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6.2.3　向量的
数乘运算
1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义,提升数学抽象、直观想象的核心素养.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算,提升数学运算的核心素养.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　向量数乘的定义
一般地,规定实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫做 ,记作λa,其长度与方向规定如下:
(1)|λa|= .
向量
向量的数乘
|λ||a|
λ＞0
λ＜0
特别地,当λ=0时,λa= .
当λ=-1时,(-1)a=-a.
0
·疑难解惑·
(1)向量的数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小.
(2)当λ=0或a=0时,λa=0,注意是0,而不是0;若λa=0,则λ=0或a=0.
知识点二　向量数乘的运算律
1.运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)= ;
(2)(λ+μ)a= ;
(3)λ(a+b)= .
特别地,(-λ)a=-(λa)= ,λ(a-b)= .
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
λ(-a)
λa-λb
2.向量的线性运算
向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= .
加
减
数乘
λμ1a±λμ2b
·温馨提示·
实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算.
知识点三　向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 .
b=λa
·疑难解惑·
对向量共线定理的理解
向量共线定理中规定a≠0,因为如果a=0,当b=0时,0=λ0,λ可以是任意实数;当b≠0时,b=λ0,λ值不存在.
基础自测
C
1.下列运算正确的个数是(　　)
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【解析】 根据向量的数乘运算规律和加减运算规律知①②正确;③(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.故选C.
C
A
10a
4.(人教A版必修第二册P16练习T2改编)化简4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【解析】 4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
关键能力·素养培优
题型一　向量的线性运算
[例1] (1)若a=2b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于(　　)
[A] -a [B] -b
[C] -c [D] 以上都不对
C
【解析】 (1)因为a=2b+c,
所以3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)
=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c
=2b+c-2b-2c=-c.故选C.
·解题策略·
向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.
[变式训练] 计算:
(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
【解】 (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c
=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c
=6a+4b.
题型二　用已知向量表示其他向量
·解题策略·
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
·解题策略·
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
C
题型三　向量共线定理
[例3] 已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于(　　)
[A] a [B] b
[C] c [D] 0
D
【解析】 因为a+b与c共线,所以存在实数λ1,使得a+b=λ1c.①
又b+c与a共线,所以存在实数λ2,使得b+c=λ2a.②
由①得,b=λ1c-a.
所以b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
·解题策略·
利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
[变式训练] 设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2
(λ∈R)共线,则λ的值为　　　　.
培优拓展1　三点共线问题
三点共线定理
(1)如图①,若A,B,C三点共线,则x+y=1;
(2)如图②,若点O和点C在AB同侧,则x+y<1;
(3)如图③,若点O和点C在AB异侧,则x+y>1.
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
B
[跟踪训练] 如图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的是(　　)
[A] ①② [B] ①②④
[C] ①②③ [D] ③④
A
感谢观看6.2.3　向量的数乘运算
【课程标准要求】　1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义,提升数学抽象、直观想象的核心素养.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算,提升数学运算的核心素养.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.
知识点一　向量数乘的定义
　一般地,规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的方向
特别地,当λ=0时,λa=0.
当λ=-1时,(-1)a=-a.
(1)向量的数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小.
(2)当λ=0或a=0时,λa=0,注意是0,而不是0;若λa=0,则λ=0或a=0.
(3)当a≠0时,向量是与向量a同向的单位向量.
知识点二　向量数乘的运算律
1.运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算.
知识点三　向量共线定理
　向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
对向量共线定理的理解
向量共线定理中规定a≠0,因为如果a=0,当b=0时,0=λ0,λ可以是任意实数;当b≠0时,b=λ0,λ值不存在.
基础自测
1.下列运算正确的个数是(　　)
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
2.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则等于(　　)
[A] (a-b) [B] -(a-b)
[C] (a+b) [D] -(a+b)
3.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则2+3+3+2等于(　　)
[A] [B] [C] [D] 5
2+3+3+2=2(+++)++=+=+=.故选A.
4.(人教A版必修第二册P16练习T2改编)化简
4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
题型一　向量的线性运算
[例1] (1)若a=2b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于(　　)
[A] -a [B] -b
[C] -c [D] 以上都不对
(2)若2(y-a)-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　 .
所以3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)
=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c
=2b+c-2b-2c=-c.故选C.
(2)因为2(y-a)-(c+b-3y)+b
=2y-a-c-b+y+b
=3y-a+b-c=0,
所以3y=a-b+c,
所以y=a-b+c.
向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.
[变式训练] 计算:
(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
(2)[(2a+8b)-(4a-2b)].
=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c
=6a+4b.
(2)原式=(a+4b-4a+2b)
=(-3a+6b)=2b-a.
