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7.1.2　复数的几何意义
【课程标准要求】　通过对复数及其几何意义的理解、复数模的运用、共轭复数的概念的理解,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　复平面
1.定义
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
2.实轴
在复平面内,x轴叫做实轴,实轴上的点都表示实数.
3.虚轴
在复平面内,y轴叫做虚轴,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
4.原点
复平面内的原点(0,0)表示实数0.
知识点二　复数的几何意义
1.复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b).
2.复数z=a+bi一一对应平面向量.
知识点三　复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于|a|(a的绝对值).
对复数模的理解
复数模的几何意义为复数z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.
知识点四　共轭复数
1.定义
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
2.表示
复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi.
共轭复数的性质
(1)互为共轭复数的两复数的模相等.
(2)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.
基础自测
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 C
【解析】 z=-1-2i在复平面内对应的点为Z(-1,-2),位于第三象限.
故选C.
2.(人教A版必修第二册P73习题7.1 T4改编)已知z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围是(　　)
[A] (-1,2) [B] (-2,1)
[C] (1,+∞) [D] (-∞,-2)
【答案】 B
【解析】 因为z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点位于第二象限,
所以m-1<0,m+2>0,解得-2故选B.
3.设复数z=i,则z的共轭复数为　　　　.
【答案】 -i
题型一　复数与复平面内点的关系
[例1] 设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 B
【解析】 复数z=-3+2i在复平面内对应的点的坐标为(-3,2),位于第二象限.故选B.
利用复数与复平面内点的对应关系解题
(1)找对应关系:复数的几何表示法,即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)表示,这是解决此类问题的依据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知复数z1=2-ai(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y=x+上,则复数z2=a+2i在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 B
【解析】 复数z1=2-ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(2,-a),因为该点在直线y=x+上,所以-a=+,解得a=-2.所以复数z2=-2+2i,它在复平面内对应的点的坐标为(-2,2),位于第二象限.故选B.
题型二　复数与复平面内向量的关系
[例2] 已知在复平面内,O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是(　　)
[A] -5+5i [B] 5-5i
[C] 5+5i [D] -5-5i
【答案】 B
【解析】 向量,对应的复数分别记作z1=2-3i,z2=-3+2i,
可得向量=(2,-3),=(-3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量
=-=(5,-5),
所以向量对应的复数是5-5i.故选B.
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化.
[变式训练] 在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),若⊥,则a=　　　　.
【答案】
【解析】 因为z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),
所以=(4,3),=(2a,-3).
因为⊥,所以8a=9,解得a=.
题型三　复数的模及其几何意义
[例3] (北师大版必修第二册P178例3)在复平面内,表示下列复数的点Z的集合是什么图形
(1)|z|=2;
(2)2≤|z|≤3.
【解】 (1)复数z的模等于2表明,向量的模等于2,即点Z到原点O的距离等于2,因此满足条件|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆(如图①).
(2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组
满足|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心、以3为半径的圆及其内部所有的点构成的集合;满足|z|≥2的点Z的集合是以原点O为圆心、以2为半径的圆及其外部所有的点构成的集合.因此,满足2≤|z|≤3的点Z的集合是这两个集合的交集,即以原点O为圆心,以2和3为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界(如图②).
复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z在复平面内对应的点Z与原点之间的距离,从而可以用数形结合解决有关的问题.
[变式训练] 已知复数z的模为,实部为2,则z等于(　　)
[A] 2-i [B] 2±2i
[C] 2+i [D] 2±i
【答案】 D
【解析】 设z=2+bi,b∈R,由==,得b=±,
所以z=2±i.故选D.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.复数z=3-i在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 D
【解析】 z=3-i在复平面内对应的点的坐标为(3,-1),位于第四象限.故选D.
2.若x+2i=y+1-xi(x,y∈R),则|x2+yi|等于(　　)
[A] [B] 13 [C] 5 [D] 25
【答案】 C
【解析】 由x+2i=y+1-xi(x,y∈R),得x=y+1,且2=-x,解得x=-2,y=-3,
则|x2+yi|=|4-3i|==5.故选C.
