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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
【课程标准要求】　1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
知识点一　平面向量的正交分解
　把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
如果基底的两个向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底,在正交基底下分解向量,称为正交分解,而正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.
知识点二　平面向量的坐标表示
1.基底
在平面直角坐标系中,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.
2.坐标
对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
3.坐标表示
a=(x,y).
4.特殊向量的坐标
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
对平面向量坐标的理解
(1)在直角坐标系中(x,y)有双重意义,它既可以表示一个固定的点,也可以表示一个向量.
(2)要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的,但始点、终点的坐标可以不同.
知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示
　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
数学公式 文字表述
向量 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量=(x2-x1,y2-y1),即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
基础自测
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于(　　)
[A] (-2,1) [B] (2,-1)
[C] (2,0) [D] (4,3)
【答案】 B
【解析】 由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故选B.
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量 的坐标是(　　)
[A] (-4,)
[B] (4,-)
[C] (-8,1)
[D] (8,1)
【答案】 C
【解析】 =-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).故选C.
3.(人教A版必修第二册P30练习T2改编)若A(3,1),B(2,-1),则的坐标是(　　)
[A] (-2,-1) [B] (2,1)
[C] (1,2) [D] (-1,-2)
【答案】 C
【解析】 =(3,1)-(2,-1)=(1,2).故选C.
4.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则a+b+c=　　　　.
【答案】 (2,3)
【解析】 a+b+c=(-2+3+1,2-4+5)=(2,3).
题型一　向量的正交分解及坐标表示
[例1] 在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=　　　　,
b=　　　　.
【答案】 (,)　(-,)
【解析】 设点A(x,y),B(x0,y0),
因为|a|=2,且∠AOx=45°,
所以x=2cos 45°=,y=2sin 45°=.
因为|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
所以x0=3cos 120°=-,
y0=3sin 120°=.
故a==(,),b==(-,).
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
[变式训练] 设{i,j}为一组标准正交基,已知=3i-2j,=4i+j,=8i-9j.若=4a,求a在基底{i,j}下的坐标.
【解】 因为=++=(3i-2j)+(4i+j)+(8i-9j)=15i-10j,
又=4a,所以a=i-j.
因此a在基底{i,j}下的坐标为(,-).
题型二　向量加、减运算的坐标表示
[例2] (苏教版必修第二册P31例2)如图,已知点A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),D(3,4),求向量,,,的坐标.
【解】 =(-1,3),=(1,-3),
=-=(1,-3),
=(3,4)-(4,1)=(-1,3).
[变式训练] 已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量 等于(　　)
[A] (-7,-4) [B] (7,4)
[C] (-1,4) [D] (1,4)
【答案】 A
【解析】 设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),即x=-4,y=-2,
故C(-4,-2),则=(-7,-4).故选A.
题型三　向量坐标运算的应用
[例3] 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上 在y轴上 在第三象限
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
【解】 (1)因为=(1,2),=(3,3),
所以=+t=(1+3t,2+3t)
若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;
若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;
若点P在第三象限,则解得t<-.
(2)不能.理由:若四边形OABP为平行四边形,
则=,
所以
因为该方程组无解,
所以四边形OABP不能成为平行四边形.
利用向量判断平行四边形的方法
利用向量判断四边形是否为平行四边形主要基于向量的平行和相等性质,如果一个四边形的对边向量相等,则该四边形为平行四边形.
[变式训练] 如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求点B的坐标.
【解】 (1)作AM⊥x轴于点M,
则OM=OA·cos 45°=4×=2,
AM=OA·sin 45°=4×=2.
所以A(2,2),故a=(2,2).
因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.
又OC=AB=3,所以C(-,),
所以==(-,),
即b=(-,).
(2)=+=(2,2)+(-,)=(2-,2+).
所以点B的坐标为(2-,2+).
(分值:95分)
单选每题5分.
1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基,则向量a,b的坐标分别是(　　)
[A] (3,4),(2,-2) [B] (2,3),(-2,-3)
[C] (2,3),(2,-2) [D] (3,4),(-2,-3)
【答案】 C
【解析】 根据平面直角坐标系可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,所以a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
2.如图所示,向量的坐标是(　　)
[A] (1,1)
[B] (-1,-2)
[C] (2,3)
[D] (-2,-3)
【答案】 D
【解析】 由题图知M(1,1),N(-1,-2),
则=(-1-1,-2-1)=(-2,-3).故选D.
3.已知向量=(1,-5),=(-2,1),则等于(　　)
[A] (4,-6) [B] (-1,-4)
[C] (-2,4) [D] (2,-4)
【答案】 B
【解析】 =+=(-1,-4).
故选B.
4.如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
【答案】 A
【解析】 由题意得,a=(cos )i+(sin )j=(,).故选A.
5.在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(3,5),=(-1,2),则+等于(　　)
[A] (-2,4) [B] (4,6)
[C] (-6,-2) [D] (-1,9)
【答案】 A
【解析】 在平行四边形ABCD中,因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3).又=(-1,2),所以=+=(1,5),=-=(-3,-1),所以+=(-2,4).故选A.
