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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
【课程标准要求】　1.通过推导数量积的坐标运算培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直,进一步发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.
(2)向量垂直:a,b是非零向量,a⊥b x1x2+y1y2=0.
知识点二　平面向量的模与夹角的坐标表示
(1)向量的模:设a=(x,y),则|a|=.
(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
(3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则
cos θ==.
向量a的单位向量的坐标表示
设a=(x,y),表示a方向上的单位向量,其坐标为(,).
基础自测
1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),则a·b的值为(　　)
[A] -4 [B] 7 [C] -6 [D] -8
【答案】 D
【解析】 因为a=(3,-2),b=(-2,1),所以a·b=-6-2=-8.故选D.
2.已知向量a=(2,-3),b=(m,2),且a⊥b,则m等于(　　)
[A] -3 [B] 3 [C] [D] -
【答案】 B
【解析】 因为a⊥b,所以a·b=2m-6=0,解得m=3.故选B.
3.(人教A版必修第二册P36练习T3改编)已知平面向量a=(2,1),b=(2,4),则向量a,b夹角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] - [D] -
【答案】 B
【解析】 因为a=(2,1),b=(2,4),所以cos===.故选B.
4.已知向量a=(1,2),b=(4,3),则a·(2a-b)=　　 　　.
【答案】 0
【解析】 因为a=(1,2),b=(4,3),
所以2a-b=(-2,1),
所以a·(2a-b)=1×(-2)+2×1=0.
题型一　向量数量积的坐标表示
[例1] (1)在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0),B(1,1),则·=　　　　.
(2)在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则·=　　　　.
【答案】(1)1　(2)3
【解析】(1)如图所示,在正方形OABC中,A(0,1),C(1,0)(当然两者位置可互换,不影响最终结果),
则=(1,0),=(1,-1),
从而·=1×1+0×(-1)=1.
(2)设AC,BD相交于点O,
则=+=+
=(,1)+(-,1)
=(-1,2).
又=(1,2),所以·=-1+4=3.
平面向量数量积坐标运算的两条途径
一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
[变式训练] 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则(a+b)·c等于(　　)
[A] 11 [B] 7 [C] 3 [D] -1
【答案】 C
【解析】以向量a的起点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
则a=(0,2),b=(3-1,1-0)=(2,1),c=(5-2,2-3)=(3,-1),
所以(a+b)·c=(2,3)·(3,-1)=6-3=3.故选C.
题型二　平面向量的模
[例2] 已知平面向量a=(m,2),b=(1,m),(a+b)·b=|b|2,则实数m=　　　　.
【答案】 0
【解析】 由题意可得a+b=(m+1,m+2),
故(a+b)·b=(m+1)×1+(m+2)×m=m2+3m+1,|b|2=b·b=m2+1,即m2+3m+1=m2+1,所以m=0.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:
利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[变式训练] 已知向量a,b满足a=(1,2),b=(-2,1),则|a+b|等于(　　)
[A] [B]
[C] 3 [D] 4
【答案】 A
【解析】 因为a+b=(-1,3),所以|a+b|==.故选A.
题型三　向量的夹角与垂直问题
[例3] (1)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(0,-1),θ∈(0,),则向量a与向量b的夹角为(　　)
[A] π-θ [B] -θ
[C] θ [D] +θ
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于(　　)
[A] -2 [B] -1 [C] 1 [D] 2
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)设向量a与向量b的夹角为α,
由题意,得=1,=1,a·b=-sin θ,
所以cos α=-sin θ=cos(+θ).
因为+θ∈(,π),α∈[0,π],所以α=+θ,
即向量a与向量b的夹角为+θ.故选D.
(2)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2-4x=0,故x=2.故选D.
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=计算出这两个向量的模.
(3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值.
(4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ.
[变式训练] (1)已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),则cos等于(　　)
[A] [B]
[C] [D] -
(2)已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(-2,m),若(b+c)⊥(a+3b),则实数m=　　　　.
【答案】 (1)A　(2)-7
【解析】 (1)因为a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),
所以|a|=,b-c=(2,-2),
则a·(b-c)=4,|b-c|=2,
故cos===.故选A.