3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i.若点A关于虚轴的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)
[A] -2-i [B] -2+i
[C] 1+2i [D] -1+2i
【答案】 C
【解析】 因为复数-1+2i在复平面内对应的点为A(-1,2),所以点A关于虚轴的对称点为点B(1,2).
所以对应的复数为1+2i.故选C.
4.复数满足z=-1-2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 B
【解析】 依题意,=-1+2i在复平面内对应的点为Z(-1,2),位于第二象限.故选B.
5.在复平面内,点M对应的复数为-2+2i(i为虚数单位),且向量=(-1,3),则点N对应的复数为(　　)
[A] -3+5i [B] -3-5i
[C] -1-5i [D] -1+5i
【答案】 A
【解析】 设N(x,y),由题意知M(-2,2),则由=(-1,3),可得(x+2,y-2)=(-1,3),解得x=-3,y=5,即N(-3,5),所以点N对应的复数为-3+5i.故选A.
6.若z=3+2i-n(n∈R),|z|=,则n的取值集合为(　　)
[A] {0,6} [B] {-2,8}
[C] {-1,7} [D] {1,5}
【答案】 A
【解析】 因为z=3+2i-n(n∈R),|z|=,
所以=,即(n-3)2=9.所以n-3=-3或n-3=3,解得n=0或6.故选A.
7.(5分)若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面内z1与z2对应的点Z1与Z2的距离为　　　　.
【答案】 2
【解析】 在复平面内,z1=1-i对应的点为Z1(1,-1),z2=3-5i对应的点为Z2(3,-5),由两点间距离公式,得Z1Z2==2.
8.(5分)写出一个满足①模为,②在复平面内对应的点位于第二象限的复数:z=　.
【答案】 -2+i(答案不唯一)
【解析】 设z=a+bi(a,b∈R),则=.由于z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0,b>0.令a=-2,b=,则z=-2+i(答案不唯一).
9.(14分)当实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z分别满足下列条件
(1)位于第三象限;
(2)位于第四象限;
(3)位于直线x-y-3=0上.
【解】 因为x是实数,
所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数.
(1)当实数x满足即-3(2)当实数x满足即2(3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3x+6=0,x=-2时,点Z位于直线x-y-3=0上.
10.(15分)已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点分别为A,B,C.
(1)若A,B,C三点在同一条直线上,求实数a的值;
(2)若A,B,C三点恰好形成一个直角三角形,求实数a的值.
【解】 (1)由题意得A(3,-5),B(1,-1),C(-2,a),由三点共线可知=λ,其中=(2,-4),=(5,-5-a),λ∈R,
故解得a=5.
(2)由(1)得=(2,-4),=(5,-5-a),=(3,-1-a).若C为直角顶点,则·=0,即a2+6a+20=0,无解,故C不可能为直角顶点;若A为直角顶点,则·=0,解得a=-;若B为直角顶点,则·=0,解得a=-.综上所述,a=-或a=-.
11.在复平面内,平行四边形ABCD的3个顶点A,B,C对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则点D对应的复数是(　　)
[A] 3-i [B] -1+3i
[C] 3+i [D] -3-i
【答案】 C
【解析】 由题意知,点A(1,2),B(-2,1),C(0,0),设点D的坐标为(x,y),
则有=(x-1,y-2),=(2,-1).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,即解得所以点D对应的复数为3+i.故选C.
12.(5分)已知复数1+i与3i在复平面内用向量和表示(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.
【答案】
【解析】 由题知=(1,),=(0,3),cos<,>===,所以∠AOB=,即与的夹角为.
13.(16分)(1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值;
(2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0【解】 (1)因为z=x+(2x+1)i(x∈R),
所以|z|===
≥,
当且仅当x=-时,等号成立.
