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6.3.1　平面向量基本定理
【课程标准要求】　1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养.2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识拓展
对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值.
(3)e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量.
基础自测
1.若已知e1,e2是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是(　　)
[A] e1与-e2 [B] 3e1与2e2
[C] e1+e2与e1-e2 [D] e1与2e1
【答案】 D
【解析】 若e1,e2是平面上的一组基底,则e1,e2不共线,据此可得ABC选项所对应向量组均不共线,可作为基底.D选项,e1与2e1共线,则不可以作为一组基底.故选D.
2.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ-μ,则λ等于(　　)
[A] -1 [B] 1
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 正方形ABCD中,M是BC的中点,
则则=+,
于是=+=+(+)=+,而=λ-μ,
所以λ=.故选C.
3.(人教A版必修第二册P27练习T2改编)在 ABCD中,=a,=b,若M是BC的中点,则=　　　　.(用a,b表示)
【答案】 a+b
【解析】 如图,
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以=+,=+=-,
所以=(+),
=(-).
又M为BC的中点,所以=.
得=+=+
=(+)+(-)
=+,
所以=a+b.
题型一　对基底概念的理解
[例1] 如果{e1,e2}表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是(　　)
[A] e2,e1-2e2 [B] e1+2e2,e2+2e1
[C] e1-3e2,6e2-2e1 [D] e1-e2,e1-3e2
【答案】 C
【解析】 根据平面向量基底的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2.
对于A,向量e2和e1-2e2,不存在实数λ1,使得e2=λ1(e1-2e2),可以作为一个基底;
对于B,向量e1+2e2,e2+2e1,假设存在实数λ2,使得e1+2e2=λ2(e2+2e1),可得此时方程组无解,所以e1+2e2和e2+2e1可以作为基底;
对于C,向量e1-3e2和6e2-2e1,假设存在实数λ3,使得e1-3e2=λ3(6e2-2e1),
可得解得λ3=-,所以e1-3e2和6e2-2e1不可以作为基底;
对于D,向量e1-e2和e1-3e2,假设存在实数λ4,使得e1-e2=λ4(e1-3e2),可得此时方程组无解,所以e1-e2和e1-3e2可以作为基底.故选C.
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.
(2)一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2且y1=y2.
[变式训练] 下列关于基底的说法正确的序号是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底;
②基底中的向量可以是零向量;
③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
[A] ①② [B] ①③ [C] ②③ [D] ①②③
【答案】 B
【解析】 对于①,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底(只要不共线就行),正确;对于②,零向量和任何一个向量都平行,不能作为基底,错误;对于③,由平面向量基本定理知,基底确定,分解形式也唯一确定,正确,所以①③正确.故选B.
题型二　用基底表示平面向量
[例2] (人教B版必修第二册P161例5)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,试用基底{a,b}分别表示下列向量:
(1);
(2).
【解】 (1)如图所示,由已知有=,
从而=+
=+
=+(-)
=+=a+b.
(2)因为△DEF∽△BEA,而且==,
所以DF=AB,
于是=+=+=b+a.
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量进行不断转化,直至用基底表示为止.
(2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
[变式训练] 如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,DM与AC交于点N,设=a,=b,则等于(　　)
[A] -a+b [B] a-b
[C] -a+b [D] a-b
【答案】 A
【解析】 依题意在平行四边形ABCD中,AM∥CD,又M是AB的中点,则AM=AB=CD,
又DM与AC交于点N,所以△ANM∽△CND,
则==,所以=,
又=a,=b,所以=-=-=(+)-=-+=-a+b.故选A.
题型三　平面向量基本定理的应用
[例3] 如图,在△ABC中,中线AD,BE,CF相交于点G,点G称为△ABC的重心,那么AG∶GD是(　　)
[A] 3∶2 [B] 2∶1 [C] 3∶1 [D] 4∶3
【答案】 B
【解析】 因为AD为△ABC的中线,
所以=+,
设=m,则=,
故=+,
所以=+,
因为=2,
所以=+,
因为B,G,E三点共线,可设=n,
则-=n(-),
故=n+(1-n),
故=1-n,=n,
相加得+=1,
解得m=2,故AG∶GD=2∶1.故选B.
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即可.
[变式训练] 如图,在梯形ABCD中,M在线段BD上,||=k||.若=+,则k等于(　　)
[A] [B] - [C] - [D]
【答案】 D
【解析】 由题意可设=λ(0≤λ≤1),
则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,
又=+,且,不共线,
可得解得λ=,即=,
所以||=||,即k=.故选D.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列组合中:①与,②与,③与,④与,可作为表示平行四边形ABCD所在平面所有向量的基底的是(　　)
[A] ①② [B] ①③ [C] ①④ [D] ③④
【答案】 B
【解析】 ①,不共线可以作为基底,②∥,不可以作为基底;③,不共线可以作为基底,④∥,不可以作为基底.故可以作为所在平面所有向量的基底的是①③.故选B.
