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6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
【课程标准要求】　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a=(x,y),则λa=(λx,λy),即:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
向量共线的坐标形式可简记为:纵横交错积相减,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的.
基础自测
1.下列各组向量中,不共线的是(　　)
[A] e1=(2,2),e2=(1,1)
[B] e1=(1,-2),e2=(4,-8)
[C] e1=(1,0),e2=(0,-1)
[D] e1=(1,-2),e2=(-,1)
【答案】 C
【解析】 对于A,因为2×1-2×1=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线;
对于B,因为1×(-8)-(-2)×4=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线;
对于C,因为1×(-1)-0×0=-1≠0,
所以e1,e2不共线;
对于D,因为1×1-(-2)×(-)=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线.故选C.
2.如果向量a=(1,2),b=(4,3),那么a-2b等于(　　)
[A] (9,8) [B] (-7,-4)
[C] (7,4) [D] (-9,-9)
【答案】 B
【解析】 由题意,a-2b=(1,2)-2(4,3)=(-7,-4).故选B.
3.(人教A版必修第二册P33练习T2改编)已知向量a=(-3,2),b=(1,x),若a∥b,则x等于(　　)
[A] [B] [C] - [D] -
【答案】 D
【解析】 因为a∥b,则-3x=2,得x=-.故选D.
4.已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为　　　　.
【答案】 (4,-6)
【解析】 向量a=(1,-3),b=(-2,4),
若4a+(3b-2a)+c=0,
则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
所以向量c的坐标为(4,-6).
题型一　数乘运算的坐标表示
[例1] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及 的坐标.
【解】 法一　由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
所以=3=3(1,8)=(3,24),
=2=2(6,3)=(12,6).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则=(x1+3,y1+4)=(3,24),
则x1=0,y1=20;
=(x2+3,y2+4)=(12,6),
则x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2),
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
法二　设点O为坐标原点,
则由=3,=2,
可得-=3(-),
-=2(-),
从而=3-2,
=2-,
所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
即点M(0,20),N(9,2),
故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
[变式训练] 已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为　　　　.
【答案】 (5,4)
【解析】 设O为坐标原点,所以=(-1,-5),因为a=(2,3),所以=3a=(6,9),故=+=(5,4),故点B的坐标为(5,4).
题型二　向量共线的坐标表示及应用
[例2] 下列各组向量中,共线的是(　　)
[A] a=(-2,3),b=(4,6)
[B] a=(2,3),b=(3,2)
[C] a=(1,-2),b=(7,14)
[D] a=(-3,2),b=(6,-4)
【答案】 D
【解析】 A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,所以a与b不共线;
B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,所以a与b不共线;
C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,所以a与b不共线;
D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,所以a与b共线,故选D.
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
[变式训练] 下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是(　　)
[A] e1=(0,0),e2=(1,-2)
[B] e1=(-1,2),e2=(5,7)
[C] e1=(3,5),e2=(6,10)
[D] e1=(2,-3),e2=(,-)
【答案】 B　
【解析】 A选项,因为e1=0,e1∥e2,所以不可以作为基底;
B选项,因为-1×7-2×5=-17≠0,所以e1与e2不共线,故可以作为基底;
C选项,3×10-5×6=0,e1∥e2,故不可以作为基底;
D选项,2×(-)-(-3)×=0,所以e1∥e2,不可以作为基底.故选B.
题型三　三点共线问题
[例3] (北师大版必修第二册P104例8)已知O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k).当k为何值时,A,B,C三点共线
【解】 依题意,得
=-=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
=-=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).
要使A,B,C三点共线,只需,共线,即
(4-k)(k-5)-6×(-7)=0.
解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成,一是证明向量平行,二是证明两个向量有公共点.
[变式训练] 已知点A(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三点共线,则的坐标为(　　)
[A] (-2,2) [B] (2,-2)
[C] (2,2) [D] (-2,-2)
【答案】 D
【解析】 由题意可知=(m-6,-2),=(2,m-2),由于A,B,C三点共线,所以与共线,所以(m-6)(m-2)=-4 (m-4)2=0 m=4,所以=(-2,-2).故选D.