6.已知=a,=b,C为线段AB上距A较近的一个三等分点,D为线段CB上距C较近的一个三等分点,则在基底{a,b}下的坐标为(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
【答案】 A
【解析】 =+=+=+×=,
而=-=b-a,所以=b-a,
所以=+=a+(b-a)=a+b,
所以在基底{a,b}下的坐标为(,).
故选A.
7.(5分)若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+=　　　　.
【答案】 (-1,6)
【解析】 法一　由题意得=(2,3),=(-3,3).所以+=(2,3)+(-3,3)=(-1,6).
法二　+==(-1,6).
8.(5分)已知向量a=(2m,m),b=(n,-2n),若a+b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　.
【答案】 -3
【解析】 因为a+b=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
所以所以
所以m-n=2-5=-3.
9.(13分)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),求的坐标.
【解】 因为=+,
所以=-=(-1,-1),
所以=-=(-3,-5).
所以的坐标为(-3,-5).
10.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).若++=0,求的坐标.
【解】 设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
11.向量=(7,-5),将 按向量a=(3,6)平移后得到向量,则的坐标形式为(　　)
[A] (10,1) [B] (4,-11)
[C] (7,-5) [D] (3,6)
【答案】 C
【解析】 与方向相同且长度相等,故==(7,-5).故选C.
12.(5分)已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),点B(3,2-2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,则点P的坐标为　　　　　　.
【答案】 (-1,2-2)
【解析】 由题意得=(2,-2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转(即按逆时针方向旋转)后得到点P,则=(2cos +2sin ,2sin -2cos )=(-2,-2),
又A(1,2),设P(x,y),
则解得x=-1,y=2-2,即点P的坐标为(-1,2-2).
13.(17分)如图,已知O是平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=4.
(1)求的坐标;
(2)若四边形ABCD为平行四边形,求点D的坐标.
【解】 (1)过点B作BE⊥x轴于点E,如图所示.
因为∠OAB=120°,
所以∠EAB=60°,
又||=2,
所以在Rt△ABE中,AE=1,
BE=,
又||=4,
所以A(4,0),B(5,),
所以=(1,).
(2)过点C作CF⊥x轴于点F,过点B作BM⊥CF于点M,如图所示.
在Rt△CMB中,||=4,∠CBM=60°,
所以BM=2,CM=2,
所以CF=CM+MF=CM+BE=3,
OF=OE-BM=3,即C(3,3),
设点D(x,y),
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,
又=(1,),=(3-x,3-y),
所以解得
所以点D的坐标为(2,2).(共28张PPT)
6.3.2　平面向量的
正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相 的向量,叫做把向量作正交分解.
垂直
如果基底的两个向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底,在正交基底下分解向量,称为正交分解,而正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.
·温馨提示·
知识点二　平面向量的坐标表示
1.基底
在平面直角坐标系中,设与x轴,y轴方向相同的两个 分别为i,j,取{i,j}作为基底.
2.坐标
对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对 叫做向量a的 .
单位向量
(x,y)
坐标
3.坐标表示
a= .
4.特殊向量的坐标
i= ,j= ,0= .
(x,y)
(x,y)
(0,1)
(0,0)
对平面向量坐标的理解
(1)在直角坐标系中(x,y)有双重意义,它既可以表示一个固定的点,也可以表示一个向量.
(2)要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的,但始点、终点的坐标可以不同.
·疑难解惑·
知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
数学公式 文字表述
向量 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
·温馨提示·
基础自测
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于(　　)
[A] (-2,1) [B] (2,-1)
[C] (2,0) [D] (4,3)
B
【解析】 由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故选B.
C
[A] (-2,-1) [B] (2,1)
[C] (1,2) [D] (-1,-2)
C
4.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则a+b+c=　　　　.
(2,3)
【解析】 a+b+c=(-2+3+1,2-4+5)=(2,3).
关键能力·素养培优
题型一　向量的正交分解及坐标表示
[例1] 在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=
　　　　,b=　　　 　.
·解题策略·
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
题型二　向量加、减运算的坐标表示
[A] (-7,-4) [B] (7,4)
[C] (-1,4) [D] (1,4)
A
题型三　向量坐标运算的应用
(1)t为何值时,P在x轴上 在y轴上 在第三象限
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
·解题策略·
利用向量判断平行四边形的方法
利用向量判断四边形是否为平行四边形主要基于向量的平行和相等性质,如果一个四边形的对边向量相等,则该四边形为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求点B的坐标.
感谢观看6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
【课程标准要求】　1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
知识点一　平面向量的正交分解
　把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
如果基底的两个向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底,在正交基底下分解向量,称为正交分解,而正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.
知识点二　平面向量的坐标表示
1.基底
在平面直角坐标系中,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.
2.坐标
对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
3.坐标表示
a=(x,y).
4.特殊向量的坐标
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
对平面向量坐标的理解
(1)在直角坐标系中(x,y)有双重意义,它既可以表示一个固定的点,也可以表示一个向量.
(2)要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的,但始点、终点的坐标可以不同.
