资源简介 第5讲 数列的递推关系（时间：60分钟，满分：91分）一、单项选择题（每小题5分，共30分）1.（2025·山东潍坊二模）已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝1，则a5＝（ ）A.1 B.2C.3 D.4 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（ ）A.30 B.31C.45 D.46 3.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2（n≥3），则a9＋a10＝（ ）A.47 B.48C.49 D.410 4.在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A.2n－1 B.2n－1C.－1 D. 5.（2025·山东临沂一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn＞0.99时，n的最小值为（ ）A.49 B.50C.99 D.100 6.（2025·江苏宿迁二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，则（ ）A.9a7＞8a8 B.9a7＜8a8C.9S7＞7a8 D.9S7＜7a8 二、多项选择题（每小题6分，共12分）7.记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和，已知an－anan＋1＝1，则（ ）A.2a2＝1 B.a4＝3C.a2 025＋1＝0 D.2S2 025＝2 023 8.（2025·重庆一模）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an＋1（1＋3an），n∈N*，则下列说法正确的是（ ）A.数列是等差数列B.an＝3n－2C.若a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝，则n＝16D.a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝ 三、填空题（每小题5分，共10分）9.（2025·浙江温州一模）已知正项数列{an}满足＋＋…＋＋＝，且a1＝a3，则a2 024＝ . 10.（2025·福建漳州一模）已知数列{an}，{bn}满足：an－bn＋1＋3bn＋n＝0，bn－an＋1＋3an＋2n－1＝0，若a1＝2，b1＝1，则bn＝ . 四、解答题（共28分）11.（13分）在数列{an}中，已知a1＝1，＝＋2n－1.（1）求a2，a3；（2）证明：是等比数列；（3）求数列的前n项和Tn.12.（15分）（2025·浙江宁波一模）已知数列{an}为等差数列，且满足a2n＝2an＋1（n∈N*）.（1）若a1＝1，求{an}的前n项和Sn；（2）若数列{bn}满足－＝，且数列{an·bn}的前n项和Tn＝（3n－4）·2n＋1＋8，求数列{bn}的通项公式.☆高考新风向（13题5分，14题6分，共11分）13.〔创新定义〕已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数（例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2），则＋＋…＋＝（ ）A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 02514.〔创新考法〕〔多选〕如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，被后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有an个球，从上往下n层球的总个数为Sn，记bn＝（－1）n·（an＋1－an），则下列结论正确的是（ ）A.an＋1－an＝n＋1 B.b1＋b2＋…＋b20＝20C.Sn－Sn－1＝，n≥2 D.的最大值为第5讲 数列的递推关系1.D 因为数列{an}满足an＋1＝且a1＝1，所以a2＝3a1＋1＝3＋1＝4，a3＝＝＝2，a4＝＝＝1，a5＝3a4＋1＝3＋1＝4.故选D.2.D 由已知an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－a5＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6＝1＋45＝46.故选D.3.C 由题意a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2（n≥3），得an＋an－1＝4（an－1＋an－2），即＝4（n≥3），所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.4.D 取以2为底的对数，得到log2an＋1＝log2（2），log2an＋1＝log22＋2log2an，log2an＋1＝1＋2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2（bn＋1），所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n－1，所以bn＝2n－1－1，log2an＝2n－1－1，an＝.5.D 因为Sn＋nan＝1，所以a1＝，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋（n－1）an－1＝1，所以（n＋1）an＝（n－1）an－1，即＝，此时an＝×××…×××a1＝×××…××××＝，n＝1时也满足该式，故an＝，Sn＝1－nan＝1－，由Sn＝1－＞0.99，解得n＞99，故所求为100.