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微突破4　数列中的放缩问题
（时间：20分钟，满分：30分）
解答题（共30分）
1.（15分）（2025·河北沧州一模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，－2Sn＋an＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜.
2.（15分）已知首项为3的正项数列{an}的前n项积为Tn＝.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn＞n－1.
微突破4　数列中的放缩问题
1.解：（1）当n＝1时，－2S1＋a1＝0，a1＝1或a1＝0（舍去），
因为－2Sn＋an＝0，当n≥2时，－2Sn－1＋an－1＝0，
两式作差得－2Sn＋an－（－2Sn－1＋an－1）＝0，
即－－an－an－1＝0，故（an＋an－1）（an－an－1－1）＝0，
又因为an＞0，所以an－an－1＝1（n≥2），且a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为an＝n.
（2）证明：由（1）可知，bn＝，
故Tn＝＋＋＋…＋＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式作差得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝（1－）－.
所以Tn＝（3－），因为＞0，所以Tn＜.
2.解：（1）由题意得＝，＝，所以＝＝，即＝，
两边取常用对数得lg ＝lg ，
则nlg an＋1＝（n＋1）lg an，所以＝＝…＝＝lg 3，所以数列{}为常数列，lg an＝nlg 3＝lg 3n，所以数列{an}的通项公式为an＝3n.
（2）证明：由（1）知an＝3n，令bn＝＝＝1－，
所以Sn＝（1－）＋（1－）＋…＋（1－）＝n－2（＋＋…＋），
又＜，所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝（1－）＜，故Sn＝n－2（＋＋…＋）＞n－1.
1 / 1微突破4　数列中的放缩问题
【备考指南】　数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合，难度中等偏上，其核心技能是放缩技巧的应用.
1.和易求，先求和再放缩证明不等式.
1.已知数列{bn}的通项公式为bn＝，设数列{}的前n项和为Sn，求证：Sn＜.
2.和不易求，先放缩再求和证明不等式.
2.求证：＋＋＋…＋＜1（n∈N*）.
【思维建模】　放缩法快解数列不等式
【瓶颈突破】　对于第（1）问，先通过等差中项，确定数列{an}的递推关系，再由an与Sn的关系求通项；
对于第（2）问，先确定数列{bn}的通项公式，观察通项公式特征，和易求，先求和再放缩证明不等式.
【例1】　（2025·广东广州二模）设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.
【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99；
（3）证明：＋＋＋…＋＞9.
【瓶颈突破】　对于第（1）问，当n≥2时，观察数列的递推特征，变形可得－＝－，利用累加法求解即可，最后注意检验n＝1时的情形；
对于第（2）问，先验证n＝1时不等式成立，再根据n＝1时的值，确定放缩程度，再求解即可.
【训练】　已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}满足bn＝nan－1，证明：＋＋…＋＜.
微突破4　数列中的放缩问题
【基础·回扣】
1.证明：因为＝＝－.
则Sn＝－1＋－＋…＋－＝－1＜.
2.证明：∵＜，
∴左边＜＋＋＋…＋＝＝1－＜1＝右边，
∴＋＋＋…＋＜1（n∈N*）.
【典例·讲解】
【例1】　解：（1）因为an是Sn和8的等差中项，
所以an＝，即Sn＝2an－8　①.
当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8　②，
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即＝2.
所以数列{an}是首项为8，公比为2的等比数列.
所以an＝8×2n－1＝2n＋2.
（2）证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2，得＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝（－）＋（－）＋…＋（－）＝－.
由于n≥1，得0＜≤，得≤－＜，所以≤Tn＜.
【例2】　解：（1）因为2Sn＝n2＋n　①，
当n≥2时，2Sn－1＝（n－1）2＋n－1　②，
所以①－②得2an＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n，即an＝n，
又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
（2）因为bn＝＝＝－，
所以T99＝b1＋b2＋…＋b99＝－1＋－＋…＋－＝－1＝9.
（3）证明：因为＝＞＝－，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＞－1＋－＋…＋－＝－1＝9，
即＋＋＋…＋＞9.
【训练】　解：（1）当n≥2时，an－4an－1＝－，
两边同除4n后得－＝－，
所以
上述等式累加得－1＝－1＋，即＝，所以an＝.
又n＝1时，a1＝4满足an＝，故an＝（n∈N*）.
（2）证明：由（1）得bn＝nan－1＝4n－1，
当n＝1时，＝＜，
又＝＝≤，
则当n≥2时，＋＋…＋＜（1＋＋＋…＋）
＝·＝（1－）＝－·＜.
综上，对任意的n∈N*，＋＋…＋＜.
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微突破4　数列中的放缩问题
备考指南
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结
合，难度中等偏上，其核心技能是放缩技巧的应用.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
和易求，先求和再放缩证明不等式.
1. 已知数列{bn}的通项公式为bn＝ ，设数列{ }的前n项和为
Sn，求证：Sn＜ .
