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6.2　平面向量的
运算
6.2.1　向量的
加法运算
1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求 的运算,叫做向量的加法.
两个向量和
2.向量求和的法则
三角形
0+a
平行四边形
·疑难解惑·
|a+b|与|a|,|b|之间的关系
(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b不同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
知识点二　向量加法的运算律
交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
·温馨提示·
向量加法运算律的意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
基础自测
C
2.下列等式不正确的是(　　)
B
[A] ②③ [B] ②
[C] ① [D] ③
B
与水流方向成60°
8
关键能力·素养培优
题型一　求作向量的和
[例1] 如图,按下列要求作答.
(1)以A为起点,作出a+b;
【解】 (1)将a,b的起点同时平移到A点,利用平行四边形法则作出a+b,如图①所示.
(2)以B为起点,作出c+d+e;
【解】 (2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再平移向量e与之首尾相接,利用三角形法则即可作出c+d+e,如图②所示.
(3)若图表中小正方形边长为1,求|a+b|,|c+d|.
·解题策略·
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
向量加法法则 区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接; (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边 形法则 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和 [变式训练] 如图所示,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
题型二　向量加法运算律的应用
[例2] (人教B版必修第二册P145例2)化简下列各式:
·解题策略·
向量加法运算律的应用原则
通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[变式训练] 如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.则
题型三　向量加法的实际应用
[例3] 一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地,求此时直升机与A地的相对位置.
·解题策略·
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题.
(3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.
[变式训练] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=
150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计)
感谢观看6.2.1　向量的加法运算
【课程标准要求】　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
项目 内容 物理 模型
三角形 法则 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=. 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a 位移 的 合成
平行 四边形 法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 力的 合成
|a+b|与|a|,|b|之间的关系
(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b不同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
知识点二　向量加法的运算律
交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
向量加法运算律的意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
基础自测
1.化简++等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 根据平面向量的加法运算,得++=(+)+=+=.故选C.
2.下列等式不正确的是(　　)
①a+(b+c)=(a+c)+b;
②+=0;
③=++.
[A] ②③ [B] ②
[C] ① [D] ③
【答案】 B
【解析】 ②错误,+=0,①③正确.故选B.
3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 +++=+++=++=+=.故选B.
4.(人教A版必修第二册P10练习T5改编)某人在静水中游泳,速度的大小为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸,水的流速为4 km/h,则此人实际沿　　　　　　　的方向前进,速度的大小为　　　　km/h.
【答案】 与水流方向成60°　8　
【解析】将此人的游泳速度v2与水的流速v1平移至共同起点,作出其和速度v,由此人的游泳速度的大小为4 km/h,水的流速的大小为4 km/h,可得此人实际速度的大小为=8(km/h),且与水流方向成60°.
题型一　求作向量的和
[例1] 如图,按下列要求作答.
(1)以A为起点,作出a+b;
(2)以B为起点,作出c+d+e;
(3)若图表中小正方形边长为1,求|a+b|,|c+d|.
【解】 (1)将a,b的起点同时平移到A点,利用平行四边形法则作出a+b,如图①所示.
(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再平移向量e与之首尾相接,利用三角形法则即可作出c+d+e,如图②所示.
(3)由a是单位向量可知|a|=1,根据作出的向量利用勾股定理可知,
|a+b|==;
由共线向量的加法运算可知|c+d|=|-c|=|c|=1.
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
向量加 法法则 区别 联系
三角形 法则 (1)首尾相接; (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边 形法则 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和
[变式训练] 如图所示,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
【解】 法一(三角形法则)
如图①,在平面内作=a,=b,则=a+b;再作=c,则=a+b+c.
法二(平行四边形法则)
如图②,在平面内作=a,=b,以OA与OB为邻边作平行四边形OADB,则=a+b;再作=c,以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC,则=a+b+c.
题型二　向量加法运算律的应用
[例2] (人教B版必修第二册P145例2)化简下列各式:
(1)++;
(2)++++.
【解】 (1)++=(+)+=+=.
(2)++++
=++(++)
=++
=(+)+
=+==0.
向量加法运算律的应用原则
通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[变式训练] 如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.则
(1)+=　　　 　;
(2)++=　 ;
(3)++=　　　 　.
【答案】 (1)　(2)　(3)(各题答案不唯一)
【解析】 (1)+=+=.
(2)++=+=+=.
(3)++=++=.
题型三　向量加法的实际应用
[例3] 一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地,求此时直升机与A地的相对位置.
【解】如图所示,设,分别是直升机的位移,则表示两次位移的合位移,即=+.
在Rt△ABD中,
||=20 km,
||=20 km.