故选D.6.B 因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，当n＝1时，则a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2且n∈N*时，由Sn＝2an－2n可得Sn－1＝2an－1－2n－1，上述两式作差可得an＝2an－2an－1－2n－1，整理可得an－2an－1＝2n－1，等式an－2an－1＝2n－1两边同时除以2n－1，可得－＝1，所以数列是以＝2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝（n＋1）·2n－1，对于A、B选项，9a7＝9×8×26＝9×29，8a8＝8×9×27＝9×210，则9a7＜8a8，A错，B对；Sn＝2an－2n＝（n＋1）·2n－2n＝n·2n，对于C、D选项，9S7＝9×7×27＝63×27，7a8＝7×9×27＝63×27，所以9S7＝7a8，C、D都错.故选B.7.AC 由题意可得an＋1＝1－，可得下表：n 1 2 3 4 5 …an 2 －1 2 …所以数列{an}为周期数列且最小正周期T＝3，2a2＝2×＝1，故A正确；a4＝2，故B错误；由2 025÷3＝675，则a2 025＋1＝a3＋1＝0，故C正确；2S2 025＝2×675×（a1＋a2＋a3）＝2 025，故D错误.故选A、C.8.AC A正确，由an＝an＋1（1＋3an），得＝＝＋3.又＝1，所以是以1为首项，3为公差的等差数列；B错误，由对A的分析，可得＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝；C正确，由对B的分析，可得anan＋1＝·＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝（1－＋－＋…＋－）＝（1－）＝.由＝，解得n＝16；D错误，a2＝，a1＋a2＝1＋＝，但当n＝2时，＝5≠.故选A、C.9.6 069 解析：因为{an}为正项数列且＋＋…＋＋＝ ①，所以＋＋…＋＋＋＝ ②，②－①得＋－＝0，即an＋2－an＋1＝3，所以{an}是以a2为首项，3为公差的等差数列，令n＝1可得＋＝，又a1＝a3，a3＝a2＋3，所以＋＝，解得a2＝3或a2＝－4（舍去），a2 024＝a2＋2 022×3＝3＋2 022×3＝6 069.10.22n－1－2n－1 解析：由题意可得an＋3bn＋n＝bn＋1，bn＋3an＋2n－1＝an＋1，则an＋1＋bn＋1＋n＋1＝4（an＋bn＋n），an＋1－bn＋1＋n＋1＝2（an－bn＋n），又a1＋b1＋1＝4，a1－b1＋1＝2，则数列{an＋bn＋n}是以4为首项，4为公比的等比数列，数列{an－bn＋n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋bn＋n＝4n ①，an－bn＋n＝2n ②，①②联立得2bn＝4n－2n，所以bn＝22n－1－2n－1.11.解：（1）由题意知＝＋1＝4，∴a2＝，∵＝＋3＝15，∴a3＝.（2）证明：由＝＋2n－1，整理得＋n＋1＝3，又＋1＝2，∴是首项为2，公比为3的等比数列.（3）由（2）可知＋n＝2×3n－1，∴＝2×3n－1－n，∴Tn＝＋＋＋…＋＝2×（1＋3＋32＋…＋3n－1）－（1＋2＋3＋…＋n）＝2×－＝3n－1－.12.解：（1）当n＝1时，由a2n＝2an＋1，得a2＝2a1＋1，由a1＝1，得a2＝3，所以等差数列{an}的公差为a2－a1＝2，即通项公式an＝1＋（n－1）·2＝2n－1，所以前n项和Sn＝＝＝n2.（2）当n＝1时，a1b1＝T1＝（3－4）×22＋8＝4，可得b1＝，当n≥2时，anbn＝Tn－Tn－1＝[（3n－4）·2n＋1＋8]－[（3n－7）·2n＋8]＝3n·2n＋1－2n＋3－3n·2n＋7·2n＝2n（6n－8－3n＋7）＝2n（3n－1），将n＝1代入上式，则a1b1＝2×（3－1）＝4＝T1，综上所述，anbn＝2n（3n－1），n∈N*.a2b2＝22×（3×2－1）＝20，可得b2＝，又a2＝2a1＋1，则b2＝，由方程－＝，可得（2a1＋1）－a1＝，解得a1＝2，所以a2＝2a1＋1＝5，则等差数列{an}的公差为3，所以an＝3n－1，由anbn＝2n（3n－1），则bn＝2n，故数列{bn}的通项公式为bn＝2n.13.D 由题设，（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2，则（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝an－a1＝2[n＋（n－1）＋…＋3＋2]＝（n＋2）·（n－1）（n≥2），所以an＝n（n＋1），故＝1＋.又n∈N*，当n＝1时，＝2，当n≥2时，＝1，所以＋＋…＋＝2 025.14.ACD a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以an＋1－an＝n＋1，故A正确；因为bn＝（－1）n（an＋1－an）＝（－1）n（n＋1），所以b1＋b2＋…＋b20＝－2＋3－4＋5－…－20＋21＝10，故B不正确；因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝（n≥2），经检验a1＝1也满足该式，故an＝，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝，故C正确；＝＝，－＝－＝，所以当n＝1时，＞，当n＝2时，＝，当n≥3时，＜，所以当n＝2或n＝3时，取得最大值，故D正确.故选A、C、D.3 / 3第5讲 数列的递推关系【备考指南】 求数列的通项公式是高考的重点内容，对于等差、等比数列的通项公式可直接利用公式求解，但也有些数列以递推关系给出，需要通过构造转化为等差或等比数列再求解，体现了化归与转化思想在数列中的应用.题型既有小题也有解答题，难度中等.1.在处理Sn，an的式子时，依据为an＝1.