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(共30张PPT)
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
1.通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程,体会数学建模及逻辑推理的核心素养.2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题,体验数学建模及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　向量方法在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
向量
向量运算
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算就可以达到解决几何问题的目的.
·温馨提示·
知识点二　向量在物理中的应用
用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
·疑难解惑·
基础自测
[A] 是正三角形 [B] 是直角三角形
[C] 是等腰三角形 [D] 形状无法确定
C
2.一个质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角且|F1|=2,|F2|=4,则|F3|等于(　　)
D
关键能力·素养培优
题型一　向量在几何证明中的应用
[例1] (人教B版必修第二册P174例2)如图所示,已知平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.
求证:四边形AECF是平行四边形.
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算的四个步骤
①选取基底.
②用基底表示相关向量.
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系.
④把计算所得结果转化为几何问题.
·解题策略·
(2)向量的坐标运算的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.
②把相关向量坐标化.
③用向量的坐标运算找到相应关系.
④利用向量关系回答几何问题.
·解题策略·
[变式训练] 在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,b),B(-a,0),
C(a,0)(且ab≠0),D为AB的中点,E为△ACD的重心,F为△ABC的外心.
(1)求重心E的坐标;
(2)用向量法证明:EF⊥CD.
题型二　向量在几何计算中的应用
D
利用向量法解决长度问题的策略
·解题策略·
[变式训练] 在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是(　　)
B
题型三　向量在物理中的应用
[例3] (苏教版必修第二册P41例1)如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,
OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大.
·解题策略·
利用向量知识来确定物理问题,应注意两方面:一方面是如何把物理问题转化成数学问题,即将物理问题抽象成数学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象.
感谢观看6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
【课程标准要求】　1.通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程,体会数学建模及逻辑推理的核心素养.2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题,体验数学建模及数学运算的核心素养.
知识点一　向量方法在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算就可以达到解决几何问题的目的.
知识点二　向量在物理中的应用
　用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
基础自测
1.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC(　　)
[A] 是正三角形 [B] 是直角三角形
[C] 是等腰三角形 [D] 形状无法确定
2.一个质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角且|F1|=2,|F2|=4,则|F3|等于(　　)
[A] 6 [B] 2 [C] 2 [D] 2
所以|F3|=|F1+F2|=
=
=
==2.
故选D.
3.(人教A版必修第二册P39练习T2改编)如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=2,CA=CB=3,若·+·=7,则与的夹角的余弦值等于　　　　.
所以·+·
=·(+)+·(+)
=||2+·+·+·
=7,
又因为(-)2=||2-2·+||2=||2=9,且CA=3,AB=2,
所以·=2,
所以·+·=1,而·=·(-),即·(-)=·=1,
又因为EF=2,CB=3,
所以cos<,>=.
题型一　向量在几何证明中的应用
[例1] (人教B版必修第二册P174例2)如图所示,已知平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.
求证:四边形AECF是平行四边形.
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算的四个步骤
①选取基底.
②用基底表示相关向量.
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系.
④把计算所得结果转化为几何问题.
(2)向量的坐标运算的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.
②把相关向量坐标化.
③用向量的坐标运算找到相应关系.
④利用向量关系回答几何问题.
[变式训练] 在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(且ab≠0),D为AB的中点,E为△ACD的重心,F为△ABC的外心.
(1)求重心E的坐标;
(2)用向量法证明:EF⊥CD.
由||=||,得(y-b)2=(-a)2+y2,
所以 y=,即F(0,).
所以=(-,-).
所以·=(-)×(-)+×(-)=0,所以⊥,即EF⊥CD.
题型二　向量在几何计算中的应用
[例2] 已知△ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),(,),则||为(　　)
[A] 4 [B]
[C] [D] 2
由条件可知即所以C(8,2).
因为所以所以B(2,0),
所以=(6,2),
故||==2.故选D.
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式,即若a=(x,y),则|a|=.
[变式训练] 在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是(　　)
[A] 2 [B]
[C] 3 [D]
故选B.
题型三　向量在物理中的应用
[例3] (苏教版必修第二册P41例1)如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大.
因为a,b的合力为c′=a+b,所以|c|=|c′|.
如图,在 OB′C′A′中,
因为⊥,=,
所以||>||,||>||,即|a|>|b|,|a|>|c|.