(2)由题可知b+c=(-3,1+m),a+3b=(-2,1).
因为(b+c)⊥(a+3b),
所以(b+c)·(a+3b)=0,即6+(m+1)=0,
解得m=-7.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a·b=4,则实数m等于(　　)
[A] - [B] 0 [C] 1 [D]
【答案】 D
【解析】 向量a=(1,m),b=(m,2),则a·b=m+2m=3m=4,解得m=.
故选D.
2.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则a与b的夹角为(　　)
[A] [B] [C] [D] π
【答案】 C
【解析】 由向量a=(1,1),b=(1,-1),可得a·b=1×1+1×(-1)=0,所以a⊥b,
所以a与b的夹角为.故选C.
3.已知向量a=(1,2),b=(m,2-m),若a⊥b,则|b|等于(　　)
[A] [B] 2
[C] 2 [D] 20
【答案】 B
【解析】 由a⊥b,得m+4-2m=0,则m=4,即b=(4,-2),
所以|b|==2.故选B.
4.已知向量a=(-1,λ),b=(2,1),若(2a-b)⊥(a+2b),则实数λ的值为(　　)
[A] 2或- [B] -2或
[C] 2或 [D] -2或-
【答案】 A
【解析】 由题意可知(2a-b)·(a+2b)=0.因为2a-b=(-4,2λ-1),a+2b=(3,λ+2),
所以-4×3+(2λ-1)(λ+2)=0,整理得2λ2+3λ-14=0,解得λ=2或λ=-.故选A.
5.已知a=(1,),b=(2,0),则a在b上的投影向量为(　　)
[A] (1,0) [B] (,0)
[C] (,) [D] (,)
【答案】 A
【解析】 由题意,a在b上的投影向量为·=×·(2,0)=(1,0).故选A.
6.在边长为2的正六边形ABCDEF中,·等于(　　)
[A] 6 [B] -6 [C] 3 [D] -3
【答案】 B
【解析】 正六边形ABCDEF中,每个内角都是120°,∠FEA=∠FAE=30°,有EA⊥AB,
以A为原点,AB为x轴,AE为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
因为AB=AF=2,
cos 120°=-,
sin 120°=,则有F(-1,),
所以A(0,0),B(2,0),C(3,),
=(3,),=(-3,),
由平面向量数量积的运算可得·=3×(-3)+×=-9+3=-6.
故选B.
7.(5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(, ),则|2a-b|等于　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2,
a-b=(, ),
所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=5,
解得a·b=0,
所以|2a-b|==2.
8.(5分)已知向量a,b不共线,a=(2,1),a⊥(b-a),写出一个符合条件的向量b的坐标为　.
【答案】 (1,3)(答案不唯一)
【解析】 由题意得|a|2=5,a·(b-a)=a·b-a2=0,则a·b=5.设b=(x,y),得2x+y=5,且x≠2y,故满足条件的向量b的坐标可以为(1,3).
9.(13分)已知A(7,1),B(3,2),C(4,6),=.
(1)求点D的坐标和|+|;
(2)求·.
【解】 (1)由题意得B(3,2),C(4,6),
所以=(1,4),
又=,所以=(1,4).
又=(-4,1),
所以+=(-4,1)+(1,4)=(-3,5),
所以|+|==.
(2)由(1)知,=(-3,5),=(1,4),
所以·=-3×1+5×4=17.
10.(15分)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a.
(1)求|a+b|;
(2)求a-b与a的夹角.
【解】 (1)因为向量a=(-1,3),b=(x,2),
所以a-2b=(-1-2x,-1),
由(a-2b)⊥a得1+2x-3=0,解得x=1,
所以 b=(1,2).
又a+b=(0,5),
所以|a+b|==5.
(2)设向量a-b与向量a的夹角为θ,
因为a=(-1,3),a-b=(-2,1),
则cos θ===,
又0°≤θ≤180°,所以θ=45°,即向量a-b与向量a的夹角是45°.
11.已知a=(m,-1),b=(m-1,2),则“m=2”是“a⊥b”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 由a=(m,-1),b=(m-1,2),a⊥b,
得a·b=m(m-1)-2=0,解得m=-1或m=2,
所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.