题型二　用已知向量表示其他向量
[例2] 如图,△ABC中,AB边的中点为P,重心为G.在△ABC外任取一点O,作向量,,,,.
(1)试用 ,表示 ;
(2)试用 ,,表示 .
法一　=+=+
=+(-)
=+-
=+.
法二　由=+=+得
2=(+)+(+)
=++(+)
=++0.
所以=(+).
(2)=+
=+
=+(-)
=+-
=+
=(+)+
=++.
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
[变式训练] 已知平行四边形ABCD中,M,N,P分别是AB,AD,CD的中点,若=a,=b,则+等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a [D] b
所以=+=a+b,=-=a-b,所以+=a+b+a-b=a.故选C.
题型三　向量共线定理
[例3] 已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于(　　)
[A] a [B] b
[C] c [D] 0
又b+c与a共线,所以存在实数λ2,使得b+c=λ2a.②
由①得,b=λ1c-a.
所以b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
所以即
所以a+b+c=-c+c=0.故选D.
利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
[变式训练] 设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,则λ的值为　　　　.
即e1+λe2=μ(2e1-e2)=2μe1-μe2,
所以(2μ-1)e1=(λ+μ)e2.
又e1与e2不共线,所以
解得λ=-.
培优拓展1　三点共线问题
　三点共线定理
若=x+y,
(1)如图①,若A,B,C三点共线,则x+y=1;
(2)如图②,若点O和点C在AB同侧,则x+y<1;
(3)如图③,若点O和点C在AB异侧,则x+y>1.
[典例] 如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
[跟踪训练] 如图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的是(　　)
①+2;②+;③+;④+.
[A] ①② [B] ①②④
[C] ①②③ [D] ③④
则有=λ=λ[x+(1-x)]=λx+(1-x)λ,其中01.
因为λx+(1-x)λ=λ>1,
所以①1+2=3>1,满足条件;
②+=>1,满足条件;
③+=<1,不满足条件;
④+=<1,不满足条件.故选A.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则(　　)
[A] |a|=|b| [B] 4|a|=|b|
[C] a与b的方向相同 [D] a与b的方向相反
故选C.
2.(a+2b-3c)-3(a-2b-c)等于(　　)
[A] -a-4c [B] -a+4b-2c
[C] -a+7b+c [D] -a+5b-c
3.△OAB中,点P在边AB上,=3,设=a,=b,则等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a-b [D] a-b
故选B.
4.已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足=2-2,则等于(　　)
[A] [B] [C] 2 [D] 3
5.已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为(　　)
[A] 5 [B] 4 [C] 3 [D] 2
6.已知两个非零向量e1,e2不共线,且=e1+2e2,=2e1+7e2,=3(e1+e2),则(　　)
[A] A,C,D三点共线 [B] A,B,C三点共线
[C] B,C,D三点共线 [D] A,B,D三点共线
7.(5分)设a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则t=　　　　.
所以存在实数λ,使得b-ta=λ(a-b)=a-b,
又a,b是两个不共线的向量,
所以解得t=.
8.(5分)已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状为　　　　　　　　.
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5b-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
所以=2.
所以与共线,且||=2||.
又这两个向量所在的直线不重合,
所以AD∥BC,且AD=2BC.
所以四边形ABCD是以AD,BC为底边的梯形.
9.(13分)化简下列各式:
(1)3(6a+b)-9(a+b);
(2)[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
(2)原式=(2a+b)-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a
=b-c.
10.(15分)已知M,N分别是线段AB和CD的中点,求证:=(+).
所以=++
=-+-,　①
=++
=++,　②
①+②得2=+,
即=(+).
11.已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若=x+y(x,y∈R),则x+y等于(　　)
[A] [B] [C] 2 [D]
即=x+y,
因为M,O,N三点共线,可得x+y=1,
所以x+y=.故选A.
12.(5分)如图,设△ABC的重心为M,O为平面上任一点,=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=　　 　　.
因为M是△ABC的重心,
所以D是BC的中点,且AM=AD,
所以==(+)
=+
=+()
=+
=(-)+(-)
=(b-a)+(c-b)
=-a+b+c.
所以=+
=a+(-a+b+c)
=(a+b+c).
13.(17分)如图,在△OBC中,A是BC的中点,D是OB上靠近点B的一个三等分点,DC和OA交于点E.设=a,=b.
(1)用向量a,b表示,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
所以=+,
即a=+b,
整理得=2a-b,
可得=-=-=2a-b-b=2a-b,
故=2a-b,=2a-b.
(2)由题意可得=λ=λa,
因为C,D,E三点共线,
所以=m+n,且m+n=1,
则=m+n
=m(2a-b)+n·b
=2ma+(n-m)b=λa,
可得解得
故λ=.6.2.3　向量的数乘运算
【课程标准要求】　1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义,提升数学抽象、直观想象的核心素养.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算,提升数学运算的核心素养.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.