故细绳OA受力最大.
利用向量知识来确定物理问题,应注意两方面:一方面是如何把物理问题转化成数学问题,即将物理问题抽象成数学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象.
[变式训练] 有一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在水中的最大航速为4 km/h,问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头 用时多少
且当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头,根据题意知AC⊥AE,在Rt△ADE和 ACED中,||=||=2,||=4,∠AED=90°,所以||==2,又AB=,所以用时0.5 h,易知sin ∠EAD=,所以∠EAD=30°.
所以该船实际航行速度为4 km/h,与水流方向成120°角时能最快到达B码头,用时0.5 h.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(　　)
[A] 梯形 [B] 菱形
[C] 矩形 [D] 正方形
2.设a表示向东走了10 km,b表示向南走了5 km,则a+2b所表示的意义为(　　)
[A] 向东南走了10 km
[B] 向西南走了10 km
[C] 向东南走了5 km
[D] 向西南走了5 km
3.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)
[A] [B] [C] [D]
得+++=0,即=2,
所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),
故==.故选C.
4.物体受到一个水平向右的力F1及与它成60°角的另一个力F2的作用.已知F1的大小为2 N,它们的合力F与水平方向成30°角,则F2的大小为(　　)
[A] 3 N [B] N
[C] 2 N [D] N
所以∠BOC=∠BCO=30°,
所以OB=BC,
所以||=||,
所以F2和F1大小相等,都为2 N.故选C.
5.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的(　　)
[A] 三个内角的角平分线的交点
[B] 三条边的垂直平分线的交点
[C] 三条中线的交点
[D] 三条高线的交点
6.在四边形ABCD中,=(12,2),=(x,y),=(-4,-6).若∥,且⊥,则四边形ABCD的面积为(　　)
[A] 16 [B] 64 [C] 32 [D] 128
=+=(x-4,y-6).
因为∥,且⊥,
所以
解得或
所以||=16,||=8或||=8,||=16,
所以S四边形ABCD=||·||=64.故选B.
7.(5分)长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A′在A的正北方向,则游船正好到达A′处时,cos θ=　　　.
所以cos θ=-cos(180°-θ)=-=-.
8.(5分) 如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是　　　　.
设||=x,则||=1-x(0≤x≤1),
所以(+)·=2·=-2x(1-x)=2(x-)2-,
所以当x=时,(+)·取到最小值-.
9.(13分)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,用向量方法证明:AF⊥DE.
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,
=+=b+a,
所以·=(b+a)·(-a+b)
=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二　如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
则=(2,1),
=(1,-2).
因为·=2-2=0,
所以⊥,
即AF⊥DE.
10.(15分) 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
则=+=+=+(-)=+=a+b,
所以||2=(a+b)2=a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,故AD= .
(2)设∠DAC=θ,则θ为向量与的夹角.
因为cos θ=====0,所以θ=90°,即∠DAC=90°.
11.(5分)已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,且AB=3,CD=2,
∠ABC=45°,∠BCD=75°,则线段EF的长为　　　　.
则∠BHA=∠BCD=75°,
所以∠BAH=180°-45°-75°=60°,
则cos<,>=cos<,>=cos∠BAH=.
因为=++,=++,
又=-,=-,
所以2=+++++=+,
所以==++||·||cos<,>=+1+=,
所以||=.
12.(5分)如图,用三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,现测得∠AOB=120°,细绳OC所受的拉力大小为 N,细绳OA所受的拉力大小为2 N,则细绳OB所受的拉力大小为　　　　N.
即=-(+),
则=(+)2,
即=++2||·||·cos 120°.
设OB所受的拉力大小为x N,
所以7=4+x2-2×2x·,
所以x=3或x=-1(舍去),
即OB所受的拉力大小为3 N.
13.(17分)质量m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力|F|=10 N的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(取g=9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少
支持力FN与位移方向垂直,不做功,
所以WN=FN·s=0;
重力G对物体所做的功为
WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=2.0×9.8×2.0×cos 120°=-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4(J).6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
【课程标准要求】　1.通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程,体会数学建模及逻辑推理的核心素养.2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题,体验数学建模及数学运算的核心素养.
知识点一　向量方法在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算就可以达到解决几何问题的目的.
