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第1课时 用平方差公式因式分解
4.3 公式法
第四章 因式分解
八下数学 BSD
1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.
2. 能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
问题 尝试将它们分别写成两个因式的乘积：
x2-25= ；
9x2-y2= ；
9m2-4n2= .
它们有什么共同特征？
两个数(式)的平方差可以化成这两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积的形式.
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(3m+2n)(3m–2n)
知识点 用平方差公式因式分解
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到
a2-b2=(a+b)(a-b).
注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点：a2-b2，
即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
用平方差公式因式分解的几何解释：
知识点 用平方差公式因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
知识点 用平方差公式因式分解
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25-16x2； (2) 9a2-b2.
解：(1)25-16x2
=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x)；
(2) 9a2-b2
= (3a)2-(b)2
= (3a+b)(3a-b).
归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b；
第二步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式.
观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解:
(1) a4-b4；　 (2) x3y2-xy4.
知识点 用平方差公式因式分解
还能继续分解吗？
解：(1) a4-b4
= (a2+b2)(a2-b2)
= (a2+b2)(a+b)(a-b);
有公因式的要先提公因式，再进一步分解.
(2) x3y2-xy4
= xy2(x2-y2)
= xy2(x+y)(x-y).
知识点 用平方差公式因式分解
例2 把下列各式因式分解：
(1) 2x3-8x； (2) 9(m+n)2-(m-n)2.
解：(1) 2x3-8x
= 2x(x2-4)
= 2x(x2-22)
= 2x(x+2)(x-2);
(2) 9(m+n)2-(m-n)2
= [3(m+n)]2-(m-n)2
= [3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
= (3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
= (4m+2n)(2m+4n)
= 4(2m+n)(m+2n).
运用平方差公式因式分解的注意事项：
1. 具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式.
2. 公式a b =(a+b)(a b)中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3. 若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式.
4. 分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
知识点 用平方差公式因式分解
知识点 用平方差公式因式分解
跟踪训练 若a+b=4，a-b=1，则(a+1)2-(b-1)2的值为　　　　.
12
如图，在一张边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积.当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少
解：剩余部分的面积为(a2-4b2) cm2.
当a=3.6，b=0.8时，
a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(3.6+2×0.8)×(3.6-2×0.8)=10.4，
即剩余部分的面积为10.4 cm2.
知识点 用平方差公式因式分解
1. 分解因式(2x+3)2 -x2的结果是(　　)
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
2. 如图所示，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)(　　)
A. 3.5π　　　　 B. 12.25π
C. 27π　　　　 D. 35π
D
3. 把下列各式因式分解：
(1) (2x+3y)2-1； (2) -16a4b4+1； (3) 2a2(n-m)+8(m-n).
解： (1) (2x+3y)2-1
= (2x+3y)2-12
= (2x+3y+1)(2x+3y-1);
(2) -16a4b4+1
= 1-16a4b4
= 12-(4a2b2)2
= (1+4a2b2)(1-4a 2b2)
= (1+4a2b2)(1+2ab)(1-2ab);
(3) 2a2(n-m)+8(m-n)
= 2(n-m)(a2-4)
= 2(n-m)(a+2)(a-2).
4. 如图所示，在边长为6.8 cm的正方形钢板上挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积.
解：根据题意得6.82-4×1.6 2 =6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22
=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
5. 已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.
解：∵ (n+7)2-(n-3)2
= (n+7+n-3)(n+7-n+3)
= 20(n+2)，
∴ (n+7)2-(n-3)2的值一定能被 20 整除.
用字母表示：a -b =(a+b)(a-b).
语言描述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
平方差公式

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