设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝（ ）A.27 B.81C.93 D.2432.形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法；形如＝f（n）的数列，利用累乘法.2.已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋2n－1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝（ ）A.2n B.2n＋1C.2n＋1－1 D.2n＋13.后一项与前一项成一次关系，加常数后构成等比数列.3.若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为 .4.若an＋1＋an＝f（n）（一次函数），则隔项构成等差数列.4.已知数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝ . 考点一 利用an与Sn的关系【通性通法】 利用an与Sn的关系求解问题的思路（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.【例1】 （1）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n∈N*），则an＝（ ）A.n－1 B.nC.n＋1 D.n＋2（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0，则an＝ .【训练1】 （1）（2025·浙江宁波三模）已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 025＝（ ）A.2 023 B.2 024C.2 025 D.2 026【易错提醒】 由Sn与an的关系求an时，要对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.（2）〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），a1＝，an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），则下列命题正确的是（ ）A.Sn＝ B.an＝－C.数列{an}为递增数列 D.数列为递增数列考点二 构造辅助数列【通性通法】 （1）若数列{an}满足an＋1＝pan＋q（p≠0，1；q≠0），构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）；【例2】 （1）在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A.3n B.3n＋1C.3n＋2 D.3n＋1（2）若数列{an}满足an＋1＝pan＋f（n）（p≠0，1）：①构造an＋1＋g（n＋1）＝p[an＋g（n）]；②若f（n）为指数型函数，即an＋1＝pan＋qn，等号两边同除以qn＋1，再求解；（2）（2025·广东广州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A.3n B.2n－1C.3n－2n－1 D.3n＋2n－1（3）形如an＋1＝（p，q≠0）的数列，等号两边取倒数构造等差数列求通项；【训练2】 （1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a7＝ ；（4）形如an＋1＝p（p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an.（2）已知数列{an}满足a1＝1，＝10an（an＞0），则an＝ ；（3）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an，则数列{an}的通项公式为 .考点三 “不动点法”求型如an＋1＝ 的通项【通性通法】 对于型如an＋1＝（其中c≠0，ad－cb≠0）的递推式，求其通项可采用不动点法，即令x＝，得cx2＋（d－a）x－b＝0，方程的两个根分别为x1，x2：（1）若x1＝x2，则有＝＋p（p为参数），构造等差数列求解；（2）若x1≠x2，则有＝q·（q为参数），构造等比数列求解；（3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列.【例3】 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A.－＋3 B.－＋2C. D.＋2【训练3】 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，试求数列{an}的通项公式.第5讲 数列的递推关系【基础·回扣】1.B 2.D 3.an＝2n－1 4.4【典例·讲解】【例1】 （1）C 当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ ①，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝ ②，①－②并整理可得an＝n＋1，代入a1＝2验证符合，所以an＝n＋1.（2）－4· 解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，由5an＋1＋Sn＋16＝0 ①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2） ②，①－②得5an＋1＝4an（n≥2），∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝（n≥2），又＝，∴{an}是首项为－，公比为的等比数列，∴an＝－·＝－4·.