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6.2.4　向量的数量积
第1课时　向量的数量积(一)
【课程标准要求】　1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义、性质及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.
知识点一　向量数量积的概念
1.向量的夹角
(1)夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
(2)垂直:如果a与b的夹角是,则称a与b垂直,记作a⊥b.
(1)a与b的夹角常用表示.
(2)当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
2.向量数量积的定义
非零向量a,b的夹角为θ,数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积等于0.
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”.
(2)数量积的结果为数量,不再是向量.
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.
知识点二　投影向量
1.如图①,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
2.如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
3.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,对于任意的θ∈[0,π],都有=
|a|cos θe.
(1)|a|cos θ为向量a在b上的投影的数量.
(2)|b|cos θ为向量b在a上的投影的数量.
(3)投影的数量|a|cos θ(|b|cos θ)是一个值,不是向量.
知识点三　向量数量积的性质
　设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a∥b时,a·b=
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
对性质(4)的理解:
|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立.
基础自测
1.已知向量a与b的夹角为60°,其中|a|=3,|b|=2,则a·b等于(　　)
[A] 6 [B] 5 [C] 3 [D] 2
【答案】 C
【解析】 a·b=|a||b|cos 60°=3×2×=3.故选C.
2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则·等于(　　)
[A] -2 [B] 2 [C] -2 [D] 2
【答案】 A
【解析】 ·=||||cos (180°-∠ABC)=2××cos 135°=-2.故选A.
3.(人教A版必修第二册P20练习T3改编)已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则向量a在b上的投影向量为(　　)
[A] b [B] b
[C] a [D] a
【答案】 A
【解析】 由题意知,|a|=2且向量a与向量b的夹角为,所以向量a在b上的投影为|a|cos=1,又|b|=1,所以向量a在b上的投影向量为b.
故选A.
4.如图,圆C中,弦AB的长度为6,则·=　　　　.
【答案】 18
【解析】 取线段AB的中点D,连接CD,
得CD⊥AB,
所以||cos A=||=||.
所以·=||·cos A·||=·||2=18.
题型一　向量数量积的概念
[例1] 已知正三角形ABC的边长为1,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【解】 (1)因为与的夹角为60°,
所以·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)因为与的夹角为120°,
所以·=||||cos 120°=1×1×(-)=-.
(3)因为与的夹角为60°,
所以·=||||cos 60°=1×1×=.
求向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.
[变式训练] 已知|a|=6,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角是(　　)
[A] 120° [B] 150°
[C] 60° [D] 30°
【答案】 B
【解析】 因为|a|=6,|b|=1,a·b=-9,
所以cos===-,
因为0°≤≤180°,所以=150°.故选B.
题型二　投影向量
[例2] (北师大版必修第二册P108例1)如图,已知向量a与b,其中|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°.
(1)求a·b;
(2)求向量b在a方向上的投影数量,并画图解释.
【解】 (1)a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°=12×(-)=-6.
(2)如图,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为B1,则|b|cos θ=4×(-)=-2.所以向量b在a方向上的投影数量为-2.
向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量,且e=)中计算即可.
[变式训练] 已知平面向量a,b满足a·b=4,|b|=,则向量a在b上的投影向量为(　　)
[A] b [B] b [C] b [D] b
【答案】 D
【解析】 因为a·b=4,|b|=,所以向量a在b上的投影向量为|a|··=·b=·b=b.
故选D.
题型三　向量数量积的性质
[例3] (多选题)对于平面向量a,b,c和实数λ,下列命题是假命题的是(　　)
[A] 若a·b=0,则a=0或b=0
[B] 若λa=0,则a=0或λ=0
[C] 若a2=b2,则a=b或a=-b
[D] 若a·b=a·c,则b=c
【答案】 ACD
【解析】 对于选项A,结论少了a⊥b(且a,b都是非零向量)的情形,故是假命题;对于选项B,若λa=0,则a=0或λ=0,故是真命题;对于选项C,结论应该是|a|=|b|,故是假命题;对于选项D,若a,b,c都是单位向量,且这三个向量两两之间的夹角都是,就可说明D是假命题.故选ACD.
解决本题的关键是熟练掌握向量数量积的定义及运算性质.
[变式训练] 以下关于两个非零向量的数量积的叙述,错误的是(　　)
[A] 两个向量同向共线,则它们的数量积是正的
[B] 两个向量反向共线,则它们的数量积是负的
[C] 两个向量的数量积是负的,则它们的夹角为钝角
[D] 两个向量的数量积是0,则它们互相垂直
【答案】 C
【解析】 对于任意的两个非零向量a,b,
a·b=|a||b|cos,其中∈[0,π].