培优拓展2　定比分点坐标公式
　有向线段的定比分点坐标公式及应用
若线段P1P2的端点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是直线P1P2上的一点,则当=λ时,点P的坐标为(,)(λ≠-1),定比分点坐标公式是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
[典例](苏教版必修第二册P32例4)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且=λ(λ≠-1),求点P的坐标.
【解】 设点P的坐标为(x,y),则
=(x-x1,y-y1),=(x2-x,y2-y),
由=λ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),于是
因为λ≠-1,所以
因此,点P的坐标为(,).
当λ=1时,就得到线段P1P2的中点M(x,y)的坐标公式
[跟踪训练] 已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且=,P又是OB的中点,则点B的坐标为(　　)
[A] (4,2) [B] (-4,-2)
[C] (2,4) [D] (4,-2)
【答案】 A　
【解析】 设P(x,y),则=(6-x,3-y),=(x,y),
由=,则
即P(2,1),
设B(a,b),因为P是OB的中点,
所以
解得即B(4,2).
故选A.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知向量a=(1,-6),b=(-1,0),则a+3b等于(　　)
[A] (-2,-6) [B] (-2,6)
[C] (-1,-6) [D] (4,-6)
【答案】 A
【解析】 因为a=(1,-6),b=(-1,0),所以a+3b=(-2,-6).故选A.
2.下列向量中,与向量a=(1,-4)共线的是(　　)
[A] (2,8) [B] (4,1)
[C] (-,2) [D] (2,-1)
【答案】 C
【解析】 与向量a=(1,-4)共线的向量(x,y)需满足y=-4x,故ABD错误,C正确.故选C.
3.已知a=(0,1),b=(1,2),c=(2,3),则(　　)
[A] a+b=c [B] a+c=2b
[C] 2a+b=c [D] a+2b=c
【答案】 B
【解析】 A选项,a+b=(1,3)≠c,故A错误;B选项,a+c=(2,4)=2b,故B正确;
C选项,2a+b=(1,4)≠c,故C错误;D选项,a+2b=(2,5)≠c,故D错误.故选B.
4.若向量=(2,5),=(m,m+1),且A,B,C三点共线,则m等于(　　)
[A] - [B]
[C] - [D]
【答案】 B
【解析】 由A,B,C三点共线,得∥,得2(m+1)-5m=0,解得m=.故选B.
5.已知平面向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,t),若(a+c)∥b,则t等于(　　)
[A] [B] -
[C] - [D] -
【答案】 B
【解析】 因为a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,t),
所以a+c=(-1+t,2+t).
又(a+c)∥b,
所以3×(2+t)=(-2)×(-1+t),
解得t=-.
故选B.
6.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ等于(　　)
[A] -1 [B] 0 [C] 1 [D] 2
【答案】 B
【解析】 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),
所以
且
解得即a=(1,2),b=(2,1).
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),
则解得故λ+μ=0.故选B.
7.(5分)设向量a=(1,x-1),b=(x+1,3),且 a与 b共线,则x=　　　　.
【答案】 ±2
【解析】 因为a=(1,x-1),b=(x+1,3),且a与b共线,所以(x-1)(x+1)=1×3=3,解得x=±2.
8.(5分)已知A(-1,-2),B(1,8),C(x,)三点共线,若=λ,则λ=　　　　,x=　　　　.
【答案】 3　
【解析】 因为A(-1,-2),B(1,8),C(x,),
所以=(x+1,),=(1-x,),
因为=λ,所以
9.(13分)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
(1)若=,求D点的坐标;
(2)设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值.
【解】 (1)设D(x,y),
则=(1,-5),=(x-4,y-1).
因为=,
所以(1,-5)=(x-4,y-1),
即解得
所以D点的坐标为(5,-4).
(2)由题意得a==(1,-5),b==(2,3),
所以ka-b=(k-2,-5k-3),
a+3b=(7,4).