故选A.
12.(5分)已知向量a=(1,t),b=(-3,1)且(2a+b)⊥b,则向量a在向量b方向上的投影向量为　　　　　　　.
【答案】 (,-)
【解析】 因为a=(1,t),b=(-3,1),
则a·b=-3+t,|b|==,
又(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=2a·b+b2=0,
即2(-3+t)+10=0,解得t=-2,
所以a·b=-5,
则向量a在向量b方向上的投影向量为·=·=(,-).
13.(17分)如图,已知点O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(12,8),点B的坐标为(-4,12),作BD⊥OA,垂足为点D.
(1)求||,||,||;
(2)求cos∠AOB;
(3)将绕点O逆时针旋转90°到′,求点A′的坐标;
(4)求||;
(5)求S△OAB.
【解】(1)|OA|=4,|OB|=4,|AB|=4.
(2)因为·=(12,8)·(-4,12)
=12×(-4)+8×12=48,
所以cos∠AOB=
=
=.
(3)记||=r,与x轴正方向的夹角为α,
则=(rcos α,rsin α),
=(rcos(α+),rsin(α+))=(-rsin α,rcos α),
由于点A的坐标为(12,8),那么rcos α=12,rsin α=8,
因此=(-8,12),即点A′的坐标为(-8,12).
(4)将向量投影到上,得到投影向量,
则||=||.
而||就是在方向上的投影||·cos∠A′OB的绝对值,
则||=||====.
(5)法一　S△OAB=|OA||BD|
=×4×=88.
法二　S△OAB=|OA||BD|
=|OA||OB|sin∠AOB
=|OA||OB|sin(90°-∠BOA′)
=|OA′||OB|cos∠BOA′
=·
=(-8,12)·(-4,12)
=88.6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
【课程标准要求】　1.通过推导数量积的坐标运算培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直,进一步发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.
(2)向量垂直:a,b是非零向量,a⊥b x1x2+y1y2=0.
知识点二　平面向量的模与夹角的坐标表示
(1)向量的模:设a=(x,y),则|a|=.
(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
(3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则
cos θ==.
向量a的单位向量的坐标表示
设a=(x,y),表示a方向上的单位向量,其坐标为(,).
基础自测
1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),则a·b的值为(　　)
[A] -4 [B] 7 [C] -6 [D] -8
2.已知向量a=(2,-3),b=(m,2),且a⊥b,则m等于(　　)
[A] -3 [B] 3 [C] [D] -
3.(人教A版必修第二册P36练习T3改编)已知平面向量a=(2,1),b=(2,4),则向量a,b夹角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] - [D] -
4.已知向量a=(1,2),b=(4,3),则a·(2a-b)=　　 　　.
所以2a-b=(-2,1),
所以a·(2a-b)=1×(-2)+2×1=0.
题型一　向量数量积的坐标表示
[例1] (1)在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0),B(1,1),则·=　　　　.
(2)在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则·=　　　　.
则=(1,0),=(1,-1),
从而·=1×1+0×(-1)=1.
(2)设AC,BD相交于点O,
则=+=+
=(,1)+(-,1)
=(-1,2).
又=(1,2),所以·=-1+4=3.
平面向量数量积坐标运算的两条途径
一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
[变式训练] 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则(a+b)·c等于(　　)
[A] 11 [B] 7 [C] 3 [D] -1
则a=(0,2),b=(3-1,1-0)=(2,1),c=(5-2,2-3)=(3,-1),
所以(a+b)·c=(2,3)·(3,-1)=6-3=3.故选C.
题型二　平面向量的模
[例2] 已知平面向量a=(m,2),b=(1,m),(a+b)·b=|b|2,则实数m=　　　　.
故(a+b)·b=(m+1)×1+(m+2)×m=m2+3m+1,|b|2=b·b=m2+1,即m2+3m+1=m2+1,所以m=0.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:
利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[变式训练] 已知向量a,b满足a=(1,2),b=(-2,1),则|a+b|等于(　　)
[A] [B]
[C] 3 [D] 4
题型三　向量的夹角与垂直问题
[例3] (1)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(0,-1),θ∈(0,),则向量a与向量b的夹角为(　　)
[A] π-θ [B] -θ
[C] θ [D] +θ
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于(　　)
[A] -2 [B] -1 [C] 1 [D] 2
由题意,得=1,=1,a·b=-sin θ,
所以cos α=-sin θ=cos(+θ).