若两个非零向量同向共线,则=0,
cos=1,a·b=|a||b|>0,故A正确;
若两个非零向量反向共线,则=π,
cos=-1,a·b=-|a||b|<0,故B正确;
若这两个非零向量的数量积是负的,
则cos<0,∈(,π],故C错误;
若两个非零向量的数量积是0,则cos=0,=,a,b互相垂直,故D正确.故选C.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,网格纸上的每个小正方形的边长均为1,下列关于向量a,b,c,d的判断正确是(　　)
[A] a·b<0
[B] a·d>0
[C] b·c>0
[D] b·d=0
【答案】 C
【解析】 由题图可知,a,b夹角为锐角,则a·b>0,故A错误;
a,d夹角为钝角,则a·d<0,故B错误;
b,c夹角为锐角,则b·c>0,故C正确;
b,d夹角为锐角,则b·d>0,故D错误.
故选C.
2.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos等于(　　)
[A] [B] - [C] - [D]
【答案】 C
【解析】 因为|a|=5,|b|=6,a·b=-6,
所以cos===-.故选C.
3.已知|a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,则向量b在a方向上的投影数量为(　　)
[A] 4 [B] -4 [C] 2 [D] -2
【答案】 A
【解析】 |a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,
所以向量b在a方向上的投影数量为=|b|cos 60°=8×=4.故选A.
4.在边长为3的等边三角形ABC中,=,则·等于(　　)
[A] [B]
[C] - [D] -
【答案】 C
【解析】 因为=,所以=,
所以·=-·=-·
=-||·||·cos ∠ABC=-×3×3×=-.故选C.
5.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b等于(　　)
[A] 3 [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 设向量a,b的夹角为θ,
因为a在b上的投影向量为
|a|cos θ=b,
所以=,
即|a|cos θ=,
所以a·b=|a||b|cos θ=3×=.故选D.
6.(多选题)已知向量a,b满足|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是(　　)
[A] a⊥b [B] a∥b
[C] |a+b|=4 [D] |a-b|=2
【答案】 BCD
【解析】 由|a|=3|b|=a·b=3,
可得|b|=1,
a·b=|a||b|cos=3cos=3,
所以cos=1,因为∈[0,π],
所以=0,
所以a=3b,a∥b,|a+b|=4,|a-b|=2.故选BCD.
7.(5分)已知向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3,若a在b方向上的投影向量为λb,则λ=　.
【答案】 -
【解析】 由投影向量的定义,a在b方向上的投影向量λb=b=b=-b,
所以λ=-.
8.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是　　 　　.
【答案】 [,π]
【解析】 设a与b的夹角为θ,由题意可得,
Δ=|a|2-4a·b≥0,
因为|a|=2|b|,
所以cos θ≤,
又θ∈[0,π],
所以θ∈[,π].
9.(13分)已知A1A2A3A4A5A6是一个正六边形,将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列:·,·,·,·.
【解】设正六边形的边长为1,如图,则||=,
||=2,
||=,
∠A2A1A3=,∠A2A1A4=,∠A2A1A5=,∠A2A1A6=,
所以·=||||cos =1××=,
·=||||cos =1×2×=1,
·=0,
·=||||cos <0,
所以·<·<·<·.
10.(14分)已知向量a与b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求a·b:
(1)θ=135°;
(2)a∥b;
(3)a⊥b.
【解】 (1)a·b=|a||b|cos θ=2×3×cos 135°=-3.
(2)当a∥b时,θ=0°或180°.
若θ=0°,则a·b=|a||b|=6;
若θ=180°,则a·b=-|a||b|=-6.
(3)当a⊥b时,a·b=0.
11.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,则下列各组向量的夹角为60°的是(　　)
[A] 与 [B] 与
[C] 与 [D] 与
【答案】 B
【解析】由题意可得与的夹角为180°-∠ABC=180°-60°=120°,A错误;
如图,作DE∥CB,交AB于点E,则∠ADE=60°,故与的夹角<,>=60°,B正确;
由于∥,故与的夹角等于与的夹角,即为180°-∠ABC=180°-60°=120°,
C错误;
与的夹角为∠ADC=180°-60°=120°,D错误.
故选B.
12.(5分)如图所示,正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则·=
　　　　　.
【答案】 1+
【解析】在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则HC∥AB,而∠BCD=∠ABC=135°,
即∠BCH=45°,于是∠HCD=90°,在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,
所以·=1×||cos ∠CHD=||=1+.
13.(17分)在梯形ABCD中,=2,=,||=3,P为梯形ABCD所在平面上一点,且满足4=+,·=||·||,Q为边AD上的一个动点.
(1)求证:2=.
(2)求||的最小值.
(1)【证明】连接PA,PB,如图,
因为=,
所以+=2.
由4=+=2,
得2=.
(2)【解】 因为=2,=,
所以=,
则四边形DEBC为平行四边形,DE∥CB,
<,>=∠ADE,DE=CB=3.
由·=||·||,
得cos ∠ADE·||·||=||·||,
由2=得,||=||,
即DP=BC=1,
所以cos ∠ADE=,
所以sin ∠ADE==,
所以=DP·sin ∠ADE=1×=.(共29张PPT)
第2课时　向量的
数量积(二)
1.了解平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　向量数量积运算的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
(1)a·b= ;
(2)(λa)·b= = ;
(3)(a+b)·c= .