因为(ka-b)∥(a+3b),
所以4(k-2)=7(-5k-3),
解得k=-.
10.(15分)已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求λ与y的值.
【解】 (1)设B(x1,y1),
因为=(4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3),
所以所以所以B(3,1).
同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
所以M(-,-1).
(2)由=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
又=λ(λ∈R),
所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),
所以所以
11.已知点A(1,0),B(2,2),向量=4,则等于(　　)
[A] (1,2) [B] (,)
[C] (,) [D] (-3,-1)
【答案】 C
【解析】 依题意,由定比分点公式得λ=4,
所以C(,),即C(,),
所以=(-1,-0)=(,).故选C.
12.已知在平面直角坐标系Oxy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若=λ+(1-λ),则λ等于(　　)
[A] -3 [B] 3 [C] 1 [D] -1
【答案】 D
【解析】 设=(x,y),因为向量与向量a=(1,-1)共线,所以x+y=0,
所以=(x,-x),
又=λ+(1-λ),
则(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即
所以4λ-1+3-2λ=0,
解得λ=-1.故选D.
13.(17分)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1).
(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标;
(2)若E(m,n)是线段AC上一动点,求(m-2)2+n2的取值范围.
【解】(1)设D(x,y)(x,y>0),
依题意可得=,
又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),
所以=(4,4),=(x+1,y-1),
所以解得即D(3,5).
(2)设=λ,λ∈[0,1],
则(m+2,n+4)=λ(1,5),
所以则
所以(m-2)2+n2=(λ-4)2+(5λ-4)2=26λ2-48λ+32=26(λ-)2+.
因为λ∈[0,1],
所以当λ=时,(m-2)2+n2取最小值,
当λ=0时,(m-2)2+n2取最大值32,
所以(m-2)2+n2的取值范围为[,32].6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
【课程标准要求】　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a=(x,y),则λa=(λx,λy),即:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
向量共线的坐标形式可简记为:纵横交错积相减,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的.
基础自测
1.下列各组向量中,不共线的是(　　)
[A] e1=(2,2),e2=(1,1)
[B] e1=(1,-2),e2=(4,-8)
[C] e1=(1,0),e2=(0,-1)
[D] e1=(1,-2),e2=(-,1)
所以e1∥e2,e1,e2共线;
对于B,因为1×(-8)-(-2)×4=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线;
对于C,因为1×(-1)-0×0=-1≠0,
所以e1,e2不共线;
对于D,因为1×1-(-2)×(-)=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线.故选C.
2.如果向量a=(1,2),b=(4,3),那么a-2b等于(　　)
[A] (9,8) [B] (-7,-4)
[C] (7,4) [D] (-9,-9)
3.(人教A版必修第二册P33练习T2改编)已知向量a=(-3,2),b=(1,x),若a∥b,则x等于(　　)
[A] [B] [C] - [D] -
4.已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为　　　　.
若4a+(3b-2a)+c=0,
则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
所以向量c的坐标为(4,-6).
题型一　数乘运算的坐标表示
[例1] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及 的坐标.
可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
所以=3=3(1,8)=(3,24),
=2=2(6,3)=(12,6).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则=(x1+3,y1+4)=(3,24),
则x1=0,y1=20;
=(x2+3,y2+4)=(12,6),
则x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2),
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
法二　设点O为坐标原点,
则由=3,=2,
可得-=3(-),
-=2(-),
从而=3-2,
=2-,
所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
即点M(0,20),N(9,2),
故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
[变式训练] 已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为　　　　.
题型二　向量共线的坐标表示及应用
[例2] 下列各组向量中,共线的是(　　)
[A] a=(-2,3),b=(4,6)
[B] a=(2,3),b=(3,2)
[C] a=(1,-2),b=(7,14)
[D] a=(-3,2),b=(6,-4)
B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,所以a与b不共线;
C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,所以a与b不共线;
D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,所以a与b共线,故选D.