知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示
　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
数学公式 文字表述
向量 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量=(x2-x1,y2-y1),即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
基础自测
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于(　　)
[A] (-2,1) [B] (2,-1)
[C] (2,0) [D] (4,3)
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量 的坐标是(　　)
[A] (-4,)
[B] (4,-)
[C] (-8,1)
[D] (8,1)
3.(人教A版必修第二册P30练习T2改编)若A(3,1),B(2,-1),则的坐标是(　　)
[A] (-2,-1) [B] (2,1)
[C] (1,2) [D] (-1,-2)
4.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则a+b+c=　　　　.
题型一　向量的正交分解及坐标表示
[例1] 在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=　　　　,
b=　　　　.
因为|a|=2,且∠AOx=45°,
所以x=2cos 45°=,y=2sin 45°=.
因为|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
所以x0=3cos 120°=-,
y0=3sin 120°=.
故a==(,),b==(-,).
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
[变式训练] 设{i,j}为一组标准正交基,已知=3i-2j,=4i+j,=8i-9j.若=4a,求a在基底{i,j}下的坐标.
又=4a,所以a=i-j.
因此a在基底{i,j}下的坐标为(,-).
题型二　向量加、减运算的坐标表示
[例2] (苏教版必修第二册P31例2)如图,已知点A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),D(3,4),求向量,,,的坐标.
=-=(1,-3),
=(3,4)-(4,1)=(-1,3).
[变式训练] 已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量 等于(　　)
[A] (-7,-4) [B] (7,4)
[C] (-1,4) [D] (1,4)
故C(-4,-2),则=(-7,-4).故选A.
题型三　向量坐标运算的应用
[例3] 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上 在y轴上 在第三象限
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
所以=+t=(1+3t,2+3t)
若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;
若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;
若点P在第三象限,则解得t<-.
(2)不能.理由:若四边形OABP为平行四边形,
则=,
所以
因为该方程组无解,
所以四边形OABP不能成为平行四边形.
利用向量判断平行四边形的方法
利用向量判断四边形是否为平行四边形主要基于向量的平行和相等性质,如果一个四边形的对边向量相等,则该四边形为平行四边形.
[变式训练] 如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求点B的坐标.
则OM=OA·cos 45°=4×=2,
AM=OA·sin 45°=4×=2.
所以A(2,2),故a=(2,2).
因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.
又OC=AB=3,所以C(-,),
所以==(-,),
即b=(-,).
(2)=+=(2,2)+(-,)=(2-,2+).
所以点B的坐标为(2-,2+).
(分值:95分)
单选每题5分.
1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基,则向量a,b的坐标分别是(　　)
[A] (3,4),(2,-2) [B] (2,3),(-2,-3)
[C] (2,3),(2,-2) [D] (3,4),(-2,-3)
2.如图所示,向量的坐标是(　　)
[A] (1,1)
[B] (-1,-2)
[C] (2,3)
[D] (-2,-3)
则=(-1-1,-2-1)=(-2,-3).故选D.
3.已知向量=(1,-5),=(-2,1),则等于(　　)
[A] (4,-6) [B] (-1,-4)
[C] (-2,4) [D] (2,-4)
故选B.
4.如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
5.在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(3,5),=(-1,2),则+等于(　　)
[A] (-2,4) [B] (4,6)
[C] (-6,-2) [D] (-1,9)
6.已知=a,=b,C为线段AB上距A较近的一个三等分点,D为线段CB上距C较近的一个三等分点,则在基底{a,b}下的坐标为(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
而=-=b-a,所以=b-a,
所以=+=a+(b-a)=a+b,
所以在基底{a,b}下的坐标为(,).
故选A.
7.(5分)若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+=　　　　.
法二　+==(-1,6).
8.(5分)已知向量a=(2m,m),b=(n,-2n),若a+b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　.
所以所以
所以m-n=2-5=-3.
9.(13分)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),求的坐标.
所以=-=(-1,-1),
所以=-=(-3,-5).
所以的坐标为(-3,-5).
10.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).若++=0,求的坐标.
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
11.向量=(7,-5),将 按向量a=(3,6)平移后得到向量,则的坐标形式为(　　)
[A] (10,1) [B] (4,-11)
[C] (7,-5) [D] (3,6)
12.(5分)已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),点B(3,2-2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,则点P的坐标为　　　　　　.
又A(1,2),设P(x,y),
则解得x=-1,y=2-2,即点P的坐标为(-1,2-2).
13.(17分)如图,已知O是平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=4.
(1)求的坐标;
(2)若四边形ABCD为平行四边形,求点D的坐标.
因为∠OAB=120°,
所以∠EAB=60°,
又||=2,
所以在Rt△ABE中,AE=1,
BE=,
又||=4,
所以A(4,0),B(5,),
所以=(1,).
(2)过点C作CF⊥x轴于点F,过点B作BM⊥CF于点M,如图所示.
在Rt△CMB中,||=4,∠CBM=60°,
所以BM=2,CM=2,
所以CF=CM+MF=CM+BE=3,
OF=OE-BM=3,即C(3,3),
设点D(x,y),
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,
又=(1,),=(3-x,3-y),
所以解得
所以点D的坐标为(2,2).

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