资源简介

6.1.1　向量的实际背景与概念
6.1.2　向量的几何表示
6.1.3　相等向量与共线向量
【课程标准要求】　1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,达成数学抽象的核心素养.2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念,达成数学抽象的核心素养.3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
知识点一　向量的概念
1.向量
既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量
只有大小没有方向的量称为数量.
知识点二　向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
2.向量的表示
(1)几何表示:用有向线段 表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量 的大小称为向量 的长度(或称模),记作.
(2)字母表示:印刷时用字母a ,b,c,…表示,书写时用,,,…表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
3.两种特殊的向量
(1)零向量与非零向量:长度为0的向量叫做零向量.印刷时用0表示;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量.
(2)单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上面的箭头.
(3)单位向量有无数个,它们的大小相等,但方向不一定相同.
(4)在平面内,将所有表示单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
知识点三　相等向量与共线向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量;平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定:零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量;向量a与b相等,记作a=b
知识拓展
对相等向量与共线向量的理解
(1)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量是可以重合的.
(2)共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量(平行向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
(3)向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量.
基础自测
1.下列量是向量的为(　　)
[A] 频率 [B] 拉力 [C] 体积 [D] 距离
【答案】 B
【解析】 显然频率、体积、距离只有大小,它们不是向量,而拉力既有大小,又有方向,所以拉力是向量.故选B.
2.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为(　　)
[A] 邻边不相等的平行四边形
[B] 矩形
[C] 菱形
[D] 等腰梯形
【答案】 C
【解析】 因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又||=||,即邻边相等,所以四边形
ABCD为菱形.故选C.
3.(人教A版必修第二册P5习题6.1 T4改编) 如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有　　　　　.(填序号)
①=;②∥;③与共线;④=.
【答案】 ①②③　
【解析】 与方向相同,长度相等,所以①正确;
因为A,O,C三点在一条直线上,
所以∥,②正确;
因为AB∥DC,所以与共线,③正确;
与方向不同,所以二者不相等,④错误.
4.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量 是平行向量,与是共线向量,则m=　.
【答案】 0　
【解析】 与不共线,零向量的方向是任意的,它与任意向量平行,所以唯有零向量才能同时与两个不共线的向量平行.
题型一　向量的有关概念
[例1] (多选题)下列说法错误的是(　　)
[A] 向量 与向量 的长度相等
[B] 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
[C] 零向量没有方向
[D] 若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
【答案】 BCD
【解析】 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0,但方向不确定;两个单位向量若反向,则不相等,故B,C,D都错误,A正确.故选BCD.
解决与向量的概念有关问题的方法
解决与向量的概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
[变式训练] 下列说法正确的是(　　)
[A] 单位向量都相等
[B] 若a与b不共线,则a与b都是非零向量
[C] 向量的大小与方向有关
[D] 两个共线向量的模相等
【答案】 B
【解析】 单位向量长度都为1,但方向不确定,故A错误;若a与b不共线,则a与b都是非零向量,原因是零向量与任意向量共线,故B正确;向量的大小即向量的模,指有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;两个共线向量的模不一定相等,故D错误.故选B.
题型二　向量的几何表示及应用
[例2] 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远
【解】 (1) 由题意,作出向量,,,,如图所示.
(2)依题意知,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.
又∠ACD=45°,
CD=1 000 km,
所以△ACD为等腰直角三角形,
则AD=1000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
[变式训练] 在如图所示的坐标纸(规定每个小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向;
(2),使||=4,点B在点A正东方向;
(3),使||=4,点C在点B北偏东30°方向.
【解】 (1)因为点A在点O北偏东45°方向上,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格的边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(2)因为点B在点A正东方向上,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(3)点C在点B北偏东30°方向上,且||=4,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为2,以点B为圆心,4个小方格长为半径画圆,于是点C的位置可以确定,画出向量,如图所示.
题型三　相等向量与共线向量
[例3] (苏教版必修第二册P7例2)在图中的4×5方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与相等的向量有多少个 与长度相等的共线向量有多少个(除外)
【解】当向量的起点C是图中所圈的格点时,可以作出与相等的向量.这样的格点共有8个,除去点A外,还有7个,所以共有7个向量与 相等.
与长度相等的共线向量(除外)共有 7×2+1=15(个).
相等向量与共线向量的探求方法
(1)相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
[变式训练] 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量 若存在,有几个
(3)与共线的向量有几个
【解】 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB),而每一条线段可以有两个向量,
所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知,BC∥AO∥EF,
所以与的长度相等、方向相反的向量有,,,,共4个.