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
[变式训练] 下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是(　　)
[A] e1=(0,0),e2=(1,-2)
[B] e1=(-1,2),e2=(5,7)
[C] e1=(3,5),e2=(6,10)
[D] e1=(2,-3),e2=(,-)
B选项,因为-1×7-2×5=-17≠0,所以e1与e2不共线,故可以作为基底;
C选项,3×10-5×6=0,e1∥e2,故不可以作为基底;
D选项,2×(-)-(-3)×=0,所以e1∥e2,不可以作为基底.故选B.
题型三　三点共线问题
[例3] (北师大版必修第二册P104例8)已知O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k).当k为何值时,A,B,C三点共线
=-=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
=-=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).
要使A,B,C三点共线,只需,共线,即
(4-k)(k-5)-6×(-7)=0.
解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成,一是证明向量平行,二是证明两个向量有公共点.
[变式训练] 已知点A(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三点共线,则的坐标为(　　)
[A] (-2,2) [B] (2,-2)
[C] (2,2) [D] (-2,-2)
培优拓展2　定比分点坐标公式
　有向线段的定比分点坐标公式及应用
若线段P1P2的端点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是直线P1P2上的一点,则当=λ时,点P的坐标为(,)(λ≠-1),定比分点坐标公式是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
[典例](苏教版必修第二册P32例4)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且=λ(λ≠-1),求点P的坐标.
=(x-x1,y-y1),=(x2-x,y2-y),
由=λ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),于是
因为λ≠-1,所以
因此,点P的坐标为(,).
当λ=1时,就得到线段P1P2的中点M(x,y)的坐标公式
[跟踪训练] 已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且=,P又是OB的中点,则点B的坐标为(　　)
[A] (4,2) [B] (-4,-2)
[C] (2,4) [D] (4,-2)
由=,则
即P(2,1),
设B(a,b),因为P是OB的中点,
所以
解得即B(4,2).
故选A.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知向量a=(1,-6),b=(-1,0),则a+3b等于(　　)
[A] (-2,-6) [B] (-2,6)
[C] (-1,-6) [D] (4,-6)
2.下列向量中,与向量a=(1,-4)共线的是(　　)
[A] (2,8) [B] (4,1)
[C] (-,2) [D] (2,-1)
3.已知a=(0,1),b=(1,2),c=(2,3),则(　　)
[A] a+b=c [B] a+c=2b
[C] 2a+b=c [D] a+2b=c
C选项,2a+b=(1,4)≠c,故C错误;D选项,a+2b=(2,5)≠c,故D错误.故选B.
4.若向量=(2,5),=(m,m+1),且A,B,C三点共线,则m等于(　　)
[A] - [B]
[C] - [D]
5.已知平面向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,t),若(a+c)∥b,则t等于(　　)
[A] [B] -
[C] - [D] -
所以a+c=(-1+t,2+t).
又(a+c)∥b,
所以3×(2+t)=(-2)×(-1+t),
解得t=-.
故选B.
6.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ等于(　　)
[A] -1 [B] 0 [C] 1 [D] 2
又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),
所以
且
解得即a=(1,2),b=(2,1).
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),
则解得故λ+μ=0.故选B.
7.(5分)设向量a=(1,x-1),b=(x+1,3),且 a与 b共线,则x=　　　　.
8.(5分)已知A(-1,-2),B(1,8),C(x,)三点共线,若=λ,则λ=　　　　,x=　　　　.
所以=(x+1,),=(1-x,),
因为=λ,所以
9.(13分)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
(1)若=,求D点的坐标;
(2)设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值.
则=(1,-5),=(x-4,y-1).
因为=,
所以(1,-5)=(x-4,y-1),
即解得
所以D点的坐标为(5,-4).
(2)由题意得a==(1,-5),b==(2,3),
所以ka-b=(k-2,-5k-3),
a+3b=(7,4).
因为(ka-b)∥(a+3b),
所以4(k-2)=7(-5k-3),
解得k=-.
10.(15分)已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求λ与y的值.