在Rt△ACD中,
||==40 km,
∠CAD=60°,即此时直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km处.
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题.
(3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.
[变式训练] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计)
【解】如图所示,设,分别表示A,B所受的力,10 N的重力用表示,则+=.
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,
∠FCG=180°-120°=60°.
∠FCE=∠ACB=360°-150°-120°=90°,
则∠CFG=∠CEG=90°,
所以||=||cos 30°=10×=5(N),
||=||cos 60°=10×=5(N).
所以A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在矩形ABCD中,等于(　　)
[A] + [B] +
[C] + [D] +
【答案】 D
【解析】 由题设,+=,+=+=,+=+=,+=,故A,B,C错误,D正确.故选D.
2.++++等于(　　)
[A] [B] 0 [C] [D]
【答案】 B
【解析】 ++++=(++)+(+)=0+0=0.故选B.
3.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　)
[A] 向东北方向航行2 km
[B] 向北偏东30°方向航行2 km
[C] 向北偏东60°方向航行2 km
[D] 向东北方向航行(1+) km
【答案】 B
【解析】 如图,易知tan α=,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2.故选B.
4.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 如图,以OP,OQ为邻边作平行四边形,可知OF为所作平行四边形的对角线,
故由平行四边形法则可知OF对应的向量即所求向量.故选B.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　)
[A] 正三角形 [B] 锐角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 等腰直角三角形
【答案】 D
【解析】如图,a+b=+=;
所以||=||=1,||=;
所以||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
故选D.
6.(多选题)下列说法错误的是(　　)
[A] 如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同
[B] 在△ABC中,必有++=0
[C] 若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点
[D] 若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|
【答案】 ACD
【解析】 A错误,若a+b=0,则a+b的方向是任意的;B正确;C错误,当A,B,C三点共线时,也满足++=0;D错误,|a+b|≤|a|+|b|.故选ACD.
7.(5分)如图所示,若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB=　　　　.
【答案】 120°
【解析】 由+=,得四边形ACBP是平行四边形,又P是外心,所以四边形ACBP为菱形,且|PA|=|PC|=|AC|,所以∠ACP=60°,所以∠ACB=120°.
8.(5分)如图所示,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力的大小为|F1|=
24 N,绳BO与墙壁垂直,所受拉力的大小为|F2|=12 N.则F1和F2的合力大小为　 　 N.
【答案】 12　
【解析】如图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F1+F2=.
在△OCA中,||=24,||=12,∠OAC=60°,
所以∠OCA=90°,
所以||=12.
所以F1与F2的合力大小为12 N,方向为与F2成90°角,竖直向上.
9.(13分)设O是等边三角形ABC的中心,求++.
【解】设s=++,
如图所示,将等边三角形绕点O逆时针旋转120°,使顶点A,B,C分别转到点B,C,A的位置,则s跟着旋转120°,变成了++.
由向量加法的交换律可知,向量s旋转120°之后仍是其自身.
由于只有零向量在旋转120°后仍是其自身,于是++=0.
10.(14分)如图所示,=a,=b,=c,=d,=e,=f.
求:(1)a+d;(2)c+b;(3)e+c+b;(4)c+f+b.
【解】 (1)a+d=d+a=+=.
(2)c+b=+=.
(3)e+c+b=e+(c+b)=e+=+=.
(4)c+f+b=c+b+f=++=.
11.设|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 C
【解析】 因为|a+e|≤|a|+|e|,|a|=2,e为单位向量,所以|a+e|≤3.当且仅当a,e同向时,取到等号.故选C.
12.(5分)已知||=3,||=3,∠AOB=60°,则|+|=　　　　　　.
【答案】 3　
【解析】如图,作AC∥OB,BC∥OA,AC与BC交于点C,由||=||=3,可知四边形OACB为菱形.连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
因为∠AOB=60°,所以||=||=3,
所以在Rt△BDC中,||=.
所以|+|=||=×2=3.
13.(17分)已知A,B,C,D,E是平面上任意五个点,求证:=+++.这个结果可以推广到更多点的情况吗
【解】 由题意可得+++=++=+=.
可以推广,推广可得对于平面上任意n∈N*个点A1,A2,A3,A4,…,An,
均有=+++…+.
证明如下:
+++…+
=++…+
=+…+=…
=+=.6.2.1　向量的加法运算
【课程标准要求】　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
项目 内容 物理 模型
三角形 法则 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=. 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a 位移 的 合成
平行 四边形 法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 力的 合成
|a+b|与|a|,|b|之间的关系
(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b不同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
知识点二　向量加法的运算律
交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
向量加法运算律的意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
基础自测
1.化简++等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.下列等式不正确的是(　　)
①a+(b+c)=(a+c)+b;
②+=0;
③=++.