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c+b·c
·疑难解惑·
对向量数量积运算律的理解
已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c,但是a·b=b·c推不出a=c.理由如下:
如图,a·b=|a||b|cos β=|b||OA|,
b·c=|b||c|cos α=|b||OA|.
所以a·b=b·c,但是a≠c.
基础自测
C
2.关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)
[A] 若a与b共线,则a·b=|a||b|
[B] (a+b)·c=a·c+b·c
[C] 若a2=b2,则a·c=b·c
[D] (a·b)·c=(b·c)·a
B
【解析】 对于A,若a和b方向相反,则a·b=-|a|·|b|,所以命题不成立;
对于B,这是平面向量数量积运算的分配律,显然成立;
对于C,若a2=b2,则|a|=|b|,a·c=|a||c|cos,b·c=|b|·|c|cos,而cos与cos不一定相等,所以命题不成立;
对于D,(a·b)·c与a·(b·c)分别是和c,a共线的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选B.
C
4.(人教A版必修第二册P22练习T2改编)已知平面向量m,n满足m·n=3,且m⊥(m-2n),则|m|=　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　向量数量积的运算律
[例1] (人教B版必修第三册P82例1)求证:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
【证明】 (1)(a+b)·(a-b)
=a·(a-b)+b·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
【证明】 (2)(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·(a+b)+b·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2.
·解题策略·
根据数量积的运算律,向量的加、减、数乘与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
A
题型二　利用数量积求向量的模
[例2] 已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|c|=3,a·c=-2,a+2b+3c=0,则|b|等于(　　)
A
·解题策略·
求解向量模的问题的处理方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.
[变式训练] 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=　　　　.
题型三　向量的夹角问题
[例3] 已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,设向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a与b的夹角为(　　)
C
·解题策略·
求向量a,b的夹角θ的思路
(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos θ的值.
题型四　两向量的垂直问题
[例4] 若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为　　　.
涉及两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.
·解题策略·
[变式训练] (多选题)已知单位向量a,b,则使(a+kb)⊥(ka-b)成立的充分条件是(　 　)
[A] k=-1 [B] k=-2
[C] a⊥b [D] a∥b
AC
【解析】 因为a,b为单位向量,所以|a|=|b|=1,
若(a+kb)⊥(ka-b),则(a+kb)·(ka-b)=ka2-kb2+(k2-1)a·b=0,
即k|a|2-k|b|2+(k2-1)a·b=0,
即(k2-1)a·b=0,
所以k2-1=0或a·b=0,则k=±1或a⊥b,故使(a+kb)⊥(ka-b)成立的充分条件可以是k=-1,a⊥b.
故选AC.
感谢观看6.2.4　向量的数量积
第1课时　向量的数量积(一)
【课程标准要求】　1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义、性质及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.
知识点一　向量数量积的概念
1.向量的夹角
(1)夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
(2)垂直:如果a与b的夹角是,则称a与b垂直,记作a⊥b.
(1)a与b的夹角常用表示.
(2)当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
2.向量数量积的定义
非零向量a,b的夹角为θ,数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积等于0.
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”.
(2)数量积的结果为数量,不再是向量.
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.
知识点二　投影向量
1.如图①,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
2.如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
3.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,对于任意的θ∈[0,π],都有=
|a|cos θe.
(1)|a|cos θ为向量a在b上的投影的数量.
(2)|b|cos θ为向量b在a上的投影的数量.
(3)投影的数量|a|cos θ(|b|cos θ)是一个值,不是向量.
知识点三　向量数量积的性质
　设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a∥b时,a·b=
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
对性质(4)的理解:
|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立.
基础自测
1.已知向量a与b的夹角为60°,其中|a|=3,|b|=2,则a·b等于(　　)
[A] 6 [B] 5 [C] 3 [D] 2
2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则·等于(　　)
[A] -2 [B] 2 [C] -2 [D] 2
3.(人教A版必修第二册P20练习T3改编)已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则向量a在b上的投影向量为(　　)
[A] b [B] b
[C] a [D] a
故选A.
4.如图,圆C中,弦AB的长度为6,则·=　　　　.
得CD⊥AB,
所以||cos A=||=||.
所以·=||·cos A·||=·||2=18.
题型一　向量数量积的概念
[例1] 已知正三角形ABC的边长为1,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
所以·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)因为与的夹角为120°,
所以·=||||cos 120°=1×1×(-)=-.
(3)因为与的夹角为60°,
所以·=||||cos 60°=1×1×=.
求向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.
[变式训练] 已知|a|=6,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角是(　　)
[A] 120° [B] 150°
[C] 60° [D] 30°
所以cos===-,
因为0°≤≤180°,所以=150°.故选B.
题型二　投影向量
[例2] (北师大版必修第二册P108例1)如图,已知向量a与b,其中|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°.
(1)求a·b;
(2)求向量b在a方向上的投影数量,并画图解释.