知识点二　向量在物理中的应用
　用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
基础自测
1.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC(　　)
[A] 是正三角形 [B] 是直角三角形
[C] 是等腰三角形 [D] 形状无法确定
【答案】 C
【解析】 (+)·(-)=||2-||2=0,即||=||,所以CA=CB,则△ABC是等腰三角形.故选C.
2.一个质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角且|F1|=2,|F2|=4,则|F3|等于(　　)
[A] 6 [B] 2 [C] 2 [D] 2
【答案】 D
【解析】 因为物体处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,即F3=-(F1+F2),
所以|F3|=|F1+F2|=
=
=
==2.
故选D.
3.(人教A版必修第二册P39练习T2改编)如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=2,CA=CB=3,若·+·=7,则与的夹角的余弦值等于　　　　.
【答案】
【解析】 因为=+,=+,
所以·+·
=·(+)+·(+)
=||2+·+·+·
=7,
又因为(-)2=||2-2·+||2=||2=9,且CA=3,AB=2,
所以·=2,
所以·+·=1,而·=·(-),即·(-)=·=1,
又因为EF=2,CB=3,
所以cos<,>=.
题型一　向量在几何证明中的应用
[例1] (人教B版必修第二册P174例2)如图所示,已知平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.
求证:四边形AECF是平行四边形.
【证明】由已知可设==a,==b,则=+=a+b,=+=b+a.又因为a+b=b+a,所以=,因此AEFC,从而可知四边形AECF是平行四边形.
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算的四个步骤
①选取基底.
②用基底表示相关向量.
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系.
④把计算所得结果转化为几何问题.
(2)向量的坐标运算的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.
②把相关向量坐标化.
③用向量的坐标运算找到相应关系.
④利用向量关系回答几何问题.
[变式训练] 在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(且ab≠0),D为AB的中点,E为△ACD的重心,F为△ABC的外心.
(1)求重心E的坐标;
(2)用向量法证明:EF⊥CD.
(1)【解】 如图,因为A(0,b),B(-a,0),C(a,0),所以D(-,),则由重心坐标公式,得E(,).
(2)【证明】 =(-,).易知△ABC的外心F在y轴上,可设为(0,y).
由||=||,得(y-b)2=(-a)2+y2,
所以 y=,即F(0,).
所以=(-,-).
所以·=(-)×(-)+×(-)=0,所以⊥,即EF⊥CD.
题型二　向量在几何计算中的应用
[例2] 已知△ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),(,),则||为(　　)
[A] 4 [B]
[C] [D] 2
【答案】 D
【解析】 设B(x1,y1),C(x2,y2),
由条件可知即所以C(8,2).
因为所以所以B(2,0),
所以=(6,2),
故||==2.故选D.
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式,即若a=(x,y),则|a|=.
[变式训练] 在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是(　　)
[A] 2 [B]
[C] 3 [D]
【答案】 B
【解析】 因为BC的中点为D(,6),=(-,5),所以||=.
故选B.
题型三　向量在物理中的应用
[例3] (苏教版必修第二册P41例1)如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大.
【解】 设OA,OB,OC三根绳子所受的力分别为a,b,c,则a+b+c=0.
因为a,b的合力为c′=a+b,所以|c|=|c′|.
如图,在 OB′C′A′中,
因为⊥,=,
所以||>||,||>||,即|a|>|b|,|a|>|c|.
故细绳OA受力最大.
利用向量知识来确定物理问题,应注意两方面:一方面是如何把物理问题转化成数学问题,即将物理问题抽象成数学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象.
[变式训练] 有一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在水中的最大航速为4 km/h,问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头 用时多少
【解】如图所示,设为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作 ACED,
且当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头,根据题意知AC⊥AE,在Rt△ADE和 ACED中,||=||=2,||=4,∠AED=90°,所以||==2,又AB=,所以用时0.5 h,易知sin ∠EAD=,所以∠EAD=30°.
所以该船实际航行速度为4 km/h,与水流方向成120°角时能最快到达B码头,用时0.5 h.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(　　)
[A] 梯形 [B] 菱形
[C] 矩形 [D] 正方形
【答案】 A
【解析】 因为=(3,3),=(-2,1),=(-2,-2),所以=-,所以与共线,且A,B,C三点不共线,又||≠||,所以该四边形为梯形.故选A.