因为+θ∈(,π),α∈[0,π],所以α=+θ,
即向量a与向量b的夹角为+θ.故选D.
(2)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2-4x=0,故x=2.故选D.
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=计算出这两个向量的模.
(3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值.
(4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ.
[变式训练] (1)已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),则cos等于(　　)
[A] [B]
[C] [D] -
(2)已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(-2,m),若(b+c)⊥(a+3b),则实数m=　　　　.
所以|a|=,b-c=(2,-2),
则a·(b-c)=4,|b-c|=2,
故cos===.故选A.
(2)由题可知b+c=(-3,1+m),a+3b=(-2,1).
因为(b+c)⊥(a+3b),
所以(b+c)·(a+3b)=0,即6+(m+1)=0,
解得m=-7.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a·b=4,则实数m等于(　　)
[A] - [B] 0 [C] 1 [D]
故选D.
2.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则a与b的夹角为(　　)
[A] [B] [C] [D] π
所以a与b的夹角为.故选C.
3.已知向量a=(1,2),b=(m,2-m),若a⊥b,则|b|等于(　　)
[A] [B] 2
[C] 2 [D] 20
所以|b|==2.故选B.
4.已知向量a=(-1,λ),b=(2,1),若(2a-b)⊥(a+2b),则实数λ的值为(　　)
[A] 2或- [B] -2或
[C] 2或 [D] -2或-
所以-4×3+(2λ-1)(λ+2)=0,整理得2λ2+3λ-14=0,解得λ=2或λ=-.故选A.
5.已知a=(1,),b=(2,0),则a在b上的投影向量为(　　)
[A] (1,0) [B] (,0)
[C] (,) [D] (,)
6.在边长为2的正六边形ABCDEF中,·等于(　　)
[A] 6 [B] -6 [C] 3 [D] -3
以A为原点,AB为x轴,AE为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
因为AB=AF=2,
cos 120°=-,
sin 120°=,则有F(-1,),
所以A(0,0),B(2,0),C(3,),
=(3,),=(-3,),
由平面向量数量积的运算可得·=3×(-3)+×=-9+3=-6.
故选B.
7.(5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(, ),则|2a-b|等于　　　　.
a-b=(, ),
所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=5,
解得a·b=0,
所以|2a-b|==2.
8.(5分)已知向量a,b不共线,a=(2,1),a⊥(b-a),写出一个符合条件的向量b的坐标为　.
9.(13分)已知A(7,1),B(3,2),C(4,6),=.
(1)求点D的坐标和|+|;
(2)求·.
所以=(1,4),
又=,所以=(1,4).
又=(-4,1),
所以+=(-4,1)+(1,4)=(-3,5),
所以|+|==.
(2)由(1)知,=(-3,5),=(1,4),
所以·=-3×1+5×4=17.
10.(15分)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a.
(1)求|a+b|;
(2)求a-b与a的夹角.
所以a-2b=(-1-2x,-1),
由(a-2b)⊥a得1+2x-3=0,解得x=1,
所以 b=(1,2).
又a+b=(0,5),
所以|a+b|==5.
(2)设向量a-b与向量a的夹角为θ,
因为a=(-1,3),a-b=(-2,1),
则cos θ===,
又0°≤θ≤180°,所以θ=45°,即向量a-b与向量a的夹角是45°.
11.已知a=(m,-1),b=(m-1,2),则“m=2”是“a⊥b”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
得a·b=m(m-1)-2=0,解得m=-1或m=2,
所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.
故选A.
12.(5分)已知向量a=(1,t),b=(-3,1)且(2a+b)⊥b,则向量a在向量b方向上的投影向量为　　　　　　　.
则a·b=-3+t,|b|==,
又(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=2a·b+b2=0,
即2(-3+t)+10=0,解得t=-2,
所以a·b=-5,
则向量a在向量b方向上的投影向量为·=·=(,-).