(2)如图,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为B1,则|b|cos θ=4×(-)=-2.所以向量b在a方向上的投影数量为-2.
向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量,且e=)中计算即可.
[变式训练] 已知平面向量a,b满足a·b=4,|b|=,则向量a在b上的投影向量为(　　)
[A] b [B] b [C] b [D] b
故选D.
题型三　向量数量积的性质
[例3] (多选题)对于平面向量a,b,c和实数λ,下列命题是假命题的是(　　)
[A] 若a·b=0,则a=0或b=0
[B] 若λa=0,则a=0或λ=0
[C] 若a2=b2,则a=b或a=-b
[D] 若a·b=a·c,则b=c
解决本题的关键是熟练掌握向量数量积的定义及运算性质.
[变式训练] 以下关于两个非零向量的数量积的叙述,错误的是(　　)
[A] 两个向量同向共线,则它们的数量积是正的
[B] 两个向量反向共线,则它们的数量积是负的
[C] 两个向量的数量积是负的,则它们的夹角为钝角
[D] 两个向量的数量积是0,则它们互相垂直
a·b=|a||b|cos,其中∈[0,π].
若两个非零向量同向共线,则=0,
cos=1,a·b=|a||b|>0,故A正确;
若两个非零向量反向共线,则=π,
cos=-1,a·b=-|a||b|<0,故B正确;
若这两个非零向量的数量积是负的,
则cos<0,∈(,π],故C错误;
若两个非零向量的数量积是0,则cos=0,=,a,b互相垂直,故D正确.故选C.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,网格纸上的每个小正方形的边长均为1,下列关于向量a,b,c,d的判断正确是(　　)
[A] a·b<0
[B] a·d>0
[C] b·c>0
[D] b·d=0
a,d夹角为钝角,则a·d<0,故B错误;
b,c夹角为锐角,则b·c>0,故C正确;
b,d夹角为锐角,则b·d>0,故D错误.
故选C.
2.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos等于(　　)
[A] [B] - [C] - [D]
所以cos===-.故选C.
3.已知|a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,则向量b在a方向上的投影数量为(　　)
[A] 4 [B] -4 [C] 2 [D] -2
所以向量b在a方向上的投影数量为=|b|cos 60°=8×=4.故选A.
4.在边长为3的等边三角形ABC中,=,则·等于(　　)
[A] [B]
[C] - [D] -
所以·=-·=-·
=-||·||·cos ∠ABC=-×3×3×=-.故选C.
5.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b等于(　　)
[A] 3 [B] [C] [D]
因为a在b上的投影向量为
|a|cos θ=b,
所以=,
即|a|cos θ=,
所以a·b=|a||b|cos θ=3×=.故选D.
6.(多选题)已知向量a,b满足|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是(　　)
[A] a⊥b [B] a∥b
[C] |a+b|=4 [D] |a-b|=2
可得|b|=1,
a·b=|a||b|cos=3cos=3,
所以cos=1,因为∈[0,π],
所以=0,
所以a=3b,a∥b,|a+b|=4,|a-b|=2.故选BCD.
7.(5分)已知向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3,若a在b方向上的投影向量为λb,则λ=　.
所以λ=-.
8.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是　　 　　.
Δ=|a|2-4a·b≥0,
因为|a|=2|b|,
所以cos θ≤,
又θ∈[0,π],
所以θ∈[,π].
9.(13分)已知A1A2A3A4A5A6是一个正六边形,将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列:·,·,·,·.
||=2,
||=,
∠A2A1A3=,∠A2A1A4=,∠A2A1A5=,∠A2A1A6=,
所以·=||||cos =1××=,
·=||||cos =1×2×=1,
·=0,
·=||||cos <0,
所以·<·<·<·.
10.(14分)已知向量a与b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求a·b:
(1)θ=135°;
(2)a∥b;
(3)a⊥b.
(2)当a∥b时,θ=0°或180°.
若θ=0°,则a·b=|a||b|=6;
若θ=180°,则a·b=-|a||b|=-6.
(3)当a⊥b时,a·b=0.
11.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,则下列各组向量的夹角为60°的是(　　)
[A] 与 [B] 与
[C] 与 [D] 与
如图,作DE∥CB,交AB于点E,则∠ADE=60°,故与的夹角<,>=60°,B正确;
由于∥,故与的夹角等于与的夹角,即为180°-∠ABC=180°-60°=120°,
C错误;
与的夹角为∠ADC=180°-60°=120°,D错误.
故选B.
12.(5分)如图所示,正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则·=
　　　　　.
即∠BCH=45°,于是∠HCD=90°,在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,
所以·=1×||cos ∠CHD=||=1+.
13.(17分)在梯形ABCD中,=2,=,||=3,P为梯形ABCD所在平面上一点,且满足4=+,·=||·||,Q为边AD上的一个动点.
(1)求证:2=.
(2)求||的最小值.
因为=,
所以+=2.
由4=+=2,
得2=.
