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第2课时 提公因式法
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
八下数学 BSD
1. 准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
2. 能运用整体思想进行因式分解.
问题 我们把多项式各项都含有的 ，叫作这个多项式各项的公因式.
相同因式
知识点 提公因式法
思考
下面的多项式有公因式吗？
a(x-3)+2b(x-3)；
y(x+1)+y2(x+1)2.
以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？
x-3
y(x+1)
知识点 提公因式法
例1 把下列各式因式分解：
(1) a(x-3)+2b(x-3) ； (2) y(x+1)+y2(x+1)2.
解：(1) a(x-3)+2b(x-3)
＝ (x-3)(a+2b)；
(2) y(x+1)+y2(x+1)2
＝ y(x+1) [1+y(x+1)]
＝ y(x+1) (xy+y+1).
提公因式法因式分解的注意事项：
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
知识点 提公因式法
知识点 提公因式法
跟踪训练 把5(a-b)+m(a-b)提公因式后一个因式是(a-b)，则另一个因式是(　　)
A. 5+m B. 5-m
C. -5+m D. -5-m
A
请在下列各式等号的右边填入“+”或“-”号，使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)； (2) y-x= (x-y);
(3) b+a= (a+b); (4) (b-a)2= (a-b)2;
(5) -s2+t2= (s2-t2) ; (6) -m-n= (m+n);
(7) (b-a)3= (a-b)3; (8) -x+2y=___(2y-x).
知识点 提公因式法
-
+
-
-
-
+
-
+
两个只有符号不同的多项式的关系：
(1) 当相同字母前的符号相同时， 则两个多项式相等.
如：a-b和-b+a 即a-b=-b+a
(2) 当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数.
如：a-b和b-a 即a-b=-(a-b)
知识点 提公因式法
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数);
(a-b)n =-(b-a)n (n是奇数).
知识点 提公因式法
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x-y)+b(y-x)； (2) 6(m-n)3-12(n-m)2.
解：(1) a(x-y)+b(y-x)
= a(x-y)-b(x-y)
= (x-y)(a-b)；
(2) 6(m-n)3-12(n-m)2
= 6(m-n)3 -12[-(m-n)]2
= 6(m-n)3-12(m-n)2
= 6(m-n)2(m-n-2).
利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验
公因式可以是单项式，也可以是多项式；
提公因式时，要找准最大公因式；
当两个多项式互为相反数时，需要先提出负号，将多项式变成公因式后再提公因式等.
知识点 提公因式法
如图，有三张不同型号的长方形卡片.
(1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗
(2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗
(3) 依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 你是怎样想的
知识点 提公因式法
拼图面积 na+nb或n(a+b)
几何解释 na+nb=n(a+b)
知识点 提公因式法
拼图面积 n(a+b)+m(a+b)或(a+b)(m+n)
几何解释 n(a+b)+m(a+b)=(a+b)(m+n)
知识点 提公因式法
知识点 提公因式法
跟踪训练 把下列各式因式分解：
1. x(a+b)+y(a+b)= ；
2. 3a(x-y)-(x-y)= ；
3. 6(p+q)2-12(q+p)= ;
(a+b)(x+y)
(x-y)(3a-1)
6(p+q)(p+q-2)
知识点 提公因式法
跟踪训练 把下列各式因式分解：
4. -4a3b3+6a2b-2ab= ；
5. -2x2-12xy2+8xy3= ；
6. -3ma3+6ma2-12ma= .
-2ab(2a2b2-3a+1)
-2x(x+6y2-4y3)
-3ma(a2-2a+4)
1. 把下列各式因式分解：
(1) 2a(b+c)-3(b+c)=　　　　　　　　；
(2) x2(x-3)-(3-x)=　　　　　　　　.
(b+c)(2a-3)
(x-3)(x2+1)
2. 因式分解：x(x-2)-x+2=　　　　　　　　.
(x-2)(x-1)
3. 把下列各式进行因式分解:
(1) 3a(x-y)-(x-y)； (2) 6(p+q)2-12(q+p)；
(3) p(a2 +b2 )-q(a2 +b2 )； (4) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).
解：(1) 3a(x-y)-(x-y)
＝(x-y)(3a-1)；
(2) 6(p+q)2-12(q+p)
＝ 6(p+q)(p+q-2)；
(3) p(a2 +b2 )-q(a2 +b2 )
＝ (a2+b2)(p-q)；
(4) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)
＝ a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)
＝ (x-a)(a-b-c).
4. 若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　　)
A. 3 B. 2
C. 1 D. －1
A
5. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1) 上述因式分解的方法是　　　　　　　　；
(2) 若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2023，
则结果是　　　　　；
(3) 因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
提公因式法
(1+x)2024
解：原式=(1+x)n+1.
(1) 观察；
(2) 适当变形；
(3) 确定公因式；
(4) 提取公因式.
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
提公因式法
因式分解的步骤
提公因式法

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