证明：因为 ＝ ＝ － .
则Sn＝ －1＋ － ＋…＋ － ＝ －1＜ .
2. 求证： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1（n∈N*）.
和不易求，先放缩再求和证明不等式.
证明：∵ ＜ ，
∴左边＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝1－ ＜1＝右边，
∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＜1（n∈N*）.
【思维建模】　放缩法快解数列不等式
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例1】　（2025·广东广州二模）设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn
和8的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
【瓶颈突破】　对于第（1）问，先通过等差中项，确定数列{an}的递推关系，再由an与Sn的关系求通项；
对于第（2）问，先确定数列{bn}的通项公式，观察通项公式特征，和易求，先求和再放缩证明不等式.
解： 因为an是Sn和8的等差中项，
所以an＝ ，即Sn＝2an－8　①.
当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8　②，
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即 ＝2.
所以数列{an}是首项为8，公比为2的等比数列.
所以an＝8×2n－1＝2n＋2.
（2）令bn＝log2an，数列{ }的前n项和为Tn，证明： ≤Tn＜ .
解： 证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2，得 ＝
＝ － ，
所以Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ －
）＝ － .
由于n≥1，得0＜ ≤ ，得 ≤ － ＜ ，所以 ≤Tn＜ .
【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 因为2Sn＝n2＋n　①，
当n≥2时，2Sn－1＝（n－1）2＋n－1　②，
所以①－②得2an＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n，即an＝n，
又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝ ，求T99；
解： 因为bn＝ ＝ ＝ － ，
所以T99＝b1＋b2＋…＋b99＝ －1＋ － ＋…＋ － ＝
－1＝9.
（3）证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＞9.
解： 证明：因为 ＝ ＞ ＝ － ，
所以 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＞ －1＋ －
＋…＋ － ＝ －1＝9，
即 ＋ ＋ ＋…＋ ＞9.
【训练】　已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－ .
（1）求数列{an}的通项公式；
【瓶颈突破】　对于第（1）问，当n≥2时，观察数列的递推特征，变形可得 － ＝ － ，利用累加法求解即可，最后注意检验n＝1时的情形；
对于第（2）问，先验证n＝1时不等式成立，再根据n＝1时的值，确定放缩程度，再求解即可.
解： 当n≥2时，an－4an－1＝－ ，
两边同除4n后得 － ＝ － ，所以
上述等式累加得 －1＝－1＋ ，即 ＝ ，所以an＝ .
又n＝1时，a1＝4满足an＝ ，故an＝ （n∈N*）.
（2）已知数列{bn}满足bn＝nan－1，证明： ＋ ＋…＋ ＜ .
解： 证明：由（1）得bn＝nan－1＝4n－1，
当n＝1时， ＝ ＜ ，又 ＝ ＝ ≤ ，
则当n≥2时， ＋ ＋…＋ ＜ （1＋ ＋ ＋…＋ ）
＝ · ＝ （1－ ）＝ － · ＜ .
综上，对任意的n∈N*， ＋ ＋…＋ ＜ .
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：20分钟，满分：30分）
解答题（共30分）
1. （15分）（2025·河北沧州一模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an＞
0， －2Sn＋an＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
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解： 当n＝1时， －2S1＋a1＝0，a1＝1或a1＝0（舍去），
因为 －2Sn＋an＝0，当n≥2时， －2Sn－1＋an－1＝0，
两式作差得 －2Sn＋an－（ －2Sn－1＋an－1）＝0，
即 － －an－an－1＝0，
故（an＋an－1）（an－an－1－1）＝0，
又因为an＞0，所以an－an－1＝1（n≥2），且a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为an＝n.
（2）若bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜ .
解： 证明：由（1）可知，bn＝ ，
故Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，
Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，
两式作差得 Tn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ － ＝
（1－ ）－ .
所以Tn＝ （3－ ），因为 ＞0，所以Tn＜ .
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2. （15分）已知首项为3的正项数列{an}的前n项积为Tn＝ .
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 由题意得 ＝ ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ ，即 ＝ ，
两边取常用对数得lg ＝lg ，
则nlg an＋1＝（n＋1）lg an，所以 ＝ ＝…＝ ＝lg 3，所以数
列{ }为常数列，lg an＝nlg 3＝lg 3n，所以数列{an}的通项公式为an＝3n.
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（2）设数列{ }的前n项和为Sn，证明：Sn＞n－1.
解： 证明：由（1）知an＝3n，令bn＝ ＝ ＝1－ ，
所以Sn＝（1－ ）＋（1－ ）＋…＋（1－ ）＝n－2（ ＋
＋…＋ ），
又 ＜ ，所以 ＋ ＋…＋ ＜ ＋ ＋…＋ ＝
＝ （1－ ）＜ ，故Sn＝n－2（ ＋ ＋…＋ ）＞n－1.
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