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,
所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法不正确的是(　　)
[A] 向量的模是一个非负实数
[B] 任何一个非零向量都可以平行移动
[C] 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
[D] 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
【答案】 D
【解析】 有共同起点且共线的向量有可能方向相反,所以终点不一定相同.故选D.
2.如图,在圆O中,向量,,是(　　)
[A] 有相同起点的向量
[B] 相反向量
[C] 模相等的向量
[D] 相等向量
【答案】 C
【解析】 因为向量,的起点为O,而向量的起点为A,所以选项A错误;因为相反向量是方向相反、长度相等的向量,而向量,,方向不相反,所以选项B错误;向量,,的模均为圆O的半径,所以选项C正确;因为相等向量是方向相同、长度相等的向量,而向量,,方向不同,所以选项D错误.故选C.
3.如图,在 ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)
[A] 和
[B] 和
[C] 和
[D] 和
【答案】 B
【解析】 对于A,向量和的方向相反,但长度相等,所以和不是相等向量;
对于B,向量和的方向相同且长度相等,所以和是相等向量;
对于C,向量和的方向不同,且长度不相等,所以和不是相等向量;
对于D,向量和的方向不同,且长度不相等,所以和不是相等向量.
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选B.
4.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则(　　)
[A] AC⊥BD
[B] 四边形ABCD是梯形
[C] 四边形ABCD是菱形
[D] 四边形ABCD是矩形
【答案】 D
【解析】 由=,=,||=||,知四边形ABCD的对角线相互平分且相等,
所以四边形ABCD为矩形.故选D.
5.一架飞机向西飞行150 km,再向北飞行350 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则(　　)
[A] s>|a|
[B] s=|a|
[C] s<|a|
[D] s与|a|不能比较大小
【答案】 A
【解析】由题意,作图如下.
则该飞机由A先飞到B,再飞到C,则AB=150 km,BC=350 km,a=,
则飞机飞行的路程为s=500 km,|a|==50 km,所以s>|a|.故选A.
6.(多选题)关于非零向量a,b,下列命题正确的是(　　)
[A] 若|a|=|b|,则a=b
[B] 若a=-b,则a∥b
[C] 若|a|>|b|,则a>b
[D] 若a=b,b=c,则a=c
【答案】 BD
【解析】 对于A,|a|=|b|不能确定a,b的方向,故A错误;对于B,若a=-b,则a∥b,B正确;对于C,向量不能比较大小,故C错误;对于D,若a=b,b=c,则a=c,D正确.故选BD.
7.(5分)如图,设每一个正方形小方格的边长为1,则向量,,,,中模最大的向量是　　　　,其长度为　　　　.
【答案】 　3　
【解析】 由图形,得||=2,||=3,||=4,||=,||=3.所以长度最大,为3.
8.(5分)已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是
　　 　　.
【答案】 　
【解析】 由=知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°,菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,令其半径为r,则r=||sin 60°=,所以S圆=πr2=π×()2=.
9.(13分) 如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量.
(2)求证:=.
(1)【解】 因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,CE∥AF,CE=AF,
所以四边形AFCE为平行四边形,
所以CF∥AE.
所以与向量共线的向量为,,.
(2)【证明】 在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因为E,F分别是DC,AB的中点,
所以ED∥BF且ED=BF,
所以四边形BFDE是平行四边形,
所以BE=FD,BE∥FD,
故=.
10.(14分) 如图,以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中,有多少种大小不同的模 有多少种不同的方向
【解】 模为1的向量;模为2的向量;模为3的向量;模为的向量;模为的向量;模为 的向量.所以共有6种模.
下面对方向分析,正方形的边对应的向量共有4种方向;边长为1的正方形的对角线对应的向量共有4种方向;1×2的矩形的对角线对应的向量共4种方向;1×3的矩形的对角线对应的向量共有4种方向.所以共有16种方向.
11.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　)
[A] 12个 [B] 18个
[C] 24个 [D] 36个
【答案】 C
【解析】 由题意知,每个小正方形的边长为1,则对角线长为,每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,3×4的格点图中包含12个小正方形,所以共有24个向量满足要求.故选C.
12.(5分) 如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中,相等向量有　　　　对.
【答案】 2　
【解析】 由题意CD∥AB可知,△OCD∽△OAB,所以=,所以=.
因为MN∥AB,所以=,=,
所以=,所以OM=ON.
又M,O,N三点共线,
所以=,=,故相等向量有2对.
13.(17分)设O是正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
(1)分别找出与,相等的向量;
(2)找出与 共线的向量;
(3)找出与模相等的向量;
(4)向量与是否相等
【解】 (1)=,=.
(2)与共线的向量有,,.
(3)与模相等的向量有,,,,,,.