所以=,
则四边形DEBC为平行四边形,DE∥CB,
<,>=∠ADE,DE=CB=3.
由·=||·||,
得cos ∠ADE·||·||=||·||,
由2=得,||=||,
即DP=BC=1,
所以cos ∠ADE=,
所以sin ∠ADE==,
所以=DP·sin ∠ADE=1×=.第2课时　向量的数量积(二)
【课程标准要求】　1.了解平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
知识点　向量数量积运算的运算律
　对于向量a,b,c和实数λ,有
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
对向量数量积运算律的理解
已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c,但是a·b=b·c推不出a=c.理由如下:
如图,a·b=|a||b|cos β=|b||OA|,
b·c=|b||c|cos α=|b||OA|.
所以a·b=b·c,但是a≠c.
基础自测
1.已知单位向量a,b满足a·b=-,则a·(a+b)等于(　　)
[A] -1 [B] 0 [C] [D] 1
【答案】 C
【解析】 因为|a|=1,a·b=-,所以a·(a+b)=a2+a·b=1-=.故选C.
2.关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)
[A] 若a与b共线,则a·b=|a||b|
[B] (a+b)·c=a·c+b·c
[C] 若a2=b2,则a·c=b·c
[D] (a·b)·c=(b·c)·a
【答案】 B
【解析】 对于A,若a和b方向相反,则a·b=-|a|·|b|,所以命题不成立;对于B,这是平面向量数量积运算的分配律,显然成立;对于C,若a2=b2,则|a|=|b|,a·c=|a||c|cos,b·c=|b|·|c|cos,而cos与cos不一定相等,所以命题不成立;
对于D,(a·b)·c与a·(b·c)分别是和c,a共线的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选B.
3.若单位向量a,b满足|3a+2b|=,则a,b的夹角为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题意,|a|=|b|=1,由|3a+2b|=,
得9a2+12a·b+4b2=7,即9+12a·b+4=7,
所以a·b=-,
设a与b的夹角为θ,所以cos θ==-,
又θ∈[0,π],所以θ=.
故选C.
4.(人教A版必修第二册P22练习T2改编)已知平面向量m,n满足m·n=3,且m⊥(m-2n),则|m|=　　　　.
【答案】
【解析】 因为m⊥(m-2n),所以m·(m-2n)=0,
则m2=2m·n=6,所以|m|=.
题型一　向量数量积的运算律
[例1] (人教B版必修第三册P82例1)求证:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
【证明】 (1)(a+b)·(a-b)
=a·(a-b)+b·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2.
(2)(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·(a+b)+b·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2.
根据数量积的运算律,向量的加、减、数乘与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
[变式训练] 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)等于(　　)
[A] -36 [B] -28 [C] 3 [D] 12
【答案】 A
【解析】 依题意,a·b=|a||b|cos=2×5×=2,所以(a+2b)·(2a-b)=2a2-2b2+3a·b=2×22-2×52+3×2=-36.故选A.
题型二　利用数量积求向量的模
[例2] 已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|c|=3,a·c=-2,a+2b+3c=0,则|b|等于(　　)
[A] [B]
[C] 2 [D] 3
【答案】 A
【解析】 由a+2b+3c=0,可得a+3c=-2b,
等式两边平方得|a|2+6a·c+9|c|2=4|b|2,
因为|a|=1,|c|=3,a·c=-2,
化简可得1-2×6+9×9=4|b|2,
所以|b|=.故选A.
求解向量模的问题的处理方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[变式训练] 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=　　　　.
【答案】
【解析】 因为|a|=|b|=|a-b|=1,
所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+1=1,
所以a·b=,
所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,
所以|a+b|=.
题型三　向量的夹角问题
[例3] 已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,设向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a与b的夹角为(　　)
[A] π [B] π [C] π [D] π
【答案】 C
【解析】 a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6+|e1|·|e2|cos 60°+2=-6++2=-,
其中a2==4+4e1·e2+=4+4×+1=7,故|a|=,
b2==9-12e1·e2+4=9-6+4=7,故|b|=,
所以cos===-,
所以a与b的夹角为.故选C.
求向量a,b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ值.
(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos θ的值.
[变式训练] 已知非零向量a,b满足|a|=|b|,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为　　　　.
【答案】
【解析】 由(a-b)·a=|a|2-a·b=0,
故a·b=|a|2,
cos====,
又∈[0,π],故=.
题型四　两向量的垂直问题
[例4] 若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为　　　　.
【答案】
【解析】 因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,所以a·b=1×2×=1,若(3a+5b)⊥(ma-b),则(3a+5b)·(ma-b)=0,
可得3m|a|2+(5m-3)a·b-5|b|2=0,
即3m+5m-3-20=0,解得m=.
涉及两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.