2.如图,在△ABC中,点M,N满足 =,=3,则等于(　　)
[A] +
[B] -
[C] -+
[D] --
【答案】 C
【解析】 =+=+=+(-)=-.故选C.
3.e1,e2是平面内不共线两向量,已知=e1-ke2,=3e1+4e2,=4e1+e2,若A,B,D三点共线,则k的值为(　　)
[A] 3 [B] -3 [C] -2 [D] 2
【答案】 A
【解析】 由=3e1+4e2,=4e1+e2,得=-=e1-3e2,由A,B,D三点共线,得∥,又=e1-ke2,e1,e2不共线,则存在λ,使=λ,即e1-ke2=λ(e1-3e2),则所以k=3.故选A.
4.如图,O为△ABC内一点,D为BC的中点,=a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a+b+c
[B] -a+b+c
[C] a-b-c
[D] -a-b-c
【答案】 B
【解析】 =+=+++=++=-a+b+c.故选B.
5.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系是(　　)
[A] x+y-2=0 [B] 2x+y-1=0
[C] x+2y-2=0 [D] 2x+y-2=0
【答案】 A
【解析】 由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,所以消去λ得x+y=2.故选A.
6.在△ABC中,D为BC中点,=λ,=+,若=+,则λ等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 选择{,}为平面向量的一组基底.
因为D为BC中点,所以=+.
又=+=(+)+
=(+λ)+(+)
=[+λ(-)]+(+)
=+.
由 λ=.故选C.
7.(5分)已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　 　　　　.(用a,b表示)
【答案】 2a-2b
【解析】 设c=λa+μb,则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,
因为e1,e2不共线,所以
解得故c=2a-2b.
8.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,延长AB,交DC的延长线于点E,若=x+,则x=　 .
【答案】
【解析】 由于∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,
所以∠BAC=∠BEC,所以AC=EC,
所以AB=BE,
过D作DF⊥AE,垂足为F,则BC∥DF,
由于=x+,
所以===+1=,
=,所以x=.
9.(13分)如图,已知点M,N,P分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且=,=
,=.设=a,=b,选择基{a,b},试写出向量,,在此基下的分解式.
【解】 根据题意,得==(-)=(b-a),=-=-b,
所以=+=(b-a)-b=-a+b.
同理=+=a+(b-a)=a+b,
=-=a-b.
10.(14分)在△ABC中,点D,E分别在边BC和边AB上,且DC=2BD,BE=2AE,AD交CE于点P,设=a,=b.
(1)若=t,求实数t;
(2)试用a,b表示;
(3)点F在边AC上,且满足B,P,F三点共线,试确定点F的位置.
【解】 (1)在△ABC中,由BE=2AE,DC=2BD,
可得=,且=3,
因为=t,
则=(1-t)+t=(1-t)·+t·3,
又P,A,D三点共线,可得(1-t)+3t=1,
解得t=.
(2)由(1)得,=(1-t)·+t,
因为=a,=b,
当t=时,
=(1-)·+=a+b.
(3)设=x=x(a-b),
所以=+=xa+(1-x)b,
因为=a+b,又B,P,F三点共线,
所以=k,
所以解得x=,
所以F满足AF=AC.
11.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是线段CD的中点,线段AE与线段BD交于F,则(　　)
[A] =2
[B] =-
[C] =+
[D] =
【答案】 ACD
【解析】对于选项A,由已知条件可知=2,则A正确;
对于选项B,=-,则B错误;
对于选项C,连接AC,因为E是线段CD的中点,
所以=+=(+)+=++=+,则C正确;
对于选项D,设=λ,点B,F,D三点共线,则存在m,使得=m,
=+=+=+(-)=(1-)+,
λ=λ(+)=λ+λ,
所以消去m得1-λ=λ,
解得λ=,所以=,则D正确.故选ACD.
12.(5分)设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λe2与b=-e1+2e2共线的充要条件是 λ=　　　　.
【答案】 -2
【解析】 依题意a与b共线,应满足a=mb(m∈R),
即e1+λe2=m(-e1+2e2),
又e1,e2不共线,所以解得λ=-2.
13.(17分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,=,=,AC与EF交于点G,记=a,=b.
(1)试用基底{a,b}表示,;
(2)记△ABC的面积为S1,△CEG的面积为S2,求的值.
【解】 (1)由题图可知=+,
因为AB∥CD,AB=2CD,
所以=+=a+b.
因为=,=,
所以=+=+
=+(-)=-
=-(+)=-
=a-b.
(2)由AC与EF交于点G,
可设=λ,=μ.