(4)向量与不相等,因为它们的方向不相同.(共37张PPT)
第六章　平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
6.1.1　向量的实际背景与概念
6.1.2　向量的几何表示
6.1.3　相等向量与共线向量
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,达成数学抽象的核心素养.2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念,达成数学抽象的核心素养.3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　向量的概念
1.向量
既有 又有 的量叫做向量.
2.数量
只有 没有 的量称为数量.
大小
方向
大小
方向
知识点二　向量的几何表示
1.有向线段
具有 的线段叫做有向线段.它包含三个要素: 、 、 .
方向
起点
方向
长度
2.向量的表示
3.两种特殊的向量
0
0
(2)单位向量:长度等于 的向量,叫做单位向量.
1个单位长度
·温馨提示·
(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时
表示零向量,一定不能漏掉0上面的箭头.
(3)单位向量有无数个,它们的大小相等,但方向不一定相同.
(4)在平面内,将所有表示单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
知识点三　相等向量与共线向量
平行向量 (共线向量) 方向 的 向量;平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定:零向量与 向量平行
相等向量 长度 且方向 的向量;向量a与b相等,记作a=b
相同或相反
非零
任意
相等
相同
『知识拓展』
对相等向量与共线向量的理解
(1)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量是可以重合的.
(2)共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含
义.实际上,共线向量(平行向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
(3)向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量.
基础自测
1.下列量是向量的为(　　)
[A] 频率 [B] 拉力 [C] 体积 [D] 距离
B
【解析】 显然频率、体积、距离只有大小,它们不是向量,而拉力既有大小,又有方向,所以拉力是向量.故选B.
[A] 邻边不相等的平行四边形
[B] 矩形
[C] 菱形
[D] 等腰梯形
C
3.(人教A版必修第二册P5习题6.1 T4改编) 如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有　　 　　　.(填序号)
①②③
0
关键能力·素养培优
题型一　向量的有关概念
[例1] (多选题)下列说法错误的是(　 　)
[B] 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
[C] 零向量没有方向
[D] 若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
BCD
【解析】 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0,但方向不确定;两个单位向量若反向,则不相等,故B,C,D都错误,A正确.故选BCD.
·解题策略·
解决与向量的概念有关问题的方法
解决与向量的概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
[变式训练] 下列说法正确的是(　　)
[A] 单位向量都相等
[B] 若a与b不共线,则a与b都是非零向量
[C] 向量的大小与方向有关
[D] 两个共线向量的模相等
B
【解析】 单位向量长度都为1,但方向不确定,故A错误;若a与b不共线,则a与b都是非零向量,原因是零向量与任意向量共线,故B正确;向量的大小即向量的模,指有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;两个共线向量的模不一定相等,故D错误.故选B.
题型二　向量的几何表示及应用
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远
·解题策略·
作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
[变式训练] 在如图所示的坐标纸(规定每个小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量:
题型三　相等向量与共线向量
·解题策略·
相等向量与共线向量的探求方法
(1)相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
[变式训练] 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
感谢观看6.1.1　向量的实际背景与概念
6.1.2　向量的几何表示
6.1.3　相等向量与共线向量
【课程标准要求】　1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,达成数学抽象的核心素养.2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念,达成数学抽象的核心素养.3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
知识点一　向量的概念
1.向量
既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量
只有大小没有方向的量称为数量.
知识点二　向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
2.向量的表示
(1)几何表示:用有向线段 表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量 的大小称为向量 的长度(或称模),记作.
(2)字母表示:印刷时用字母a ,b,c,…表示,书写时用,,,…表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
3.两种特殊的向量
(1)零向量与非零向量:长度为0的向量叫做零向量.印刷时用0表示;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量.
(2)单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上面的箭头.
(3)单位向量有无数个,它们的大小相等,但方向不一定相同.
(4)在平面内,将所有表示单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
知识点三　相等向量与共线向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量;平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定:零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量;向量a与b相等,记作a=b
知识拓展
对相等向量与共线向量的理解
(1)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量是可以重合的.
(2)共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量(平行向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
(3)向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量.
基础自测
1.下列量是向量的为(　　)
[A] 频率 [B] 拉力 [C] 体积 [D] 距离
2.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为(　　)
[A] 邻边不相等的平行四边形
[B] 矩形
[C] 菱形
[D] 等腰梯形
ABCD为菱形.故选C.
3.(人教A版必修第二册P5习题6.1 T4改编) 如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有　　　　　.(填序号)
①=;②∥;③与共线;④=.
因为A,O,C三点在一条直线上,
所以∥,②正确;
因为AB∥DC,所以与共线,③正确;
与方向不同,所以二者不相等,④错误.
