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7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【课程标准要求】　通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,培养数学抽象及数学运算的核心素养.
知识点一　复数的有关概念
1.复数
(1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.
(2)表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义:全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示:通常用C表示.
对复数的概念的理解
复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
知识点二　复数的分类
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
知识点三　复数相等的充要条件
设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di a=c且b=d,a+bi=0 a=b=0.
复数相等的注意事项
虚数只能研究是否相等,不能比较大小,如果两个复数可以比较大小,则它们只能是实数,否则不能比较大小.
基础自测
1.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是(　　)
[A] ,1 [B] ,5
[C] ±,5 [D] ±,1
3.(多选题)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值可以为(　　)
[A] -1 [B] 2 [C] 1 [D] -2
所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.故选AB.
4.(人教A版必修第二册P70练习T3改编)已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0),则实数x=　　　　,y=　　　　.
所以
解得或(舍去).
题型一　复数的有关概念
[例1] (多选题)下列命题不正确的是(　　)
[A] 1-ai(a∈R)是一个复数
[B] 形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
[C] 两个复数一定不能比较大小
[D] 若a>b,则a+i>b+i
形如a+bi(b∈R)的数,当b=0时,它不是虚数,故B命题错误;
若两个复数全是实数,则可以比较大小,故C命题错误;
两个虚数不能比较大小,故D命题错误.
故选BCD.
(1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
[变式训练] 下列命题正确的个数是(　　)
①1+i2=0;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0;
④两个虚数不能比较大小.
[A] 1 [B] 2
[C] 0 [D] 3
两个虚数不能比较大小,故②错误;④正确.
当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错误.故选B.
题型二　复数的分类
[例2] (苏教版必修第二册P120例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是:
(1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3)当m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
[变式训练] 当实数m取什么值时,复数z=+(m2-2m)i是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
(2)当即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
(3)当即m=-3时,复数z是纯虚数.
题型三　复数相等
[例3] 求适合下列方程的实数x,y的值:
(1)(-4x+1)+(y+2)i=0;
(2)(x-2y)-(3x+y)i=3-6i.
(2)由题意得解得
解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.
[变式训练] 定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　 .
得a=1,b=-2,
所以复数z=a+bi=1-2i,
故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.复数z=sin +icos的实部与虚部分别为(　　)
[A] , [B] ,
[C] ,i [D] ,i
所以复数z的实部与虚部分别为,.
故选A.
2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值为(　　)
[A] -1 [B] ±1
[C] 1 [D] -2
所以m2-1=0且m2-m-2≠0,
解得m=1.故选C.
3.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于(　　)
[A] -3 [B] 3
[C] -1 [D] 1
4.若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi等于(　　)
[A] -2+i [B] 4+2i
[C] 1-2i [D] 1+2i
根据复数相等的充要条件得解得故x+yi=4+2i.故选B.
5.复数z=(a+1)+(a2-3)i,若z<0,则实数a的值是(　　)
[A] [B] - [C] -1 [D] 1
6.(多选题)下列说法正确的是(　　)
[A] 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等
[B] ai是纯虚数(a∈R)
[C] 如果复数x+yi(x,y∈R)是实数,那么x=0,y=0
[D] 复数a+bi(a,b∈R)可能是实数
7.(5分)设a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=　　　　.
解得a=-3.
8.(5分)已知复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,则z=　　　　.
所以
即
解得或
所以z=1+2i或z=2+i.
9.(13分)求使不等式λ2-(λ2-3λ)i<(λ2-4λ+3)i+10成立的实数λ的取值范围.
所以解得
所以λ=3,故λ的取值范围为{3}.
10.(15分)已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值时,z为下列数:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
所以当m=-2时,z是实数.
(2)由得m≠-1且m≠-2,
所以当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.
(3)由题意得
即解得m=0.
所以当m=0时,z是纯虚数.
11.复数z=a2+b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(　　)
[A] |a|=|b| [B] a<0且a=-b
[C] a>0且a≠b [D] a≤0
12.(5分)已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则 λ∈　　　　.
所以(2cos θ)2+λ+3sin θ=4,
从而λ=4sin2θ-3sin θ=4(sin θ-)2-,注意到sin θ的取值范围是[-1,1],所以λ=4(sin θ-)2-的取值范围是[-,7].
13.(16分)已知集合M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},讨论实数m取何值时:
(1)M∩N≠ ;
(2)M∪N=N.
所以2≠m2-2m+(m2+m-2)i,m∈R;
因为M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},所以2∈M,2∈N.
所以2∈M∩N,所以M∩N≠ 恒成立.
即无论实数m取何值,M∩N≠ 恒成立.
故m∈R.
(2)因为M∪N=N,所以M N.
因为M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},
所以m2-2m+(m2+m-2)i=-1或m2-2m+(m2+m-2)i=4i.