【训练1】 （1）B 数列{an}满足2Sn＝nan，当n≥3时，可得2Sn－1＝（n－1）an－1，两式相减，可得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－2）an＝（n－1）an－1，所以＝，又由a2＝1，则a2 025＝a2×××…×＝1×××…×＝2 024.故选B.（2）AD ∵an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∵Sn≠0，∴－＝4（n≥2），因此数列是以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；∴＝4＋4（n－1）＝4n，∴Sn＝，即A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，∴an＝a1＞a2，即B、C不正确.【例2】 （1）C 由an＋1＝3an－4，设an＋1－λ＝3（an－λ），即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2，则an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.（2）C 法一 由a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3（an＋2n－1），所以{an＋2n－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n－1＝3n，则an＝3n－2n－1，n∈N*.法二 an＋1＝3an＋2n－1两边同除以2n，得＝·＋，即＋1＝，而＋1＝3，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此＋1＝3×，即an＝3n－2n－1.【训练2】 （1） 解析：易知an≠0，由an＋1＝，得＝＋，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以＝＋（n－1）×＝，an＝，所以a7＝.（2）10× 解析：等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝（lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项，为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）×＝－，即lg an＝1－，即an＝10×.（3）an＝3n－2n 解析：设an＋2＋λan＋1＝q（an＋1＋λan），即an＋2＝（q－λ）an＋1＋qλan，又an＋2＝5an＋1－6an，所以解得或法一 取λ＝－2，q＝3，则an＋1－2an＝3×3n－1＝3n，所以an＋1＝2an＋3n，两边同除以3n＋1得＝·＋，即－1＝（－1），所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，即－1＝－×（）n－1＝－（）n，故an＝3n－2n.取λ＝－3，q＝2时，同理可得an＝3n－2n.法二 因为an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an），an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an），a2－2a1＝3，a2－3a1＝2，所以数列{an＋1－2an}是以3为首项，3为公比的等比数列，{an＋1－3an}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝3n，an＋1－3an＝2n，联立解得an＝3n－2n.【例3】 B 令x＝，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，令＝＋c，由a1＝1，得a2＝，解得c＝－1，所以数列是以＝－1为首项，以－1为公差的等差数列，所以＝－n，所以an＝－＋2.【训练3】 解：法一 由题意得an＋1＝－，则an＋1－2＝－－2＝－＝×，由an＋1＝－，有an＋1－＝－－＝2－＝2×，由题意知an＋1≠，则＝·，又＝－2，所以是以－2为首项，为公比的等比数列，所以＝－2×，则an＝2－.故数列{an}的通项公式为an＝2－.法二 根据an＋1＝，令x＝，得x1＝2，x2＝，所以是以－2为首项，为公比的等比数列，所以＝－2×，则an＝2－.故数列{an}的通项公式为an＝2－.2 / 2(共55张PPT)第5讲 数列的递推关系备考指南求数列的通项公式是高考的重点内容，对于等差、等比数列的通项公式可直接利用公式求解，但也有些数列以递推关系给出，需要通过构造转化为等差或等比数列再求解，体现了化归与转化思想在数列中的应用.题型既有小题也有解答题，难度中等.基础·回扣 诊断自测 知识回扣一典例·讲解 典例精析 强技提能二课后·训练 巩固强化 综合测评三目录 /CONTENTS基础·回扣诊断自测 知识回扣1. 设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝（ ）A. 27 B. 81C. 93 D. 243√在处理Sn，an的式子时，依据为an＝解析： 根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.2. 已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋2n－1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝（ ）A. 2n B. 2n＋1C. 2n＋1－1 D. 2n＋1√形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法；形如 ＝f（n）的数列，利用累乘法.解析： 因为an－an－1＝2n－1（n≥2），所以an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－1－an－2）＋（an－an－1）＝3＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1＝2＋ ＝2n＋1.