因为=(4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3),
所以所以所以B(3,1).
同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
所以M(-,-1).
(2)由=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
又=λ(λ∈R),
所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),
所以所以
11.已知点A(1,0),B(2,2),向量=4,则等于(　　)
[A] (1,2) [B] (,)
[C] (,) [D] (-3,-1)
所以C(,),即C(,),
所以=(-1,-0)=(,).故选C.
12.已知在平面直角坐标系Oxy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若=λ+(1-λ),则λ等于(　　)
[A] -3 [B] 3 [C] 1 [D] -1
所以=(x,-x),
又=λ+(1-λ),
则(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即
所以4λ-1+3-2λ=0,
解得λ=-1.故选D.
13.(17分)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1).
(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标;
(2)若E(m,n)是线段AC上一动点,求(m-2)2+n2的取值范围.
依题意可得=,
又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),
所以=(4,4),=(x+1,y-1),
所以解得即D(3,5).
(2)设=λ,λ∈[0,1],
则(m+2,n+4)=λ(1,5),
所以则
所以(m-2)2+n2=(λ-4)2+(5λ-4)2=26λ2-48λ+32=26(λ-)2+.
因为λ∈[0,1],
所以当λ=时,(m-2)2+n2取最小值,
当λ=0时,(m-2)2+n2取最大值32,
所以(m-2)2+n2的取值范围为[,32].(共28张PPT)
6.3.4　平面向量
数乘运算的坐标表示
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a=(x,y),则λa= ,即:实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当 时,向量a,b
(b≠0)共线.
(λx,λy)
乘原来向量的相应坐标
x1y2-x2y1=0
向量共线的坐标形式可简记为:纵横交错积相减,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的.
·温馨提示·
基础自测
1.下列各组向量中,不共线的是(　　)
[A] e1=(2,2),e2=(1,1)
[B] e1=(1,-2),e2=(4,-8)
[C] e1=(1,0),e2=(0,-1)
C
【解析】 对于A,因为2×1-2×1=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线;
对于B,因为1×(-8)-(-2)×4=0,
所以e1∥e2,e1,e2共线;
对于C,因为1×(-1)-0×0=-1≠0,
所以e1,e2不共线;
B
2.如果向量a=(1,2),b=(4,3),那么a-2b等于(　　)
[A] (9,8) [B] (-7,-4)
[C] (7,4) [D] (-9,-9)
【解析】 由题意,a-2b=(1,2)-2(4,3)=(-7,-4).故选B.
3.(人教A版必修第二册P33练习T2改编)已知向量a=(-3,2),b=(1,x),若a∥b,则x等于(　　)
D
4.已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为　　　　.
(4,-6)
【解析】 向量a=(1,-3),b=(-2,4),
若4a+(3b-2a)+c=0,
则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
所以向量c的坐标为(4,-6).
关键能力·素养培优
题型一　数乘运算的坐标表示
(5,4)
题型二　向量共线的坐标表示及应用
[例2] 下列各组向量中,共线的是(　　)
[A] a=(-2,3),b=(4,6)
[B] a=(2,3),b=(3,2)
[C] a=(1,-2),b=(7,14)
[D] a=(-3,2),b=(6,-4)
D
【解析】 A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,所以a与b不共线;
B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,所以a与b不共线;
C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,所以a与b不共线;
D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,所以a与b共线,故选D.
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
·解题策略·
[变式训练] 下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是(　　)
[A] e1=(0,0),e2=(1,-2)
[B] e1=(-1,2),e2=(5,7)
[C] e1=(3,5),e2=(6,10)
B
题型三　三点共线问题
·解题策略·
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成,一是证明向量平行,二是证明两个向量有公共点.
[A] (-2,2) [B] (2,-2)
[C] (2,2) [D] (-2,-2)
D
培优拓展2　定比分点坐标公式
有向线段的定比分点坐标公式及应用
[A] (4,2) [B] (-4,-2)
[C] (2,4) [D] (4,-2)
A
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