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6.2.2　向量的
减法运算
1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　相反向量
1.定义
与向量a长度 ,方向 的向量,叫做a的 向量,记作 .
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是 .
(2)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a= .
(3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b= .
相等
相反
相反
-a
零向量
0
0
·疑难解惑·
对相反向量的理解
相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
相反
知识点二　向量的减法
1.定义
向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),因此,减去一个向量相当于加上这个向量的 向量,求两个向量 的运算叫做向量的减法.
差
2.几何意义
3.文字叙述
如果把两个向量的 放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为 ,被减向量的终点为 的向量.
起点
起点
终点
·温馨提示·
用三角形法则作向量减法的注意事项
(1)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(2)在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
基础自测
D
A
[A] a-b+c
[B] b-(a+c)
[C] a+b+c
[D] b-a+c
[A] 平行四边形 [B] 菱形
[C] 矩形 [D] 正方形
A
2
关键能力·素养培优
题型一　向量减法及其几何意义
·解题策略·
向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.
[变式训练] 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c.
题型二　向量加减法的混合运算
A
·解题策略·
(1)向量减法运算的常用方法
·解题策略·
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用.
a+c-b
题型三　向量加减法的综合应用
[A] 8 [B] 4 [C] 2 [D] 1
C
·解题策略·
(1)重要思想与方法
在应用三角形法则进行向量的减法运算时,应用数形结合的思想方法.
(2)易错易混点提醒
在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
[2,16]
感谢观看6.2.2　向量的减法运算
【课程标准要求】　1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
知识点一　相反向量
1.定义
与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
对相反向量的理解
相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
知识点二　向量的减法
1.定义
向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),因此,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.几何意义
在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,如图所示.
3.文字叙述
如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
用三角形法则作向量减法的注意事项
(1)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(2)在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
基础自测
1.(人教A版必修第二册P13练习T2改编)化简--等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 --=-=.故选D.
2.四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a-b+c
[B] b-(a+c)
[C] a+b+c
[D] b-a+c
【答案】 A
【解析】 由三角形法则可得=+=++=a-b+c.故选A.
3.已知在四边形ABCD中,-=-,则四边形ABCD一定是(　　)
[A] 平行四边形 [B] 菱形
[C] 矩形 [D] 正方形
【答案】 A
【解析】 由-=-,可得=,所以四边形ABCD一定是平行四边形.故选A.
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=　　　　.
【答案】 2　
【解析】 |-+|=|++|=||=2.
题型一　向量减法及其几何意义
[例1] 如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
【解】法一　以,为邻边作 OBDC,连接OD,AD,
则=+=b+c,
=-=b+c-a.
法二　作==b,
连接AD,
则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.
[变式训练] 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c.
【解】 如图,作=a,=b,则即为a-b,再作=c,则向量即为a-b-c.
题型二　向量加减法的混合运算
[例2] (1) 如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+-- 的结果为(　　)
[A] 0 [B] [C] [D]
(2)化简:(-)+(-)=　 .
【答案】 (1)A　(2)
【解析】 (1)+--=(-)+(-)=+=-=0.故选A.
(2)原式=+(+)-=+-=.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用.
[变式训练] 如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则 =　 .
【答案】 a+c-b　
【解析】 由已知=,则=+=+=+-=a+c-b.
题型三　向量加减法的综合应用
[例3] 设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||=4,|+|=|-|,则|| 等于(　　)
[A] 8 [B] 4 [C] 2 [D] 1
【答案】 C
【解析】 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-.因为|+|=|-|,所以||=||.
又四边形ACDB为平行四边形,所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,||=||=2.故选C.
(1)重要思想与方法
在应用三角形法则进行向量的减法运算时,应用数形结合的思想方法.
(2)易错易混点提醒
在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
[变式训练] 已知||=7,||=9,则|-|的取值范围为　　　 　.
【答案】 [2,16]　
【解析】 因为|||-|||≤|-|≤||+||,
且||=9,
||=7,
所以2≤|-|≤16.