当n＝1时上式也成立，故an＝2n＋1.3. 若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为 .后一项与前一项成一次关系，加常数后构成等比数列.an＝2n－1解析：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1），所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.4. 已知数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝ .若an＋1＋an＝f（n）（一次函数），则隔项构成等差数列.解析：由题得（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝[2（n＋1）－3]－（2n－3）＝2，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝（a8－a6）＋（a6－a4）＝2＋2＝4.4典例·讲解典例精析 强技提能考点一 利用an与Sn的关系【例1】 （1）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n∈N*），则an＝（ ）A. n－1 B. nC. n＋1 D. n＋2√解析： 当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ ①，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝ ②，①－②并整理可得an＝n＋1，代入a1＝2验证符合，所以an＝n＋1.（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且5an＋1＋Sn＋16＝0，则an＝ .－4·【通性通法】 利用an与Sn的关系求解问题的思路（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－ ，由5an＋1＋Sn＋16＝0 ①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2） ②，①－②得5an＋1＝4an（n≥2），∵a2＝－ ≠0，∴an≠0，∴ ＝ （n≥2），又 ＝ ，∴{an}是首项为－ ，公比为 的等比数列，∴an＝－ · ＝－4· .【训练1】 （1）（2025·浙江宁波三模）已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 025＝（ ）A. 2 023 B. 2 024C. 2 025 D. 2 026√解析： 数列{an}满足2Sn＝nan，当n≥3时，可得2Sn－1＝（n－1）an－1，两式相减，可得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－2）an＝（n－1）an－1，所以 ＝ ，又由a2＝1，则a2 025＝a2× × ×…×＝1× × ×…× ＝2 024.故选B.（2）〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），a1＝ ，an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），则下列命题正确的是（ ）A. Sn＝ B. an＝－C. 数列{an}为递增数列 D. 数列 为递增数列√√【易错提醒】 由Sn与an的关系求an时，要对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.解析： ∵an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∵Sn≠0，∴ － ＝4（n≥2），因此数列 是以 ＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；∴ ＝4＋4（n－1）＝4n，∴Sn＝ ，即A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ －＝－ ，∴an＝ a1＞a2，即B、C不正确.考点二 构造辅助数列【例2】 （1）在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A. 3n B. 3n＋1C. 3n＋2 D. 3n＋1√【通性通法】 若数列{an}满足an＋1＝pan＋q（p≠0，1；q≠0），构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）；解析： 由an＋1＝3an－4，设an＋1－λ＝3（an－λ），即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2，则an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.（2）（2025·广东广州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A. 3n B. 2n－1C. 3n－2n－1 D. 3n＋2n－1√若数列{an}满足an＋1＝pan＋f（n）（p≠0，1）：①构造an＋1＋g（n＋1）＝p[an＋g（n）]；②若f（n）为指数型函数，即an＋1＝pan＋qn，等号两边同除以qn＋1，再求解；解析： 法一 由a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3（an＋2n－1），所以{an＋2n－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n－1＝3n，则an＝3n－2n－1，n∈N*.