13.(17分)如图,已知点O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(12,8),点B的坐标为(-4,12),作BD⊥OA,垂足为点D.
(1)求||,||,||;
(2)求cos∠AOB;
(3)将绕点O逆时针旋转90°到′,求点A′的坐标;
(4)求||;
(5)求S△OAB.
(2)因为·=(12,8)·(-4,12)
=12×(-4)+8×12=48,
所以cos∠AOB=
=
=.
(3)记||=r,与x轴正方向的夹角为α,
则=(rcos α,rsin α),
=(rcos(α+),rsin(α+))=(-rsin α,rcos α),
由于点A的坐标为(12,8),那么rcos α=12,rsin α=8,
因此=(-8,12),即点A′的坐标为(-8,12).
(4)将向量投影到上,得到投影向量,
则||=||.
而||就是在方向上的投影||·cos∠A′OB的绝对值,
则||=||====.
(5)法一　S△OAB=|OA||BD|
=×4×=88.
法二　S△OAB=|OA||BD|
=|OA||OB|sin∠AOB
=|OA||OB|sin(90°-∠BOA′)
=|OA′||OB|cos∠BOA′
=·
=(-8,12)·(-4,12)
=88.(共27张PPT)
6.3.5　平面向量
数量积的坐标表示
1.通过推导数量积的坐标运算培养逻辑推理及数学运算的核心素养.2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直,进一步发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=
.
(2)向量垂直:a,b是非零向量,a⊥b .
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0
知识点二　平面向量的模与夹角的坐标表示
向量a的单位向量的坐标表示
·温馨提示·
基础自测
1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),则a·b的值为(　　)
[A] -4 [B] 7 [C] -6 [D] -8
D
【解析】 因为a=(3,-2),b=(-2,1),所以a·b=-6-2=-8.故选D.
2.已知向量a=(2,-3),b=(m,2),且a⊥b,则m等于(　　)
【解析】 因为a⊥b,所以a·b=2m-6=0,解得m=3.故选B.
B
3.(人教A版必修第二册P36练习T3改编)已知平面向量a=(2,1),b=(2,4),则向量a,b夹角的余弦值为(　　)
B
4.已知向量a=(1,2),b=(4,3),则a·(2a-b)=　　　　.
0
【解析】 因为a=(1,2),b=(4,3),
所以2a-b=(-2,1),
所以a·(2a-b)=1×(-2)+2×1=0.
关键能力·素养培优
题型一　向量数量积的坐标表示
1
3
平面向量数量积坐标运算的两条途径
一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
·解题策略·
[变式训练] 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则(a+b)·c等于(　　)
[A] 11 [B] 7 [C] 3 [D] -1
C
【解析】以向量a的起点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
则a=(0,2),b=(3-1,1-0)=(2,1),c=(5-2,2-3)=(3,-1),
所以(a+b)·c=(2,3)·(3,-1)=6-3=3.故选C.
题型二　平面向量的模
[例2] 已知平面向量a=(m,2),b=(1,m),(a+b)·b=|b|2,则实数m=　　　　.
0
【解析】 由题意可得a+b=(m+1,m+2),
故(a+b)·b=(m+1)×1+(m+2)×m=m2+3m+1,|b|2=b·b=m2+1,
即m2+3m+1=m2+1,所以m=0.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:
利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:
·解题策略·
[变式训练] 已知向量a,b满足a=(1,2),b=(-2,1),则|a+b|等于(　　)
A
题型三　向量的夹角与垂直问题
D
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于(　　)
[A] -2 [B] -1 [C] 1 [D] 2
D
【解析】(2)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2-4x=0,故x=2.故选D.
·解题策略·
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
(4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ.
[变式训练] (1)已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),则cos等于(　　)
A
(2)已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(-2,m),若(b+c)⊥(a+3b),则实数m=　　　.
-7
【解析】(2)由题可知b+c=(-3,1+m),a+3b=(-2,1).
因为(b+c)⊥(a+3b),
所以(b+c)·(a+3b)=0,即6+(m+1)=0,
解得m=-7.
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