知识点一　向量数乘的定义
　一般地,规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的方向
特别地,当λ=0时,λa=0.
当λ=-1时,(-1)a=-a.
(1)向量的数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小.
(2)当λ=0或a=0时,λa=0,注意是0,而不是0;若λa=0,则λ=0或a=0.
(3)当a≠0时,向量是与向量a同向的单位向量.
知识点二　向量数乘的运算律
1.运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算.
知识点三　向量共线定理
　向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
对向量共线定理的理解
向量共线定理中规定a≠0,因为如果a=0,当b=0时,0=λ0,λ可以是任意实数;当b≠0时,b=λ0,λ值不存在.
基础自测
1.下列运算正确的个数是(　　)
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 根据向量的数乘运算规律和加减运算规律知①②正确;③(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.故选C.
2.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则等于(　　)
[A] (a-b) [B] -(a-b)
[C] (a+b) [D] -(a+b)
【答案】 C
【解析】 因为M是BC的中点,所以=(a+b).故选C.
3.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则2+3+3+2等于(　　)
[A] [B] [C] [D] 5
【答案】 A
【解析】 如图所示,
2+3+3+2=2(+++)++=+=+=.故选A.
4.(人教A版必修第二册P16练习T2改编)化简
4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【答案】 10a
【解析】 4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
题型一　向量的线性运算
[例1] (1)若a=2b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于(　　)
[A] -a [B] -b
[C] -c [D] 以上都不对
(2)若2(y-a)-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　 .
【答案】 (1)C　(2)a-b+c
【解析】 (1)因为a=2b+c,
所以3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)
=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c
=2b+c-2b-2c=-c.故选C.
(2)因为2(y-a)-(c+b-3y)+b
=2y-a-c-b+y+b
=3y-a+b-c=0,
所以3y=a-b+c,
所以y=a-b+c.
向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.
[变式训练] 计算:
(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
(2)[(2a+8b)-(4a-2b)].
【解】 (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c
=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c
=6a+4b.
(2)原式=(a+4b-4a+2b)
=(-3a+6b)=2b-a.
题型二　用已知向量表示其他向量
[例2] 如图,△ABC中,AB边的中点为P,重心为G.在△ABC外任取一点O,作向量,,,,.
(1)试用 ,表示 ;
(2)试用 ,,表示 .
【解】 (1)由题意得,==.
法一　=+=+
=+(-)
=+-
=+.
法二　由=+=+得
2=(+)+(+)
=++(+)
=++0.
所以=(+).
(2)=+
=+
=+(-)
=+-
=+
=(+)+
=++.
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
[变式训练] 已知平行四边形ABCD中,M,N,P分别是AB,AD,CD的中点,若=a,=b,则+等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a [D] b
【答案】 C
【解析】 因为在平行四边形ABCD中,M,N,P分别是AB,AD,CD的中点,且=a,=b,
所以=+=a+b,=-=a-b,所以+=a+b+a-b=a.故选C.
题型三　向量共线定理
[例3] 已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于(　　)
[A] a [B] b
[C] c [D] 0
【答案】 D
【解析】 因为a+b与c共线,所以存在实数λ1,使得a+b=λ1c.①
又b+c与a共线,所以存在实数λ2,使得b+c=λ2a.②
由①得,b=λ1c-a.
所以b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
所以即
所以a+b+c=-c+c=0.故选D.
利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
[变式训练] 设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,则λ的值为　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为向量a与向量b共线,所以存在唯一实数μ,使b=μa成立.
即e1+λe2=μ(2e1-e2)=2μe1-μe2,
所以(2μ-1)e1=(λ+μ)e2.
又e1与e2不共线,所以
解得λ=-.
培优拓展1　三点共线问题
　三点共线定理
若=x+y,
(1)如图①,若A,B,C三点共线,则x+y=1;
(2)如图②,若点O和点C在AB同侧,则x+y<1;
(3)如图③,若点O和点C在AB异侧,则x+y>1.
[典例] 如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 连接AO(图略),因为O是BC的中点,所以=(+).又=m,=n,所以=+.又M,O,N三点共线,所以+=1,则m+n=2.故选B.
[跟踪训练] 如图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的是(　　)
①+2;②+;③+;④+.
[A] ①② [B] ①②④
[C] ①②③ [D] ③④
【答案】 A
【解析】 依题意,在阴影区域内任取点E,连接OE交AB于点F,
则有=λ=λ[x+(1-x)]=λx+(1-x)λ,其中01.