=-=λ-(+)
=λ(a+b)-(b+a)
=a+(λ-1)b,
又μ=a-b,
则解得
设△ABC边AB上的高为h1,△CEG边CE上的高为h2,
则==6,
则==18.(共30张PPT)
6.3　平面向量基本
定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养.2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内 向量的一个基底.
不共线
任一
有且只有一对
所有
对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值.
(3)e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量.
『知识拓展』
基础自测
1.若已知e1,e2是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是(　　)
[A] e1与-e2 [B] 3e1与2e2
[C] e1+e2与e1-e2 [D] e1与2e1
D
【解析】 若e1,e2是平面上的一组基底,则e1,e2不共线,据此可得ABC选项所对应向量组均不共线,可作为基底.D选项,e1与2e1共线,则不可以作为一组基底.故选D.
C
关键能力·素养培优
题型一　对基底概念的理解
[例1] 如果{e1,e2}表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是(　　)
[A] e2,e1-2e2 [B] e1+2e2,e2+2e1
[C] e1-3e2,6e2-2e1 [D] e1-e2,e1-3e2
C
·解题策略·
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.
(2)一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=
x2a+y2b,则x1=x2且y1=y2.
[变式训练] 下列关于基底的说法正确的序号是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底;
②基底中的向量可以是零向量;
③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
[A] ①② [B] ①③ [C] ②③ [D] ①②③
B
【解析】 对于①,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底(只要不共线就行),正确;对于②,零向量和任何一个向量都平行,不能作为基底,错误;对于③,由平面向量基本定理知,基底确定,分解形式也唯一确定,正确,所以①③正确.故选B.
题型二　用基底表示平面向量
·解题策略·
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量进行不断转化,直至用基底表示
为止.
(2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
A
题型三　平面向量基本定理的应用
[例3] 如图,在△ABC中,中线AD,BE,CF相交于点G,点G称为△ABC的重心,那么AG∶GD是(　　)
[A] 3∶2 [B] 2∶1
[C] 3∶1 [D] 4∶3
B
·解题策略·
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即可.
D
感谢观看6.3.1　平面向量基本定理
【课程标准要求】　1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养.2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识拓展
对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值.
(3)e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量.
基础自测
1.若已知e1,e2是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是(　　)
[A] e1与-e2 [B] 3e1与2e2
[C] e1+e2与e1-e2 [D] e1与2e1
2.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ-μ,则λ等于(　　)
[A] -1 [B] 1
[C] [D]
则则=+,
于是=+=+(+)=+,而=λ-μ,
所以λ=.故选C.
3.(人教A版必修第二册P27练习T2改编)在 ABCD中,=a,=b,若M是BC的中点,则=　　　　.(用a,b表示)
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以=+,=+=-,
所以=(+),
=(-).
又M为BC的中点,所以=.
得=+=+
=(+)+(-)
=+,
所以=a+b.
题型一　对基底概念的理解
[例1] 如果{e1,e2}表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是(　　)
[A] e2,e1-2e2 [B] e1+2e2,e2+2e1
[C] e1-3e2,6e2-2e1 [D] e1-e2,e1-3e2
对于A,向量e2和e1-2e2,不存在实数λ1,使得e2=λ1(e1-2e2),可以作为一个基底;
对于B,向量e1+2e2,e2+2e1,假设存在实数λ2,使得e1+2e2=λ2(e2+2e1),可得此时方程组无解,所以e1+2e2和e2+2e1可以作为基底;
对于C,向量e1-3e2和6e2-2e1,假设存在实数λ3,使得e1-3e2=λ3(6e2-2e1),
可得解得λ3=-,所以e1-3e2和6e2-2e1不可以作为基底;
对于D,向量e1-e2和e1-3e2,假设存在实数λ4,使得e1-e2=λ4(e1-3e2),可得此时方程组无解,所以e1-e2和e1-3e2可以作为基底.故选C.
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.
(2)一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2且y1=y2.
[变式训练] 下列关于基底的说法正确的序号是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底;
②基底中的向量可以是零向量;
③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
[A] ①② [B] ①③ [C] ②③ [D] ①②③
题型二　用基底表示平面向量
[例2] (人教B版必修第二册P161例5)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,试用基底{a,b}分别表示下列向量:
(1);
(2).
从而=+
=+
=+(-)
=+=a+b.
(2)因为△DEF∽△BEA,而且==,
所以DF=AB,
于是=+=+=b+a.
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量进行不断转化,直至用基底表示为止.
(2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
[变式训练] 如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,DM与AC交于点N,设=a,=b,则等于(　　)
[A] -a+b [B] a-b
[C] -a+b [D] a-b
又DM与AC交于点N,所以△ANM∽△CND,
则==,所以=,
又=a,=b,所以=-=-=(+)-=-+=-a+b.故选A.
