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第2课时 用完全平方公式因式分解
4.3 公式法
第四章 因式分解
八下数学 BSD
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式.
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算.
问题 填空：
(1) (a+2b)2＝ ；
(2) (3a-b)2 ＝ .
以上都是用完全平方公式：
(a+b)2＝ a2+2ab+b2，(a-b)2＝ a2-2ab+b2计算得出来的.
a2+4ab+4b2
9a2-6ab+b2
知识点 用完全平方公式因式分解
形如 a2±2ab+b2的式子称为完全平方式.
分别把乘法公式(a+b)2＝ a2+2ab+b2， (a-b)2 ＝a2-2ab+b2反过来，就得到：a2+2ab+b2＝(a+b)2 ， a2-2ab+b2＝(a-b)2 .
下列各式是不是完全平方式？
(1) a2－4a+4； (2) 1+4a ；
(3) 4b2+4b-1； (4) a2+ab+b2；
(5) x2+x+0.25.
知识点 用完全平方公式因式分解
不是
不是
是
不是
是
完全平方式的特点：
1. 是三项式(或可以看成三项)；
2. 有两个同号的数或式的平方；
3. 中间是这两个数的积的±2倍.
注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
知识点 用完全平方公式因式分解
知识点 用完全平方公式因式分解
例1 把下列各式因式分解：
(1) x2＋14x＋49； (2) (m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1) x2＋14x＋49
＝ x2＋2×7x＋72
＝ (x＋7) 2 ；
(2) (m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ [(m＋n)－3]2
＝ (m＋n－3)2.
知识点 用完全平方公式因式分解
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
知识点 用完全平方公式因式分解
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) －x2－4y2＋4xy.
解：(1) 3ax2＋6axy＋3ay2
＝ 3a(x2＋2xy＋y2)
＝ 3a(x＋y)2；
(2) －x2－4y2＋4xy
＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝ －(x－2y)2.
因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.
分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
知识点 用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解，可以简化计算.
知识点 用完全平方公式因式分解
跟踪训练 计算或化简下列各式：
(1) 2022+202×196+982； (2) (a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.
解：(1) 2022+202×196+982
＝ 2022+2×202×98+982
＝ (202+98)2
＝ 3002
＝ 90 000；
(2) (a2-2)2-2a2(a2-2)+a4
＝ (a2-2)2-2a2(a2-2)+(a2)2
＝ (a2-2-a2)2
＝ (-2)2
＝ 4.
知识点 用完全平方公式因式分解
跟踪训练 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴ a－b＝0，b－c＝0，
∴ a＝b＝c，
∴ △ABC是等边三角形．
1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A. x2+x+1 B. x2+2x-1
C. x2-1 D. x2-6x+9
D
2. 已知9x2-mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为(　　)
A. 12 B. ±12
C. 24 D. ±24
D
3. 把下列各式因式分解：
(1) -x2+2x-1； (2) 9(a-b)2+42(a-b)+49；
(3) x3-2x2y+xy2； (4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1).
解： (1) -x2+2x-1
= -(x2-2x+1)
= -(x-1)2；
(2) 9(a-b)2+42(a-b)+49
= [3(a-b)+7]2
= (3a-3b+7)2；
3. 把下列各式因式分解：
(1) -x2+2x-1； (2) 9(a-b)2+42(a-b)+49；
(3) x3-2x2y+xy2； (4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1).
(3) x3-2x2y+xy2
= x(x2-2xy+y2)
= x(x-y)2;
(4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)
= (x2+2x+1)(y2-1)
= (x+1)2(y+1)(y-1).
4. 若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
1
5. 长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为________．
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根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
用字母表示：a +2ab+b =(a+b) a -2ab+b =(a-b)
完全平方公式
公式法的定义
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

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