[变式训练] (多选题)已知单位向量a,b,则使(a+kb)⊥(ka-b)成立的充分条件是(　　)
[A] k=-1 [B] k=-2
[C] a⊥b [D] a∥b
【答案】 AC
【解析】 因为a,b为单位向量,所以|a|=|b|=1,
若(a+kb)⊥(ka-b),则(a+kb)·(ka-b)=ka2-kb2+(k2-1)a·b=0,
即k|a|2-k|b|2+(k2-1)a·b=0,
即(k2-1)a·b=0,
所以k2-1=0或a·b=0,则k=±1或a⊥b,故使(a+kb)⊥(ka-b)成立的充分条件可以是k=-1,a⊥b.
故选AC.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知两个单位向量e1,e2的夹角为120°,则(e1+2e2)·(e2-e1)等于(　　)
[A] [B] 3 [C] [D] 5
【答案】 A
【解析】 因为两个单位向量e1,e2的夹角为120°,所以e1·e2=|e1|·|e2|cos 120°=1×1×(-)=-,
所以(e1+2e2)·(e2-e1)=e1·e2-+2-2e1·e2=-12+2×12-(-)=.故选A.
2.若|a|=1,|b|=,且(a-b)⊥a,则a和b的夹角是(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 135°
【答案】 B
【解析】 设a,b的夹角为θ,由于(a-b)⊥a,
所以(a-b)·a=a2-a·b=1-1××cos θ=0,
所以cos θ=,因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选B.
3.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,则b在a上的投影向量为(　　)
[A] a [B] 2b
[C] a [D] 2b
【答案】 A
【解析】 (a+b)·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去),故b在a上的投影向量为|b|cos 45°=××=a.故选A.
4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为(　　)
[A] -6 [B] 6 [C] 3 [D] -3
【答案】 B
【解析】 因为c与d垂直,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.故选B.
5.设a,b均为单位向量,则“a⊥b”是“|a-2b|=|2a+b|”的(　　)
[A] 充分而不必要条件
[B] 必要而不充分条件
[C] 充分必要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 向量a,b均为单位向量,若a⊥b,则a·b=0,
|a-2b|==,
|2a+b|==,因此|a-2b|=|2a+b|;若|a-2b|=|2a+b|,
则a2-4a·b+4b2=4a2+4a·b+b2,即5-4a·b=5+4a·b,整理得a·b=0,因此a⊥b,
所以“a⊥b”是“|a-2b|=|2a+b|”的充分必要条件.故选C.
6.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是(　　)
[A] |a+b|=1 [B] a⊥b
[C] (4a+b)⊥b [D] a·b=-1
【答案】 CD
【解析】 分析知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;
因为(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=1+2×1×2×(-)+4=3,所以|a+b|=,故A错误;
因为(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,所以(4a+b)⊥b,故C正确;
a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确.故选CD.
7.(5分)已知|a|=6,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则a·b=　　　　.
【答案】 12
【解析】 由(a+2b)·(a-3b)=-72,
得a2-a·b-6b2=-72,
所以36-a·b-6×16=-72,
所以a·b=12.
8.(5分)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,a与b的夹角为60°,则|a-b|=　　　.
【答案】
【解析】 因为a·b=|a|·|b|·cos 60°=3×5×=,所以(a-b)2=a2+b2-2a·b=19.
所以|a-b|=.
9.(13分)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)a·b;
(2)(a+b)·(a-2b).
【解】 (1)由已知得a·b=|a||b|·cos θ=4×2×cos 120°=-4.
(2)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
10.(14分)已知a,b是两个单位向量,且a与b的夹角为.
(1)求a·b;
(2)求|2a+b|.
【解】 (1)因为a,b是两个单位向量,且a与b的夹角为,所以a·b=|a|×|b|×cos =1×1×(-)=-.
(2)|2a+b|=
=
==.
11.如图,点P在△ABC的内部,D,E是边AB,AC的中点(D,P,E三点不共线),PE=2PD=2,
·=-4,则向量与的夹角大小为(　　)
[A] 105° [B] 120° [C] 135° [D] 150°
【答案】 B
【解析】连接DE,如图所示.
因为D,E是边AB,AC的中点,所以DE∥BC,且 DE=BC,所以=2,
所以·=2·=2(-)·
=2·-2||2=2||||cos ∠DPE-2=4cos ∠DPE-2=-4,
解得cos ∠DPE=-.又因为∠DPE∈(0°,180°),所以∠DPE=120°.
则向量与的夹角大小为120°.故选B.
12.已知向量|a|=1,|b|=2,|c|=,且a+b+c=0,则cos等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 由a+b+c=0可得a+b=-c,所以(a+b)2=(-c)2 1+4+2a·b=5 a·b=0,
同理由-a=b+c和a+c=-b可得b·c=-4,a·c=-1,
所以(c-a)·(c-b)=c2-b·c-a·c+a·b=5+4+1+0=10,
|c-a|===2,|c-b|===,
故cos===.故选D.
13.(17分)单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-.
(1)求a与b的夹角的余弦值;
(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为|a|=|b|=1,
(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,
即1+a·b-2=-,则a·b=.
则cos==,
即a与b的夹角的余弦值为.