所以|-|的取值范围为[2,16].
(分值:95分)
单选每题5分.
1.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是(　　)
[A] a=b [B] a+b为实数0
[C] a与b方向相同 [D] |a|=3
【答案】 D
【解析】 向量a,b互为相反向量,且|b|=3,则a,b的模相等、方向相反,所以a=-b,故A错误;a+b=0,故B错误;a与b方向相反,故C错误;|a|=|b|=3,故D正确.故选D.
2.已知非零向量a与b同向,则a-b(　　)
[A] 必与a同向
[B] 必与b同向
[C] 可能与a同向、反向,也可能是0
[D] 不可能与b同向
【答案】 C
【解析】 向量a与b同向,当|a|>|b|时,a-b与a同向;当|a|<|b|时,a-b与a反向;当|a|=|b|时,a-b=0.故选C.
3.下列表达式化简结果与相等的是(　　)
[A] + [B] +
[C] +- [D] +
【答案】 B
【解析】 对于A,+=,不满足题意;
对于B,+=,满足题意;
对于C,+-=-=+=,不满足题意;
对于D,+不确定是否等于.
故选B.
4.在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是(　　)
[A] 菱形 [B] 矩形
[C] 正方形 [D] 不确定
【答案】 B
【解析】 因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为|-|=|-|,
即||=||,
所以平行四边形ABCD是矩形.故选B.
5.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子正确的是(　　)
[A] +=+
[B] +=+
[C] +=+
[D] +=+
【答案】 B
【解析】 因为=-,=-,所以-=-,所以+=+.
故选B.
6.已知向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,则|b|的取值范围为(　　)
[A] (,) [B] [,1]
[C] [,] [D] [,]
【答案】 D
【解析】 因为b=a-(a-b),可知|b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|=,当且仅当a,a-b反向时,等号成立;|b|=|a-(a-b)|≥||a|-|a-b||=,当且仅当a,a-b同向时,等号成立.所以|b|的取值范围为.故选D.
7.(5分)下列四个等式:①a+b=b+a;②-(-a)=a;③++=0;④a+(-a)=0.
其中正确的是　　　 　.(填序号)
【答案】 ①②③④　
【解析】 由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的,③符合向量的加法法则,也正确.
8.(5分)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=　　　 　.
【答案】 30°　
【解析】构造如图所示的平行四边形,令=a,=a+b,则=b,=a-b.由|a|=|b|=|a-b|,得△AOC为正三角形,故∠COA=60°,则平行四边形OABC为菱形,故OB平分∠COA,则∠AOB=30°.
9.(13分) 如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.
【解】 作向量=a,向量=b,则向量=a-b.如图所示.作向量=a,则=a-b+a.
10.(15分)如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“马”,开始下棋时,它位于点A,这只“马”第一步有几种可能的走法 试在图中画出来.它能否从点A走到与它相邻的点B 它能否从任一交叉点出发,走到棋盘上的其他任何一个交叉点
【解】若开始时位于A点,由“马”走“日”,可知它的第一步有3种可能的走法(点C,D,E).它能从A走到与它相邻的点B.如A→C→F→B(不唯一).它能走到棋盘上的其他任何一个交叉点.
11.P为四边形ABCD所在平面上一点,+++=+,则P为(　　)
[A] 四边形ABCD的对角线交点
[B] AC的中点
[C] BD的中点
[D] CD边上一点
【答案】 B
【解析】 因为=+,=+,所以+++=+++,即+=0,故P为AC的中点.故选B.
12.(5分)如图,在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,则|a-b-c|=　　　　.
【答案】 8　
【解析】延长AB,使得直线AB上一点B′满足AB=BB′,同理延长AD,使得直线AD上一点D′满足AD=DD′,如图所示,则b+c=,a-b-c=a-(b+c)=a-=-=,
则|a-b-c|=||==8.
