.
（2）〔多选〕（2025·广东江门一模）已知函数f（x）＝2 sin （2ωx＋
）（ω＞0），则下列结论正确的是（　　）
A. 若f（x）相邻两条对称轴距离为 ，则ω＝2
B. 当ω＝1，x∈［0， ］时，f（x）的值域为[－ ，2]
C. 当ω＝1时，f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数y＝ cos （2x
＋ ）的图象
D. 若f（x）在区间［0， ］上有且仅有两个零点，则5≤ω＜8
√
√
解析： 　对于A，若f（x）相邻两条对称轴的距离为 ，则T＝2× ＝
π＝ ，故ω＝1，A错误；对于B，当ω＝1时，f（x）＝2 sin （2x＋
），当x∈［0， ］时，2x＋ ∈［ ， ］，则f（x）的值域为[－
，2]，B正确；对于C，当ω＝1时，f（x）＝2 sin （2x＋ ），f
（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数y＝f（x＋ ）＝2 sin ［2
（x＋ ）＋ ］＝2 sin （2x＋ ）＝2 cos （2x＋ ）的图象，C错误；
对于D，当x∈［0， ］时，2ωx＋ ∈［ ， ＋ ］，若f（x）在区间
［0， ］上有且仅有两个零点，则2π≤ ＋ ＜3π，解得5≤ω＜8，故D
正确.
（3）若直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称轴，且
函数y＝ sin （ωx－ ）在区间［0， ］上不单调，则ω的最小值
为 .
【瓶颈突破】　根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数y＝ sin （ωx－ ）含有数0的单调区间，列不等式求解即可.
11
解析：因为直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称轴，
则 ω－ ＝kπ＋ ，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－ ≤ωx－ ≤ ，
得－ ≤x≤ ，则函数y＝ sin （ωx－ ）在［－ ， ］上单调递
增，而函数y＝ sin （ωx－ ）在区间［0， ］上不单调，则 ＜ ，
解得ω＞9，所以ω的最小值为11.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：30分钟，满分：45分）
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一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1. （2025·河南郑州模拟）若x1＝ ，x2＝ 是函数f（x）＝ sin ωx（ω＞
0）两个相邻的极值点，则ω＝（　　）
A. 2 B.
C. 1 D.
√
解析： 　由题意知，f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期T＝ ＝2
（ － ）＝π，得ω＝2.故选A.
2. 如图，函数f（x）＝2tan（ωx＋ ）（ω＞0）的部分图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且△ABC的面积为 ，则ω＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
解析： 　根据题意，当x＝0时，f（0）＝2tan ＝2，又因为△ABC的面
积为 ，所以S△ABC＝ ×2×AB＝ ，则AB＝ ，所以函数f（x）的周期
为 ，可得周期T＝ ＝ ，解得ω＝2，故选B.
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3. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx－φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，在
（0， ）上单调递增，且 x∈（0， ），f（x）＜2，则ω的取值范围是
（　　）
A. ［1， ］ B. （1，2]
C. （0，1] D. （0，2]
√
解析： 　因为函数f（x）为奇函数，所以φ＝kπ＋ （k∈Z），由0＜φ
＜π，得φ＝ ，则f（x）＝2 sin ωx（ω＞0）.又函数f（x）在（0， ）
上单调递增，且 x∈（0， ），f（x）＜2，所以0＜ ω≤ ，解得0＜
ω≤2.故选D.
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4. （2025·安徽安庆二模）已知函数f（x）＝ sin （2ωx＋ ）（ω＞
0）的图象关于点（ ，0）对称，且f（x）在（0， ）上没有最小值，则
ω的值为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　因为f（x）的图象关于点（ ，0）对称，所以f（ ）＝ sin
（ ＋ ）＝0，故 ＋ ＝kπ，k∈Z，即ω＝2k－ ，k ∈Z，当2ωx＋
＝－ ＋2kπ，k∈Z，即x＝－ ＋ ，k∈Z时，函数f（x）取得最小
值，因为f（x）在（0， ）上没有最小值，所以 ≥ ，即ω≤ ，由ω
＝2k－ ≤ ，解得k≤ ，故k＝1，得ω＝ .故选B.
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5. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx－ ）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，
2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A. （0， ］ B. （ ， ］
C. （ ， ］ D. ［ ，＋∞）
√
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解析： 　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以
ωx－ ∈（－ ，2ωπ－ ），令t＝ωx－ ，
则t∈（－ ，2ωπ－ ），作出y＝2 cos t＋1
的部分图象如图所示，则f（x）的图象在区
间（0，2π）内至多存在3条对称轴等价于y＝2 cos t＋1的图象在区间（－ ，2ωπ－ ）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－ ∈（－ ，3π］，解得ω∈（0， ］.故选A.
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6. 已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx（ω＞0），若 x0∈［－ ， ］使
得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值
为（　　）
A. B.
C. D. 1
√
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解析： 　f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝ sin （ωx＋ ），因为 x0∈
［－ ， ］使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平
行，所以函数f（x）在［－ ， ］上存在最值，即函数f（x）在［－
， ］上存在对称轴，令ωx＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，
k∈Z，因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤ ＋ ≤ ，即－ ≤ ＋ ≤ ，
则 k∈Z，又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为 .
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二、填空题（每小题5分，共15分）
7. 已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）＋ cos （ωx－ ）（ω＞0）在
（ ，π）上单调递增，则ω的取值范围为 　　［ ， ］　　.
［ ， ］
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解析：因为f（x）＝ cos （ωx＋ ）＋ cos （ωx－ ）＝ cos （ωx
＋ ）＋ sin （ωx＋ ）＝2 cos （ωx＋ － ）＝2 cos （ωx＋ ），令π
＋2kπ≤ωx＋ ≤2π＋2kπ，k∈Z，因为ω＞0，所以
≤x≤ ，k∈Z，因为f（x）在（ ，π）上单调递增，所以
解得 ＋4k≤ω≤ ＋2k.由 ＋4k≤ ＋2k，得k≤ ，
又k∈Z且ω＞0，所以k＝0，故 ≤ω≤ .
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8. 已知f（x）＝ sin ωx（ω∈N*），若在区间［0， ］上存在两个不相
等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，则ω的值可以为
.（填一个值即可）
解析：因为0≤x≤ ，所以0≤ωx≤ ，又f（x）＝ sin ωx（ω∈N*）在
区间［0， ］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝
2，所以 ≥ ，解得ω≥5（ω∈N*），所以ω的值可以为5.
5（答案不
唯一，大于等于5的正整数均可）
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9. 已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx（ω＞0），若集合{x∈（0，
π）｜f（x）＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是 .
解析：函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＝2 sin （ωx－ ），令2 sin
（ωx－ ）＝－1，得ωx－ ＝－ ＋2kπ或ωx－ ＝ ＋2kπ
（k∈Z），所以x＝ ＋ 或x＝ ＋ （k∈Z），设直线y＝－1与
y＝f（x）在（0，＋∞）上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为
B，则xA＝ ＋ ，xB＝ ＋ .由于方程f（x）＝－1在（0，π）上有
且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即 ＋ ＜π≤ ＋ ，解得 ＜
ω≤ .
（ ， ］
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