2.设a表示向东走了10 km,b表示向南走了5 km,则a+2b所表示的意义为(　　)
[A] 向东南走了10 km
[B] 向西南走了10 km
[C] 向东南走了5 km
[D] 向西南走了5 km
【答案】 A
【解析】 a+2b可以表示向东走了10 km,再向南走了10 km,由勾股定理可知,a+2b所表示的意义为向东南走了10 km.故选A.
3.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由++=,
得+++=0,即=2,
所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),
故==.故选C.
4.物体受到一个水平向右的力F1及与它成60°角的另一个力F2的作用.已知F1的大小为2 N,它们的合力F与水平方向成30°角,则F2的大小为(　　)
[A] 3 N [B] N
[C] 2 N [D] N
【答案】 C
【解析】由题得∠AOB=60°,∠AOC=30°,
所以∠BOC=∠BCO=30°,
所以OB=BC,
所以||=||,
所以F2和F1大小相等,都为2 N.故选C.
5.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的(　　)
[A] 三个内角的角平分线的交点
[B] 三条边的垂直平分线的交点
[C] 三条中线的交点
[D] 三条高线的交点
【答案】 D
【解析】 因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,所以O为三条高线的交点.故选D.
6.在四边形ABCD中,=(12,2),=(x,y),=(-4,-6).若∥,且⊥,则四边形ABCD的面积为(　　)
[A] 16 [B] 64 [C] 32 [D] 128
【答案】 B
【解析】 =-(++)=(-x-8,4-y),=+=(x+12,y+2),
=+=(x-4,y-6).
因为∥,且⊥,
所以
解得或
所以||=16,||=8或||=8,||=16,
所以S四边形ABCD=||·||=64.故选B.
7.(5分)长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A′在A的正北方向,则游船正好到达A′处时,cos θ=　　　.
【答案】 -
【解析】若游船正好到达A′处,即和速度v与同向,则有|v2|=|v1|cos(180°-θ),
所以cos θ=-cos(180°-θ)=-=-.
8.(5分) 如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为点O是A,B的中点,所以+=2,
设||=x,则||=1-x(0≤x≤1),
所以(+)·=2·=-2x(1-x)=2(x-)2-,
所以当x=时,(+)·取到最小值-.
9.(13分)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,用向量方法证明:AF⊥DE.
【证明】 法一　设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,
=+=b+a,
所以·=(b+a)·(-a+b)
=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二　如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
则=(2,1),
=(1,-2).
因为·=2-2=0,
所以⊥,
即AF⊥DE.
10.(15分) 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
【解】 (1)设=a,=b,
则=+=+=+(-)=+=a+b,
所以||2=(a+b)2=a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,故AD= .
(2)设∠DAC=θ,则θ为向量与的夹角.
因为cos θ=====0,所以θ=90°,即∠DAC=90°.
11.(5分)已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,且AB=3,CD=2,
∠ABC=45°,∠BCD=75°,则线段EF的长为　　　　.
【答案】
【解析】 作AH∥CD,交BC于点H,
则∠BHA=∠BCD=75°,
所以∠BAH=180°-45°-75°=60°,
则cos<,>=cos<,>=cos∠BAH=.
因为=++,=++,
又=-,=-,
所以2=+++++=+,
所以==++||·||cos<,>=+1+=,
所以||=.
12.(5分)如图,用三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,现测得∠AOB=120°,细绳OC所受的拉力大小为 N,细绳OA所受的拉力大小为2 N,则细绳OB所受的拉力大小为　　　　N.
【答案】 3
【解析】 令OA,OB,OC的拉力分别为,,,因为三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,所以合力为零,即++=0,
即=-(+),
则=(+)2,
即=++2||·||·cos 120°.
设OB所受的拉力大小为x N,
所以7=4+x2-2×2x·,
所以x=3或x=-1(舍去),
即OB所受的拉力大小为3 N.
13.(17分)质量m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力|F|=10 N的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(取g=9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少
【解】(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN,如图所示,拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos 0=20(J);
支持力FN与位移方向垂直,不做功,
所以WN=FN·s=0;
重力G对物体所做的功为
WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=2.0×9.8×2.0×cos 120°=-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4(J).

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