当m2-2m+(m2+m-2)i=-1时,
有解得m=1;
当m2-2m+(m2+m-2)i=4i时,
有
解得m=2.
综上所述,m=1或m=2.7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【课程标准要求】　通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,培养数学抽象及数学运算的核心素养.
知识点一　复数的有关概念
1.复数
(1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.
(2)表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义:全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示:通常用C表示.
对复数的概念的理解
复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
知识点二　复数的分类
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
知识点三　复数相等的充要条件
设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di a=c且b=d,a+bi=0 a=b=0.
复数相等的注意事项
虚数只能研究是否相等,不能比较大小,如果两个复数可以比较大小,则它们只能是实数,否则不能比较大小.
基础自测
1.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 i,(1-)i是纯虚数,2+,0.618是实数,8+5i是虚数.故选C.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是(　　)
[A] ,1 [B] ,5
[C] ±,5 [D] ±,1
【答案】 C
【解析】 令得a=±,b=5.故选C.
3.(多选题)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值可以为(　　)
[A] -1 [B] 2 [C] 1 [D] -2
【答案】 AB
【解析】 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,
所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.故选AB.
4.(人教A版必修第二册P70练习T3改编)已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0),则实数x=　　　　,y=　　　　.
【答案】 1　1
【解析】 因为x2-y2+2xyi=2i,
所以
解得或(舍去).
题型一　复数的有关概念
[例1] (多选题)下列命题不正确的是(　　)
[A] 1-ai(a∈R)是一个复数
[B] 形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
[C] 两个复数一定不能比较大小
[D] 若a>b,则a+i>b+i
【答案】 BCD
【解析】 由复数的定义可知A命题正确;
形如a+bi(b∈R)的数,当b=0时,它不是虚数,故B命题错误;
若两个复数全是实数,则可以比较大小,故C命题错误;
两个虚数不能比较大小,故D命题错误.
故选BCD.
(1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
[变式训练] 下列命题正确的个数是(　　)
①1+i2=0;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0;
④两个虚数不能比较大小.
[A] 1 [B] 2
[C] 0 [D] 3
【答案】 B
【解析】 因为i2=-1,所以1+i2=0,故①正确;
两个虚数不能比较大小,故②错误;④正确.
当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错误.故选B.
题型二　复数的分类
[例2] (苏教版必修第二册P120例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是:
(1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数
【解】 (1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3)当m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
[变式训练] 当实数m取什么值时,复数z=+(m2-2m)i是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【解】 (1)当即m=2时,复数z是实数.
(2)当即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
(3)当即m=-3时,复数z是纯虚数.
题型三　复数相等
[例3] 求适合下列方程的实数x,y的值:
(1)(-4x+1)+(y+2)i=0;
(2)(x-2y)-(3x+y)i=3-6i.
【解】 (1)由题意得解得
(2)由题意得解得
解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.
[变式训练] 定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　 .
【答案】 -2+i
【解析】 由a+2i=1-bi,
得a=1,b=-2,
所以复数z=a+bi=1-2i,
故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.复数z=sin +icos的实部与虚部分别为(　　)
[A] , [B] ,
[C] ,i [D] ,i
【答案】 A
【解析】 因为z=sin+icos=+i,
所以复数z的实部与虚部分别为,.
故选A.
2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值为(　　)
[A] -1 [B] ±1
[C] 1 [D] -2
【答案】 C
【解析】 由于z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,
所以m2-1=0且m2-m-2≠0,
解得m=1.故选C.
3.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于(　　)
[A] -3 [B] 3
[C] -1 [D] 1
【答案】 C
【解析】 易知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为-a,则a=-1.故选C.
4.若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi等于(　　)
[A] -2+i [B] 4+2i
[C] 1-2i [D] 1+2i
【答案】 B
【解析】 由i2=-1,得xi-2i2=2+xi,则2+xi=y+2yi,
根据复数相等的充要条件得解得故x+yi=4+2i.故选B.
5.复数z=(a+1)+(a2-3)i,若z<0,则实数a的值是(　　)
[A] [B] - [C] -1 [D] 1
【答案】 B
【解析】 能比较大小的两个数一定都是实数,故a2-3=0,解得a=±,又z<0,即a+1<0,所以a<-1,故a=-.故选B.
6.(多选题)下列说法正确的是(　　)
[A] 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等
[B] ai是纯虚数(a∈R)
[C] 如果复数x+yi(x,y∈R)是实数,那么x=0,y=0
[D] 复数a+bi(a,b∈R)可能是实数
【答案】 AD
【解析】 若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则它们的实部、虚部分别相等,即这两个复数相等,故A正确;当a=0时,ai=0是实数,故B错误;要使复数x+yi(x,y∈R)是实数,只需y=0,所以C错误;当b=0时,复数a+bi是实数,故D正确.故选AD.
7.(5分)设a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=　　　　.