所以当x=-时,|z|取得最小值.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点的坐标为(a,b),
因为|z|≥1,0所以a2+b2≥1,00所以复数z在复平面内对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括实轴、虚轴上的点)所示.所以图形面积S=2×2-=4-.(共26张PPT)
7.1.2　复数的几何意义
通过对复数及其几何意义的理解、复数模的运用、共轭复数的概念的理解,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　复平面
1.定义
建立 来表示复数的平面叫做复平面.
2.实轴
在复平面内, 叫做实轴,实轴上的点都表示 .
直角坐标系
x轴
实数
3.虚轴
在复平面内, 叫做虚轴,除了 外,虚轴上的点都表示 .
4.原点
复平面内的原点(0,0)表示 .
y轴
原点
纯虚数
实数0
知识点二　复数的几何意义
Z(a,b)
1.复数z=a+bi一一对应复平面内的点 .
2.复数z=a+bi一一对应平面向量 .
知识点三　复数的模
|z|
|a+bi|
·疑难解惑·
对复数模的理解
复数模的几何意义为复数z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.
知识点四　共轭复数
1.定义
一般地,当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .
2.表示
相等
互为相反数
共轭虚数
a-bi
·温馨提示·
共轭复数的性质
(1)互为共轭复数的两复数的模相等.
(2)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.
基础自测
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
C
【解析】 z=-1-2i在复平面内对应的点为Z(-1,-2),位于第三象限.
故选C.
2.(人教A版必修第二册P73习题7.1 T4改编)已知z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围是(　 　)
[A] (-1,2) [B] (-2,1)
[C] (1,+∞) [D] (-∞,-2)
B
【解析】 因为z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点位于第二象限,
所以m-1<0,m+2>0,解得-2故选B.
3.设复数z=i,则z的共轭复数为　　　　.
-i
关键能力·素养培优
题型一　复数与复平面内点的关系
[例1] 设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
B
【解析】 复数z=-3+2i在复平面内对应的点的坐标为(-3,2),位于第二象限.故选B.
·解题策略·
利用复数与复平面内点的对应关系解题
(1)找对应关系:复数的几何表示法,即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)表示,这是解决此类问题的依据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
B
题型二　复数与复平面内向量的关系
[A] -5+5i [B] 5-5i
[C] 5+5i [D] -5-5i
B
·解题策略·
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化.
[例3] (北师大版必修第二册P178例3)在复平面内,表示下列复数的点Z的集合是什么图形
(1)|z|=2;
题型三　复数的模及其几何意义
(2)2≤|z|≤3.
·解题策略·
复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z在复平面内对应的点Z与原点之间的距离,从而可以用数形结合解决有关的问题.
D
感谢观看7.1.2　复数的几何意义
【课程标准要求】　通过对复数及其几何意义的理解、复数模的运用、共轭复数的概念的理解,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　复平面
1.定义
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
2.实轴
在复平面内,x轴叫做实轴,实轴上的点都表示实数.
3.虚轴
在复平面内,y轴叫做虚轴,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
4.原点
复平面内的原点(0,0)表示实数0.
知识点二　复数的几何意义
1.复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b).
2.复数z=a+bi一一对应平面向量.
知识点三　复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于|a|(a的绝对值).
对复数模的理解
复数模的几何意义为复数z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.
知识点四　共轭复数
1.定义
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
2.表示
复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi.
共轭复数的性质
(1)互为共轭复数的两复数的模相等.
(2)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.
基础自测
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
故选C.
2.(人教A版必修第二册P73习题7.1 T4改编)已知z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围是(　　)
[A] (-1,2) [B] (-2,1)
[C] (1,+∞) [D] (-∞,-2)
所以m-1<0,m+2>0,解得-2故选B.
3.设复数z=i,则z的共轭复数为　　　　.
题型一　复数与复平面内点的关系
[例1] 设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
利用复数与复平面内点的对应关系解题
(1)找对应关系:复数的几何表示法,即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)表示,这是解决此类问题的依据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知复数z1=2-ai(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y=x+上,则复数z2=a+2i在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
题型二　复数与复平面内向量的关系
[例2] 已知在复平面内,O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是(　　)
[A] -5+5i [B] 5-5i
[C] 5+5i [D] -5-5i
可得向量=(2,-3),=(-3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量
=-=(5,-5),
所以向量对应的复数是5-5i.故选B.