法二 an＋1＝3an＋2n－1两边同除以2n，得 ＝ · ＋ ，即 ＋1＝ ，而 ＋1＝3，于是数列 是首项为3，公比为 的等比数列，因此 ＋1＝3× ，即an＝3n－2n－1.【训练2】 （1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ ，则a7＝ ；形如an＋1＝ （p，q≠0）的数列，等号两边取倒数构造等差数列求通项； 解析：易知an≠0，由an＋1＝ ，得 ＝ ＋ ，所以 是首项为1，公差为 的等差数列，所以 ＝ ＋（n－1）× ＝ ，an＝，所以a7＝ .（2）已知数列{an}满足a1＝1， ＝10an（an＞0），则an＝ ；10×形如an＋1＝p （p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an.解析：等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝（lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项， 为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）× ＝－ ，即lg an＝1－，即an＝10× .（3）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an，则数列{an}的通项公式为 .解析：设an＋2＋λan＋1＝q（an＋1＋λan），即an＋2＝（q－λ）an＋1＋qλan，又an＋2＝5an＋1－6an，所以 解得 或an＝3n－2n法一 取λ＝－2，q＝3，则an＋1－2an＝3×3n－1＝3n，所以an＋1＝2an＋3n，两边同除以3n＋1得 ＝ · ＋ ，即 －1＝ （ －1），所以数列 是以－ 为首项， 为公比的等比数列，即 －1＝－ ×（ ）n－1＝－（ ）n，故an＝3n－2n.取λ＝－3，q＝2时，同理可得an＝3n－2n.法二 因为an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an），an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an），a2－2a1＝3，a2－3a1＝2，所以数列{an＋1－2an}是以3为首项，3为公比的等比数列，{an＋1－3an}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝3n，an＋1－3an＝2n，联立解得an＝3n－2n.考点三 “不动点法”求型如an＋1＝ 的通项【例3】 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A. － ＋3 B. － ＋2 C. D. ＋2√【通性通法】 对于型如an＋1＝ （其中c≠0，ad－cb≠0）的递推式，求其通项可采用不动点法，即令x＝ ，得cx2＋（d－a）x－b＝0，方程的两个根分别为x1，x2：（1）若x1＝x2，则有 ＝ ＋p（p为参数），构造等差数列 求解；（2）若x1≠x2，则有 ＝q· （q为参数），构造等比数列 求解；（3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列.解析： 令x＝ ，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，令 ＝＋c，由a1＝1，得a2＝ ，解得c＝－1，所以数列 是以 ＝－1为首项，以－1为公差的等差数列，所以 ＝－n，所以an＝－ ＋2.【训练3】 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，试求数列{an}的通项公式.解：法一 由题意得an＋1＝ － ，则an＋1－2＝ － －2＝ － ＝ × ，由an＋1＝ － ，有an＋1－ ＝ － － ＝2－ ＝2× ，由题意知an＋1≠ ，则 ＝ · ，又 ＝－2，所以 是以－2为首项， 为公比的等比数列，所以 ＝－2× ，则an＝2－ .故数列{an}的通项公式为an＝2－ .法二 根据an＋1＝ ，令x＝ ，得x1＝2，x2＝ ，所以 是以－2为首项， 为公比的等比数列，所以 ＝－2× ，则an＝2－ .故数列{an}的通项公式为an＝2－ .课后·训练巩固强化 综合测评（时间：60分钟，满分：91分）一、单项选择题（每小题5分，共30分）1. （2025·山东潍坊二模）已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝1，则a5＝（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 41234567891011121314√解析： 因为数列{an}满足an＋1＝ 且a1＝1，所以a2＝3a1＋1＝3＋1＝4，a3＝ ＝ ＝2，a4＝ ＝ ＝1，a5＝3a4＋1＝3＋1＝4.故选D.12345678910111213142. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（ ）A. 30 B. 31C. 45 D. 46√解析： 由已知an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－a5＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6＝1＋45＝46.故选D.12345678910111213143. 已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2（n≥3），则a9＋a10＝（ ）A. 47 B. 48C. 49 D. 410√解析： 由题意a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2（n≥3），得an＋an－1＝4（an－1＋an－2），即 ＝4（n≥3），所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.12345678910111213144. 