4.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量 是平行向量,与是共线向量,则m=　.
题型一　向量的有关概念
[例1] (多选题)下列说法错误的是(　　)
[A] 向量 与向量 的长度相等
[B] 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
[C] 零向量没有方向
[D] 若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
解决与向量的概念有关问题的方法
解决与向量的概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
[变式训练] 下列说法正确的是(　　)
[A] 单位向量都相等
[B] 若a与b不共线,则a与b都是非零向量
[C] 向量的大小与方向有关
[D] 两个共线向量的模相等
题型二　向量的几何表示及应用
[例2] 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远
(2)依题意知,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.
又∠ACD=45°,
CD=1 000 km,
所以△ACD为等腰直角三角形,
则AD=1000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
[变式训练] 在如图所示的坐标纸(规定每个小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向;
(2),使||=4,点B在点A正东方向;
(3),使||=4,点C在点B北偏东30°方向.
(2)因为点B在点A正东方向上,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(3)点C在点B北偏东30°方向上,且||=4,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为2,以点B为圆心,4个小方格长为半径画圆,于是点C的位置可以确定,画出向量,如图所示.
题型三　相等向量与共线向量
[例3] (苏教版必修第二册P7例2)在图中的4×5方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与相等的向量有多少个 与长度相等的共线向量有多少个(除外)
与长度相等的共线向量(除外)共有 7×2+1=15(个).
相等向量与共线向量的探求方法
(1)相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
[变式训练] 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量 若存在,有几个
(3)与共线的向量有几个
所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知,BC∥AO∥EF,
所以与的长度相等、方向相反的向量有,,,,共4个.
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,
所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列说法不正确的是(　　)
[A] 向量的模是一个非负实数
[B] 任何一个非零向量都可以平行移动
[C] 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
[D] 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2.如图,在圆O中,向量,,是(　　)
[A] 有相同起点的向量
[B] 相反向量
[C] 模相等的向量
[D] 相等向量
3.如图,在 ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)
[A] 和
[B] 和
[C] 和
[D] 和
对于B,向量和的方向相同且长度相等,所以和是相等向量;
对于C,向量和的方向不同,且长度不相等,所以和不是相等向量;
对于D,向量和的方向不同,且长度不相等,所以和不是相等向量.
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选B.
4.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则(　　)
[A] AC⊥BD
[B] 四边形ABCD是梯形
[C] 四边形ABCD是菱形
[D] 四边形ABCD是矩形
所以四边形ABCD为矩形.故选D.
5.一架飞机向西飞行150 km,再向北飞行350 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则(　　)
[A] s>|a|
[B] s=|a|
[C] s<|a|
[D] s与|a|不能比较大小
则该飞机由A先飞到B,再飞到C,则AB=150 km,BC=350 km,a=,
则飞机飞行的路程为s=500 km,|a|==50 km,所以s>|a|.故选A.
6.(多选题)关于非零向量a,b,下列命题正确的是(　　)
[A] 若|a|=|b|,则a=b
[B] 若a=-b,则a∥b
[C] 若|a|>|b|,则a>b
[D] 若a=b,b=c,则a=c
7.(5分)如图,设每一个正方形小方格的边长为1,则向量,,,,中模最大的向量是　　　　,其长度为　　　　.
8.(5分)已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是
　　 　　.
9.(13分) 如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量.
(2)求证:=.
所以四边形AFCE为平行四边形,
所以CF∥AE.
所以与向量共线的向量为,,.
因为E,F分别是DC,AB的中点,
所以ED∥BF且ED=BF,
所以四边形BFDE是平行四边形,
所以BE=FD,BE∥FD,
故=.
10.(14分) 如图,以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中,有多少种大小不同的模 有多少种不同的方向
下面对方向分析,正方形的边对应的向量共有4种方向;边长为1的正方形的对角线对应的向量共有4种方向;1×2的矩形的对角线对应的向量共4种方向;1×3的矩形的对角线对应的向量共有4种方向.所以共有16种方向.
11.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　)
[A] 12个 [B] 18个
[C] 24个 [D] 36个
12.(5分) 如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中,相等向量有　　　　对.
因为MN∥AB,所以=,=,
所以=,所以OM=ON.
又M,O,N三点共线,
所以=,=,故相等向量有2对.
13.(17分)设O是正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
(1)分别找出与,相等的向量;
(2)找出与 共线的向量;
(3)找出与模相等的向量;
(4)向量与是否相等
(2)与共线的向量有,,.
(3)与模相等的向量有,,,,,,.
(4)向量与不相等,因为它们的方向不相同.

展开更多......

收起↑