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化.
[变式训练] 在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),若⊥,则a=　　　　.
所以=(4,3),=(2a,-3).
因为⊥,所以8a=9,解得a=.
题型三　复数的模及其几何意义
[例3] (北师大版必修第二册P178例3)在复平面内,表示下列复数的点Z的集合是什么图形
(1)|z|=2;
(2)2≤|z|≤3.
(2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组
满足|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心、以3为半径的圆及其内部所有的点构成的集合;满足|z|≥2的点Z的集合是以原点O为圆心、以2为半径的圆及其外部所有的点构成的集合.因此,满足2≤|z|≤3的点Z的集合是这两个集合的交集,即以原点O为圆心,以2和3为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界(如图②).
复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z在复平面内对应的点Z与原点之间的距离,从而可以用数形结合解决有关的问题.
[变式训练] 已知复数z的模为,实部为2,则z等于(　　)
[A] 2-i [B] 2±2i
[C] 2+i [D] 2±i
所以z=2±i.故选D.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.复数z=3-i在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
2.若x+2i=y+1-xi(x,y∈R),则|x2+yi|等于(　　)
[A] [B] 13 [C] 5 [D] 25
则|x2+yi|=|4-3i|==5.故选C.
3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i.若点A关于虚轴的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)
[A] -2-i [B] -2+i
[C] 1+2i [D] -1+2i
所以对应的复数为1+2i.故选C.
4.复数满足z=-1-2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
5.在复平面内,点M对应的复数为-2+2i(i为虚数单位),且向量=(-1,3),则点N对应的复数为(　　)
[A] -3+5i [B] -3-5i
[C] -1-5i [D] -1+5i
6.若z=3+2i-n(n∈R),|z|=,则n的取值集合为(　　)
[A] {0,6} [B] {-2,8}
[C] {-1,7} [D] {1,5}
所以=,即(n-3)2=9.所以n-3=-3或n-3=3,解得n=0或6.故选A.
7.(5分)若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面内z1与z2对应的点Z1与Z2的距离为　　　　.
8.(5分)写出一个满足①模为,②在复平面内对应的点位于第二象限的复数:z=　.
9.(14分)当实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z分别满足下列条件
(1)位于第三象限;
(2)位于第四象限;
(3)位于直线x-y-3=0上.
所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数.
(1)当实数x满足即-3(2)当实数x满足即2(3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3x+6=0,x=-2时,点Z位于直线x-y-3=0上.
10.(15分)已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点分别为A,B,C.
(1)若A,B,C三点在同一条直线上,求实数a的值;
(2)若A,B,C三点恰好形成一个直角三角形,求实数a的值.
故解得a=5.
(2)由(1)得=(2,-4),=(5,-5-a),=(3,-1-a).若C为直角顶点,则·=0,即a2+6a+20=0,无解,故C不可能为直角顶点;若A为直角顶点,则·=0,解得a=-;若B为直角顶点,则·=0,解得a=-.综上所述,a=-或a=-.
11.在复平面内,平行四边形ABCD的3个顶点A,B,C对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则点D对应的复数是(　　)
[A] 3-i [B] -1+3i
[C] 3+i [D] -3-i
则有=(x-1,y-2),=(2,-1).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,即解得所以点D对应的复数为3+i.故选C.
12.(5分)已知复数1+i与3i在复平面内用向量和表示(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.
13.(16分)(1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值;
(2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0所以|z|===
≥,
当且仅当x=-时,等号成立.
所以当x=-时,|z|取得最小值.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点的坐标为(a,b),
因为|z|≥1,0所以a2+b2≥1,00所以复数z在复平面内对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括实轴、虚轴上的点)所示.所以图形面积S=2×2-=4-.

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