(2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角,
所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线.
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b),即ka+b=λa+3λb,
由(1)知a与b不共线,所以解得k=.
所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠.
由(ka+b)·(a+3b)>0,
得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0.
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-.
所以k>-且k≠,
即实数k的取值范围为(-,)∪(,+∞).(共35张PPT)
6.2.4　向量的数量积
第1课时　向量的
数量积(一)
1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义、性质及投影向量.3.会计算平面向量的数量积.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　向量数量积的概念
1.向量的夹角
∠AOB
非零向量
·温馨提示·
(1)a与b的夹角常用表示.
(2)当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
2.向量数量积的定义
非零向量a,b的夹角为θ,数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积等于 .
0
·疑难解惑·
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”.
(2)数量积的结果为数量,不再是向量.
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.
知识点二　投影向量
投影
投影向量
投影向量
|a|cos θe
(1)|a|cos θ为向量a在b上的投影的数量.
(2)|b|cos θ为向量b在a上的投影的数量.
(3)投影的数量|a|cos θ(|b|cos θ)是一个值,不是向量.
·疑难解惑·
知识点三　向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
|a|2
(4)|a·b|≤|a||b|.
·疑难解惑·
对性质(4)的理解:
|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立.
基础自测
1.已知向量a与b的夹角为60°,其中|a|=3,|b|=2,则a·b等于(　　)
[A] 6 [B] 5 [C] 3 [D] 2
C
A
A
18
关键能力·素养培优
题型一　向量数量积的概念
[例1] 已知正三角形ABC的边长为1,求:
·解题策略·
求向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.
[A] 120° [B] 150°
[C] 60° [D] 30°
B
题型二　投影向量
[例2] (北师大版必修第二册P108例1)如图,已知向量a与b,其中|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°.
(1)求a·b;
(2)求向量b在a方向上的投影数量,并画图解释.
·解题策略·
向量a在向量b上的投影向量的求法
D
题型三　向量数量积的性质
[例3] (多选题)对于平面向量a,b,c和实数λ,下列命题是假命题的是(　 　)
[A] 若a·b=0,则a=0或b=0
[B] 若λa=0,则a=0或λ=0
[C] 若a2=b2,则a=b或a=-b
[D] 若a·b=a·c,则b=c
ACD
·解题策略·
解决本题的关键是熟练掌握向量数量积的定义及运算性质.
[变式训练] 以下关于两个非零向量的数量积的叙述,错误的是(　　)
[A] 两个向量同向共线,则它们的数量积是正的
[B] 两个向量反向共线,则它们的数量积是负的
[C] 两个向量的数量积是负的,则它们的夹角为钝角
[D] 两个向量的数量积是0,则它们互相垂直
C
感谢观看第2课时　向量的数量积(二)
【课程标准要求】　1.了解平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
知识点　向量数量积运算的运算律
　对于向量a,b,c和实数λ,有
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
对向量数量积运算律的理解
已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c,但是a·b=b·c推不出a=c.理由如下:
如图,a·b=|a||b|cos β=|b||OA|,
b·c=|b||c|cos α=|b||OA|.
所以a·b=b·c,但是a≠c.
基础自测
1.已知单位向量a,b满足a·b=-,则a·(a+b)等于(　　)
[A] -1 [B] 0 [C] [D] 1
2.关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)
[A] 若a与b共线,则a·b=|a||b|
[B] (a+b)·c=a·c+b·c
[C] 若a2=b2,则a·c=b·c
[D] (a·b)·c=(b·c)·a
对于D,(a·b)·c与a·(b·c)分别是和c,a共线的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选B.
3.若单位向量a,b满足|3a+2b|=,则a,b的夹角为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
得9a2+12a·b+4b2=7,即9+12a·b+4=7,
所以a·b=-,
设a与b的夹角为θ,所以cos θ==-,
又θ∈[0,π],所以θ=.
故选C.
4.(人教A版必修第二册P22练习T2改编)已知平面向量m,n满足m·n=3,且m⊥(m-2n),则|m|=　　　　.
则m2=2m·n=6,所以|m|=.
题型一　向量数量积的运算律
[例1] (人教B版必修第三册P82例1)求证:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
=a·(a-b)+b·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2.
(2)(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·(a+b)+b·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2.
根据数量积的运算律,向量的加、减、数乘与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
[变式训练] 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)等于(　　)
[A] -36 [B] -28 [C] 3 [D] 12
题型二　利用数量积求向量的模
[例2] 已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|c|=3,a·c=-2,a+2b+3c=0,则|b|等于(　　)
[A] [B]
[C] 2 [D] 3
等式两边平方得|a|2+6a·c+9|c|2=4|b|2,
因为|a|=1,|c|=3,a·c=-2,
化简可得1-2×6+9×9=4|b|2,
所以|b|=.故选A.
求解向量模的问题的处理方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[变式训练] 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=　　　　.
所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+1=1,
所以a·b=,
所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,
所以|a+b|=.