【答案】 -3
【解析】 由题意知a-2=2a+1,
解得a=-3.
8.(5分)已知复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,则z=　　　　.
【答案】 1+2i或2+i
【解析】 因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+log2x·i=(1-log2y)i,
所以
即
解得或
所以z=1+2i或z=2+i.
9.(13分)求使不等式λ2-(λ2-3λ)i<(λ2-4λ+3)i+10成立的实数λ的取值范围.
【解】 因为只有两个复数都为实数时,才能比较大小,
所以解得
所以λ=3,故λ的取值范围为{3}.
10.(15分)已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值时,z为下列数:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【解】 (1)由得m=-2,
所以当m=-2时,z是实数.
(2)由得m≠-1且m≠-2,
所以当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.
(3)由题意得
即解得m=0.
所以当m=0时,z是纯虚数.
11.复数z=a2+b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(　　)
[A] |a|=|b| [B] a<0且a=-b
[C] a>0且a≠b [D] a≤0
【答案】 D
【解析】 复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.故选D.
12.(5分)已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则 λ∈　　　　.
【答案】 [-,7]
【解析】 由题意m=2cos θ,4-m2=λ+3sin θ,
所以(2cos θ)2+λ+3sin θ=4,
从而λ=4sin2θ-3sin θ=4(sin θ-)2-,注意到sin θ的取值范围是[-1,1],所以λ=4(sin θ-)2-的取值范围是[-,7].
13.(16分)已知集合M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},讨论实数m取何值时:
(1)M∩N≠ ;
(2)M∪N=N.
【解】 (1)因为M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},
所以2≠m2-2m+(m2+m-2)i,m∈R;
因为M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},所以2∈M,2∈N.
所以2∈M∩N,所以M∩N≠ 恒成立.
即无论实数m取何值,M∩N≠ 恒成立.
故m∈R.
(2)因为M∪N=N,所以M N.
因为M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},
所以m2-2m+(m2+m-2)i=-1或m2-2m+(m2+m-2)i=4i.
当m2-2m+(m2+m-2)i=-1时,
有解得m=1;
当m2-2m+(m2+m-2)i=4i时,
有
解得m=2.
综上所述,m=1或m=2.(共27张PPT)
第七章　复　数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,培养数学抽象及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　复数的有关概念
1.复数
(1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做 ,满足i2=
.
(2)表示方法:复数通常用字母z表示,即 ,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
虚数单位
-1
z=a+bi(a,b∈R)
2.复数集
(1)定义: 所构成的集合叫做复数集.
(2)表示:通常用C表示.
全体复数
·疑难解惑·
对复数的概念的理解
复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
知识点二　复数的分类
实数
虚数
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
知识点三　复数相等的充要条件
a=c且b=d
a=b=0
设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di ,a+bi=0 .
·温馨提示·
复数相等的注意事项
虚数只能研究是否相等,不能比较大小,如果两个复数可以比较大小,则它们只能是实数,否则不能比较大小.
基础自测
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
C
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
(　　)
C
3.(多选题)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值可以为(　 　)
[A] -1 [B] 2 [C] 1 [D] -2
AB
【解析】 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,
所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.故选AB.
4.(人教A版必修第二册P70练习T3改编)已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0),则实数x=　　　　,y=　　　　.
1
1
关键能力·素养培优
题型一　复数的有关概念
[例1] (多选题)下列命题不正确的是(　 　)
[A] 1-ai(a∈R)是一个复数
[B] 形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
[C] 两个复数一定不能比较大小
[D] 若a>b,则a+i>b+i
BCD
【解析】 由复数的定义可知A命题正确;
形如a+bi(b∈R)的数,当b=0时,它不是虚数,故B命题错误;
若两个复数全是实数,则可以比较大小,故C命题错误;
两个虚数不能比较大小,故D命题错误.
故选BCD.
·解题策略·
(1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
[变式训练] 下列命题正确的个数是(　　)
①1+i2=0;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0;
④两个虚数不能比较大小.
[A] 1 [B] 2
[C] 0 [D] 3
B
【解析】 因为i2=-1,所以1+i2=0,故①正确;
两个虚数不能比较大小,故②错误;④正确.
当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错误.故选B.
[例2] (苏教版必修第二册P120例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是:
(1)实数
题型二　复数的分类
【解】 (1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.
(2)虚数
【解】 (2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3)纯虚数
【解】 (3)当m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
·解题策略·
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
(2)虚数;
(3)纯虚数.
[例3] 求适合下列方程的实数x,y的值:
(1)(-4x+1)+(y+2)i=0;
题型三　复数相等
(2)(x-2y)-(3x+y)i=3-6i.
·解题策略·
解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.
[变式训练] 定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　 .
【解析】 由a+2i=1-bi,
得a=1,b=-2,
所以复数z=a+bi=1-2i,
故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.
-2+i
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