因为λx+(1-x)λ=λ>1,
所以①1+2=3>1,满足条件;
②+=>1,满足条件;
③+=<1,不满足条件;
④+=<1,不满足条件.故选A.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则(　　)
[A] |a|=|b| [B] 4|a|=|b|
[C] a与b的方向相同 [D] a与b的方向相反
【答案】 C
【解析】 非零向量a,b满足a=4b,则a与b的方向相同,且|a|=4|b|,ABD错误,C正确.
故选C.
2.(a+2b-3c)-3(a-2b-c)等于(　　)
[A] -a-4c [B] -a+4b-2c
[C] -a+7b+c [D] -a+5b-c
【答案】 C
【解析】 (a+2b-3c)-3(a-2b-c)=-a+7b+c.故选C.
3.△OAB中,点P在边AB上,=3,设=a,=b,则等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a-b [D] a-b
【答案】 B
【解析】 依题意,=+=+=+(-)=+=a+b.
故选B.
4.已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足=2-2,则等于(　　)
[A] [B] [C] 2 [D] 3
【答案】 D
【解析】 因为=2-2,所以+=2(+)-2,即3=,所以3||=||,所以=3.故选D.
5.已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为(　　)
[A] 5 [B] 4 [C] 3 [D] 2
【答案】 B
【解析】 因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k,即λa+b=k(a+μb),又向量a,b不共线,所以即λμ=1,因为λ>0,μ>0,所以λ+4μ≥2=4,当且仅当λ=4μ时,等号成立.故选B.
6.已知两个非零向量e1,e2不共线,且=e1+2e2,=2e1+7e2,=3(e1+e2),则(　　)
[A] A,C,D三点共线 [B] A,B,C三点共线
[C] B,C,D三点共线 [D] A,B,D三点共线
【答案】 D
【解析】 对于A,因为=+=3e1+9e2=3(e1+3e2),=3(e1+e2),所以不存在实数λ,使得=λ成立,所以A,C,D三点不共线,故A错误;对于B,由A知=3(e1+3e2),又=e1+2e2,所以不存在实数μ,使得=μ成立,所以A,B,C三点不共线,故B错误;对于C,因为=2e1+7e2,=3(e1+e2),所以不存在实数λ1,使得=λ1成立,所以B,C,D三点不共线,故C错误;对于D,因为=e1+2e2,=+=5e1+10e2,所以=,所以A,B,D三点共线,故D正确.故选D.
7.(5分)设a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则t=　　　　.
【答案】
【解析】 因为b-ta与a-b共线,
所以存在实数λ,使得b-ta=λ(a-b)=a-b,
又a,b是两个不共线的向量,
所以解得t=.
8.(5分)已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状为　　　　　　　　.
【答案】 梯形
【解析】 因为=++
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5b-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
所以=2.
所以与共线,且||=2||.
又这两个向量所在的直线不重合,
所以AD∥BC,且AD=2BC.
所以四边形ABCD是以AD,BC为底边的梯形.
9.(13分)化简下列各式:
(1)3(6a+b)-9(a+b);
(2)[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
【解】 (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=(2a+b)-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a
=b-c.
10.(15分)已知M,N分别是线段AB和CD的中点,求证:=(+).
【证明】 因为M,N分别是线段AB和CD的中点,所以==-,==,
所以=++
=-+-,　①
=++
=++,　②
①+②得2=+,
即=(+).
11.已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若=x+y(x,y∈R),则x+y等于(　　)
[A] [B] [C] 2 [D]
【答案】 A
【解析】如图所示,由三角形重心的性质,可得=,所以=,所以=x+y,
即=x+y,
因为M,O,N三点共线,可得x+y=1,
所以x+y=.故选A.
12.(5分)如图,设△ABC的重心为M,O为平面上任一点,=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=　　 　　.
【答案】 (a+b+c)
【解析】 连接AM并延长交BC于D点(图略).
因为M是△ABC的重心,
所以D是BC的中点,且AM=AD,
所以==(+)
=+
=+()
=+
=(-)+(-)
=(b-a)+(c-b)
=-a+b+c.
所以=+
=a+(-a+b+c)
=(a+b+c).
13.(17分)如图,在△OBC中,A是BC的中点,D是OB上靠近点B的一个三等分点,DC和OA交于点E.设=a,=b.
(1)用向量a,b表示,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
【解】 (1)因为点A是BC的中点,
所以=+,
即a=+b,
整理得=2a-b,
可得=-=-=2a-b-b=2a-b,
故=2a-b,=2a-b.
(2)由题意可得=λ=λa,
因为C,D,E三点共线,
所以=m+n,且m+n=1,
则=m+n
=m(2a-b)+n·b
=2ma+(n-m)b=λa,
可得解得
故λ=.

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