[A] ②③ [B] ②
[C] ① [D] ③
3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.(人教A版必修第二册P10练习T5改编)某人在静水中游泳,速度的大小为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸,水的流速为4 km/h,则此人实际沿　　　　　　　的方向前进,速度的大小为　　　　km/h.
题型一　求作向量的和
[例1] 如图,按下列要求作答.
(1)以A为起点,作出a+b;
(2)以B为起点,作出c+d+e;
(3)若图表中小正方形边长为1,求|a+b|,|c+d|.
(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再平移向量e与之首尾相接,利用三角形法则即可作出c+d+e,如图②所示.
(3)由a是单位向量可知|a|=1,根据作出的向量利用勾股定理可知,
|a+b|==;
由共线向量的加法运算可知|c+d|=|-c|=|c|=1.
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
向量加 法法则 区别 联系
三角形 法则 (1)首尾相接; (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边 形法则 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和
[变式训练] 如图所示,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
如图①,在平面内作=a,=b,则=a+b;再作=c,则=a+b+c.
法二(平行四边形法则)
如图②,在平面内作=a,=b,以OA与OB为邻边作平行四边形OADB,则=a+b;再作=c,以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC,则=a+b+c.
题型二　向量加法运算律的应用
[例2] (人教B版必修第二册P145例2)化简下列各式:
(1)++;
(2)++++.
(2)++++
=++(++)
=++
=(+)+
=+==0.
向量加法运算律的应用原则
通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[变式训练] 如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.则
(1)+=　　　 　;
(2)++=　 ;
(3)++=　　　 　.
(2)++=+=+=.
(3)++=++=.
题型三　向量加法的实际应用
[例3] 一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地,求此时直升机与A地的相对位置.
在Rt△ABD中,
||=20 km,
||=20 km.
在Rt△ACD中,
||==40 km,
∠CAD=60°,即此时直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km处.
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题.
(3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.
[变式训练] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计)
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,
∠FCG=180°-120°=60°.
∠FCE=∠ACB=360°-150°-120°=90°,
则∠CFG=∠CEG=90°,
所以||=||cos 30°=10×=5(N),
||=||cos 60°=10×=5(N).
所以A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在矩形ABCD中,等于(　　)
[A] + [B] +
[C] + [D] +
2.++++等于(　　)
[A] [B] 0 [C] [D]
3.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　)
[A] 向东北方向航行2 km
[B] 向北偏东30°方向航行2 km
[C] 向北偏东60°方向航行2 km
[D] 向东北方向航行(1+) km
又|a+b|=2.故选B.
4.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
故由平行四边形法则可知OF对应的向量即所求向量.故选B.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　)
[A] 正三角形 [B] 锐角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 等腰直角三角形
所以||=||=1,||=;
所以||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
故选D.
6.(多选题)下列说法错误的是(　　)
[A] 如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同
[B] 在△ABC中,必有++=0
[C] 若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点
[D] 若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|
7.(5分)如图所示,若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB=　　　　.
8.(5分)如图所示,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力的大小为|F1|=
24 N,绳BO与墙壁垂直,所受拉力的大小为|F2|=12 N.则F1和F2的合力大小为　 　 N.
在△OCA中,||=24,||=12,∠OAC=60°,
所以∠OCA=90°,
所以||=12.
所以F1与F2的合力大小为12 N,方向为与F2成90°角,竖直向上.
9.(13分)设O是等边三角形ABC的中心,求++.
如图所示,将等边三角形绕点O逆时针旋转120°,使顶点A,B,C分别转到点B,C,A的位置,则s跟着旋转120°,变成了++.
由向量加法的交换律可知,向量s旋转120°之后仍是其自身.
由于只有零向量在旋转120°后仍是其自身,于是++=0.
10.(14分)如图所示,=a,=b,=c,=d,=e,=f.
求:(1)a+d;(2)c+b;(3)e+c+b;(4)c+f+b.
(2)c+b=+=.
(3)e+c+b=e+(c+b)=e+=+=.
(4)c+f+b=c+b+f=++=.
11.设|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
12.(5分)已知||=3,||=3,∠AOB=60°,则|+|=　　　　　　.
因为∠AOB=60°,所以||=||=3,
所以在Rt△BDC中,||=.
所以|+|=||=×2=3.
13.(17分)已知A,B,C,D,E是平面上任意五个点,求证:=+++.这个结果可以推广到更多点的情况吗
可以推广,推广可得对于平面上任意n∈N*个点A1,A2,A3,A4,…,An,
均有=+++…+.
证明如下:
+++…+
=++…+
=+…+=…
=+=.

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