在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2 ，则数列{an}的通项公式an＝（ ）A. 2n－1 B. 2n－1C. －1 D.√解析： 取以2为底的对数，得到log2an＋1＝log2（2 ），log2an＋1＝log22＋2log2an，log2an＋1＝1＋2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2（bn＋1），所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n－1，所以bn＝2n－1－1，log2an＝2n－1－1，an＝ .12345678910111213145. （2025·山东临沂一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn＞0.99时，n的最小值为（ ）A. 49 B. 50C. 99 D. 100√1234567891011121314解析： 因为Sn＋nan＝1，所以a1＝ ，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋（n－1）an－1＝1，所以（n＋1）an＝（n－1）an－1，即 ＝ ，此时an＝ × × ×…× × ×a1＝ × × ×…×× × × ＝ ，n＝1时也满足该式，故an＝ ，Sn＝1－nan＝1－ ，由Sn＝1－ ＞0.99，解得n＞99，故所求为100.故选D.12345678910111213146. （2025·江苏宿迁二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，则（ ）A. 9a7＞8a8 B. 9a7＜8a8C. 9S7＞7a8 D. 9S7＜7a8√1234567891011121314解析： 因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，当n＝1时，则a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2且n∈N*时，由Sn＝2an－2n可得Sn－1＝2an－1－2n－1，上述两式作差可得an＝2an－2an－1－2n－1，整理可得an－2an－1＝2n－1，等式an－2an－1＝2n－1两边同时除以2n－1，可得 －＝1，所以数列 是以 ＝2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝（n＋1）·2n－1，对于A、B选项，9a7＝9×8×26＝9×29，8a8＝8×9×27＝9×210，则9a7＜8a8，A错，B对；Sn＝2an－2n＝（n＋1）·2n－2n＝n·2n，对于C、D选项，9S7＝9×7×27＝63×27，7a8＝7×9×27＝63×27，所以9S7＝7a8，C、D都错.故选B.1234567891011121314二、多项选择题（每小题6分，共12分）7. 记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和，已知an－anan＋1＝1，则（ ）A. 2a2＝1 B. a4＝3C. a2 025＋1＝0 D. 2S2 025＝2 023√√1234567891011121314解析： 由题意可得an＋1＝1－ ，可得下表：n 1 2 3 4 5 …an 2 －1 2 …所以数列{an}为周期数列且最小正周期T＝3，2a2＝2× ＝1，故A正确；a4＝2，故B错误；由2 025÷3＝675，则a2 025＋1＝a3＋1＝0，故C正确；2S2 025＝2×675×（a1＋a2＋a3）＝2 025，故D错误.故选A、C.12345678910111213148. （2025·重庆一模）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an＋1（1＋3an），n∈N*，则下列说法正确的是（ ）A. 数列 是等差数列B. an＝3n－2C. 若a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ，则n＝16D. a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝√√1234567891011121314解析： A正确，由an＝an＋1（1＋3an），得 ＝ ＝ ＋3.又＝1，所以 是以1为首项，3为公差的等差数列；B错误，由对A的分析，可得 ＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝ ；C正确，由对B的分析，可得anan＋1＝ · ＝ ，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－ ）＝ .由＝ ，解得n＝16；D错误，a2＝ ，a1＋a2＝1＋ ＝ ，但当n＝2时， ＝5≠ .故选A、C.1234567891011121314三、填空题（每小题5分，共10分）9. （2025·浙江温州一模）已知正项数列{an}满足 ＋ ＋…＋＋ ＝ ，且a1＝a3，则a2 024＝ .6 069解析：因为{an}为正项数列且 ＋ ＋…＋ ＋ ＝ ①，所以 ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＝ ②，②－①得＋ － ＝0，即an＋2－an＋1＝3，所以{an}是以a2为首项，3为公差的等差数列，令n＝1可得 ＋ ＝ ，又a1＝a3，a3＝a2＋3，所以 ＋ ＝ ，解得a2＝3或a2＝－4（舍去），a2 024＝a2＋2022×3＝3＋2 022×3＝6 069.123456789101112131410. （2025·福建漳州一模）已知数列{an}，{bn}满足：an－bn＋1＋3bn＋n＝0，bn－an＋1＋3an＋2n－1＝0，若a1＝2，b1＝1，则bn＝ .