题型三　平面向量基本定理的应用
[例3] 如图,在△ABC中,中线AD,BE,CF相交于点G,点G称为△ABC的重心,那么AG∶GD是(　　)
[A] 3∶2 [B] 2∶1 [C] 3∶1 [D] 4∶3
所以=+,
设=m,则=,
故=+,
所以=+,
因为=2,
所以=+,
因为B,G,E三点共线,可设=n,
则-=n(-),
故=n+(1-n),
故=1-n,=n,
相加得+=1,
解得m=2,故AG∶GD=2∶1.故选B.
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即可.
[变式训练] 如图,在梯形ABCD中,M在线段BD上,||=k||.若=+,则k等于(　　)
[A] [B] - [C] - [D]
则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,
又=+,且,不共线,
可得解得λ=,即=,
所以||=||,即k=.故选D.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列组合中:①与,②与,③与,④与,可作为表示平行四边形ABCD所在平面所有向量的基底的是(　　)
[A] ①② [B] ①③ [C] ①④ [D] ③④
2.如图,在△ABC中,点M,N满足 =,=3,则等于(　　)
[A] +
[B] -
[C] -+
[D] --
3.e1,e2是平面内不共线两向量,已知=e1-ke2,=3e1+4e2,=4e1+e2,若A,B,D三点共线,则k的值为(　　)
[A] 3 [B] -3 [C] -2 [D] 2
4.如图,O为△ABC内一点,D为BC的中点,=a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a+b+c
[B] -a+b+c
[C] a-b-c
[D] -a-b-c
5.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系是(　　)
[A] x+y-2=0 [B] 2x+y-1=0
[C] x+2y-2=0 [D] 2x+y-2=0
6.在△ABC中,D为BC中点,=λ,=+,若=+,则λ等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
因为D为BC中点,所以=+.
又=+=(+)+
=(+λ)+(+)
=[+λ(-)]+(+)
=+.
由 λ=.故选C.
7.(5分)已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　 　　　　.(用a,b表示)
因为e1,e2不共线,所以
解得故c=2a-2b.
8.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,延长AB,交DC的延长线于点E,若=x+,则x=　 .
所以∠BAC=∠BEC,所以AC=EC,
所以AB=BE,
过D作DF⊥AE,垂足为F,则BC∥DF,
由于=x+,
所以===+1=,
=,所以x=.
9.(13分)如图,已知点M,N,P分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且=,=
,=.设=a,=b,选择基{a,b},试写出向量,,在此基下的分解式.
所以=+=(b-a)-b=-a+b.
同理=+=a+(b-a)=a+b,
=-=a-b.
10.(14分)在△ABC中,点D,E分别在边BC和边AB上,且DC=2BD,BE=2AE,AD交CE于点P,设=a,=b.
(1)若=t,求实数t;
(2)试用a,b表示;
(3)点F在边AC上,且满足B,P,F三点共线,试确定点F的位置.
可得=,且=3,
因为=t,
则=(1-t)+t=(1-t)·+t·3,
又P,A,D三点共线,可得(1-t)+3t=1,
解得t=.
(2)由(1)得,=(1-t)·+t,
因为=a,=b,
当t=时,
=(1-)·+=a+b.
(3)设=x=x(a-b),
所以=+=xa+(1-x)b,
因为=a+b,又B,P,F三点共线,
所以=k,
所以解得x=,
所以F满足AF=AC.
11.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是线段CD的中点,线段AE与线段BD交于F,则(　　)
[A] =2
[B] =-
[C] =+
[D] =
对于选项B,=-,则B错误;
对于选项C,连接AC,因为E是线段CD的中点,
所以=+=(+)+=++=+,则C正确;
对于选项D,设=λ,点B,F,D三点共线,则存在m,使得=m,
=+=+=+(-)=(1-)+,
λ=λ(+)=λ+λ,
所以消去m得1-λ=λ,
解得λ=,所以=,则D正确.故选ACD.
12.(5分)设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λe2与b=-e1+2e2共线的充要条件是 λ=　　　　.
即e1+λe2=m(-e1+2e2),
又e1,e2不共线,所以解得λ=-2.
13.(17分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,=,=,AC与EF交于点G,记=a,=b.
(1)试用基底{a,b}表示,;
(2)记△ABC的面积为S1,△CEG的面积为S2,求的值.
因为AB∥CD,AB=2CD,
所以=+=a+b.
因为=,=,
所以=+=+
=+(-)=-
=-(+)=-
=a-b.
(2)由AC与EF交于点G,
可设=λ,=μ.
=-=λ-(+)
=λ(a+b)-(b+a)
=a+(λ-1)b,
又μ=a-b,
则解得
设△ABC边AB上的高为h1,△CEG边CE上的高为h2,
则==6,
则==18.

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