题型三　向量的夹角问题
[例3] 已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,设向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a与b的夹角为(　　)
[A] π [B] π [C] π [D] π
其中a2==4+4e1·e2+=4+4×+1=7,故|a|=,
b2==9-12e1·e2+4=9-6+4=7,故|b|=,
所以cos===-,
所以a与b的夹角为.故选C.
求向量a,b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ值.
(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos θ的值.
[变式训练] 已知非零向量a,b满足|a|=|b|,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为　　　　.
故a·b=|a|2,
cos====,
又∈[0,π],故=.
题型四　两向量的垂直问题
[例4] 若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为　　　　.
可得3m|a|2+(5m-3)a·b-5|b|2=0,
即3m+5m-3-20=0,解得m=.
涉及两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.
[变式训练] (多选题)已知单位向量a,b,则使(a+kb)⊥(ka-b)成立的充分条件是(　　)
[A] k=-1 [B] k=-2
[C] a⊥b [D] a∥b
若(a+kb)⊥(ka-b),则(a+kb)·(ka-b)=ka2-kb2+(k2-1)a·b=0,
即k|a|2-k|b|2+(k2-1)a·b=0,
即(k2-1)a·b=0,
所以k2-1=0或a·b=0,则k=±1或a⊥b,故使(a+kb)⊥(ka-b)成立的充分条件可以是k=-1,a⊥b.
故选AC.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知两个单位向量e1,e2的夹角为120°,则(e1+2e2)·(e2-e1)等于(　　)
[A] [B] 3 [C] [D] 5
所以(e1+2e2)·(e2-e1)=e1·e2-+2-2e1·e2=-12+2×12-(-)=.故选A.
2.若|a|=1,|b|=,且(a-b)⊥a,则a和b的夹角是(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 135°
所以(a-b)·a=a2-a·b=1-1××cos θ=0,
所以cos θ=,因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选B.
3.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,则b在a上的投影向量为(　　)
[A] a [B] 2b
[C] a [D] 2b
4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为(　　)
[A] -6 [B] 6 [C] 3 [D] -3
5.设a,b均为单位向量,则“a⊥b”是“|a-2b|=|2a+b|”的(　　)
[A] 充分而不必要条件
[B] 必要而不充分条件
[C] 充分必要条件
[D] 既不充分也不必要条件
|a-2b|==,
|2a+b|==,因此|a-2b|=|2a+b|;若|a-2b|=|2a+b|,
则a2-4a·b+4b2=4a2+4a·b+b2,即5-4a·b=5+4a·b,整理得a·b=0,因此a⊥b,
所以“a⊥b”是“|a-2b|=|2a+b|”的充分必要条件.故选C.
6.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是(　　)
[A] |a+b|=1 [B] a⊥b
[C] (4a+b)⊥b [D] a·b=-1
因为(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=1+2×1×2×(-)+4=3,所以|a+b|=,故A错误;
因为(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,所以(4a+b)⊥b,故C正确;
a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确.故选CD.
7.(5分)已知|a|=6,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则a·b=　　　　.
得a2-a·b-6b2=-72,
所以36-a·b-6×16=-72,
所以a·b=12.
8.(5分)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,a与b的夹角为60°,则|a-b|=　　　.
所以|a-b|=.
9.(13分)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)a·b;
(2)(a+b)·(a-2b).
(2)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
10.(14分)已知a,b是两个单位向量,且a与b的夹角为.
(1)求a·b;
(2)求|2a+b|.
(2)|2a+b|=
=
==.
11.如图,点P在△ABC的内部,D,E是边AB,AC的中点(D,P,E三点不共线),PE=2PD=2,
·=-4,则向量与的夹角大小为(　　)
[A] 105° [B] 120° [C] 135° [D] 150°
因为D,E是边AB,AC的中点,所以DE∥BC,且 DE=BC,所以=2,
所以·=2·=2(-)·
=2·-2||2=2||||cos ∠DPE-2=4cos ∠DPE-2=-4,
解得cos ∠DPE=-.又因为∠DPE∈(0°,180°),所以∠DPE=120°.
则向量与的夹角大小为120°.故选B.
12.已知向量|a|=1,|b|=2,|c|=,且a+b+c=0,则cos等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
同理由-a=b+c和a+c=-b可得b·c=-4,a·c=-1,
所以(c-a)·(c-b)=c2-b·c-a·c+a·b=5+4+1+0=10,
|c-a|===2,|c-b|===,
故cos===.故选D.
13.(17分)单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-.
(1)求a与b的夹角的余弦值;
(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围.
(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,
即1+a·b-2=-,则a·b=.
则cos==,
即a与b的夹角的余弦值为.
(2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角,
所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线.
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b),即ka+b=λa+3λb,
由(1)知a与b不共线,所以解得k=.
所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠.
由(ka+b)·(a+3b)>0,
得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0.
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-.
所以k>-且k≠,
即实数k的取值范围为(-,)∪(,+∞).

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