解析：由题意可得an＋3bn＋n＝bn＋1，bn＋3an＋2n－1＝an＋1，则an＋1＋bn＋1＋n＋1＝4（an＋bn＋n），an＋1－bn＋1＋n＋1＝2（an－bn＋n），又a1＋b1＋1＝4，a1－b1＋1＝2，则数列{an＋bn＋n}是以4为首项，4为公比的等比数列，数列{an－bn＋n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋bn＋n＝4n ①，an－bn＋n＝2n ②，①②联立得2bn＝4n－2n，所以bn＝22n－1－2n－1.22n－1－2n－11234567891011121314四、解答题（共28分）11. （13分）在数列{an}中，已知a1＝1， ＝ ＋2n－1.（1）求a2，a3；解： 由题意知 ＝ ＋1＝4，∴a2＝ ，∵ ＝ ＋3＝15，∴a3＝ .1234567891011121314（2）证明： 是等比数列；解： 证明：由 ＝ ＋2n－1，整理得 ＋n＋1＝3 ，又 ＋1＝2，∴ 是首项为2，公比为3的等比数列.1234567891011121314（3）求数列 的前n项和Tn.解： 由（2）可知 ＋n＝2×3n－1，∴ ＝2×3n－1－n，∴Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2×（1＋3＋32＋…＋3n－1）－（1＋2＋3＋…＋n）＝2× － ＝3n－1－ .123456789101112131412. （15分）（2025·浙江宁波一模）已知数列{an}为等差数列，且满足a2n＝2an＋1（n∈N*）.（1）若a1＝1，求{an}的前n项和Sn；解：当n＝1时，由a2n＝2an＋1，得a2＝2a1＋1，由a1＝1，得a2＝3，所以等差数列{an}的公差为a2－a1＝2，即通项公式an＝1＋（n－1）·2＝2n－1，所以前n项和Sn＝ ＝ ＝n2.1234567891011121314（2）若数列{bn}满足 － ＝ ，且数列{an·bn}的前n项和Tn＝（3n－4）·2n＋1＋8，求数列{bn}的通项公式.解： 当n＝1时，a1b1＝T1＝（3－4）×22＋8＝4，可得b1＝ ，当n≥2时，anbn＝Tn－Tn－1＝[（3n－4）·2n＋1＋8]－[（3n－7）·2n＋8]＝3n·2n＋1－2n＋3－3n·2n＋7·2n＝2n（6n－8－3n＋7）＝2n（3n－1），将n＝1代入上式，则a1b1＝2×（3－1）＝4＝T1，综上所述，anbn＝2n（3n－1），n∈N*.a2b2＝22×（3×2－1）＝20，可得b2＝ ，1234567891011121314又a2＝2a1＋1，则b2＝ ，由方程 － ＝ ，可得 （2a1＋1）－ a1＝ ，解得a1＝2，所以a2＝2a1＋1＝5，则等差数列{an}的公差为3，所以an＝3n－1，由anbn＝2n（3n－1），则bn＝2n，故数列{bn}的通项公式为bn＝2n.1234567891011121314【高考新风向】（13题5分，14题6分，共11分）13. 〔创新定义〕已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数（例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2），则＋ ＋…＋ ＝（ ）A. 2 022 B. 2 023C. 2 024 D. 2 025√1234567891011121314解析： 由题设，（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2，则（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝an－a1＝2[n＋（n－1）＋…＋3＋2]＝（n＋2）（n－1）（n≥2），所以an＝n（n＋1），故 ＝1＋ .又n∈N*，当n＝1时， ＝2，当n≥2时，＝1，所以 ＋ ＋…＋ ＝2 025.123456789101112131414. 〔创新考法〕〔多选〕如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，被后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有an个球，从上往下n层球的总个数为Sn，记bn＝（－1）n·（an＋1－an），则下列结论正确的是（ ）A. an＋1－an＝n＋1B. b1＋b2＋…＋b20＝20C. Sn－Sn－1＝ ，n≥2D. 的最大值为√√√1234567891011121314解析： a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以an＋1－an＝n＋1，故A正确；因为bn＝（－1）n（an＋1－an）＝（－1）n（n＋1），所以b1＋b2＋…＋b20＝－2＋3－4＋5－…－20＋21＝10，故B不正确；因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝ （n≥2），经检验a1＝1也满足该式，故an＝ ，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝ ，故C正确；1234567891011121314＝ ＝ ， － ＝ － ＝，所以当n＝1时， ＞ ，当n＝2时， ＝ ，当n≥3时， ＜ ，所以当n＝2或n＝3时， 取得最大值 ，故D正确.故选A、C、D.1234567891011121314THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第5讲 数列的递推关系.docx 第5讲 数列的递推关系.pptx 第5讲 数列的递推关系（练习，含解析）.docx
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