13. (17分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 说明理由.
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
【解】(1)由条件知||=|++|=||,即AB=AD,
又四边形ABCD是平行四边形,故四边形ABCD是菱形.
(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知=.
所以--=--=-(+)=-=.
作出向量如图所示.6.2.2　向量的减法运算
【课程标准要求】　1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
知识点一　相反向量
1.定义
与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
对相反向量的理解
相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
知识点二　向量的减法
1.定义
向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),因此,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.几何意义
在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,如图所示.
3.文字叙述
如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
用三角形法则作向量减法的注意事项
(1)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(2)在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
基础自测
1.(人教A版必修第二册P13练习T2改编)化简--等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a-b+c
[B] b-(a+c)
[C] a+b+c
[D] b-a+c
3.已知在四边形ABCD中,-=-,则四边形ABCD一定是(　　)
[A] 平行四边形 [B] 菱形
[C] 矩形 [D] 正方形
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=　　　　.
题型一　向量减法及其几何意义
[例1] 如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
则=+=b+c,
=-=b+c-a.
法二　作==b,
连接AD,
则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.
[变式训练] 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c.
题型二　向量加减法的混合运算
[例2] (1) 如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+-- 的结果为(　　)
[A] 0 [B] [C] [D]
(2)化简:(-)+(-)=　 .
(2)原式=+(+)-=+-=.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用.
[变式训练] 如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则 =　 .
题型三　向量加减法的综合应用
[例3] 设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||=4,|+|=|-|,则|| 等于(　　)
[A] 8 [B] 4 [C] 2 [D] 1
又四边形ACDB为平行四边形,所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,||=||=2.故选C.
(1)重要思想与方法
在应用三角形法则进行向量的减法运算时,应用数形结合的思想方法.
(2)易错易混点提醒
在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
[变式训练] 已知||=7,||=9,则|-|的取值范围为　　　 　.
且||=9,
||=7,
所以2≤|-|≤16.
所以|-|的取值范围为[2,16].
(分值:95分)
单选每题5分.
1.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是(　　)
[A] a=b [B] a+b为实数0
[C] a与b方向相同 [D] |a|=3
2.已知非零向量a与b同向,则a-b(　　)
[A] 必与a同向
[B] 必与b同向
[C] 可能与a同向、反向,也可能是0
[D] 不可能与b同向
3.下列表达式化简结果与相等的是(　　)
[A] + [B] +
[C] +- [D] +
对于B,+=,满足题意;
对于C,+-=-=+=,不满足题意;
对于D,+不确定是否等于.
故选B.
4.在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是(　　)
[A] 菱形 [B] 矩形
[C] 正方形 [D] 不确定
即||=||,
所以平行四边形ABCD是矩形.故选B.
5.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子正确的是(　　)
[A] +=+
[B] +=+
[C] +=+
[D] +=+
故选B.
6.已知向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,则|b|的取值范围为(　　)
[A] (,) [B] [,1]
[C] [,] [D] [,]
7.(5分)下列四个等式:①a+b=b+a;②-(-a)=a;③++=0;④a+(-a)=0.
其中正确的是　　　 　.(填序号)
8.(5分)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=　　　 　.
9.(13分) 如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.
10.(15分)如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“马”,开始下棋时,它位于点A,这只“马”第一步有几种可能的走法 试在图中画出来.它能否从点A走到与它相邻的点B 它能否从任一交叉点出发,走到棋盘上的其他任何一个交叉点
11.P为四边形ABCD所在平面上一点,+++=+,则P为(　　)
[A] 四边形ABCD的对角线交点
[B] AC的中点
[C] BD的中点
[D] CD边上一点
12.(5分)如图,在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,则|a-b-c|=　　　　.
则|a-b-c|=||==8.
13. (17分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 说明理由.
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
又四边形ABCD是平行四边形,故四边形ABCD是菱形.
(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知=.
所以--=--=-(+)=-=.
作出向量如图所示.

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