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7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
【课程标准要求】　1.通过复数的加、减运算法则和运算律的学习与应用,培养数学抽象及数学运算的核心素养.2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,提升直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　复数的加、减运算
1.运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
2.加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1+z2=z2+z1
结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
知识点二　复数加、减法的几何意义
1.复数加法的几何意义
如图,设复数z1,z2对应的向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是.
2.复数减法的几何意义
如图,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应.
知识拓展
复数减法的模|z1-z2|的几何意义:|z1-z2|表示复平面上两点Z1,Z2之间的距离.
基础自测
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)
[A] -1+i [B] 1-i
[C] i [D] -i
【答案】 A
【解析】 原式=1-i-2-i+3i=-1+i.故选A.
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 C
【解析】 z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.
故z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-3),位于第三象限.故选C.
3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)
[A] -2 [B] 4
[C] 3 [D] -4
【答案】 B
【解析】 因为z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虚部是4.故选B.
4.(人教A版必修第二册P77练习T2改编)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1-z2=　　　　.
【答案】 -2-2i
【解析】 法一　z1-z2对应的向量为-,
由题图知-=(-2,-2),
所以z1-z2=-2-2i.
法二　由题意,知z1=-2-i,z2=i,
所以z1-z2=-2-2i.
题型一　复数的加、减运算
[例1] 复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于(　　)
[A] 6 [B] -6 [C] -7 [D] 7
【答案】 C
【解析】 因为复数z1=a+4i,z2=-3+bi,a,b为实数,所以z1+z2=(a-3)+(b+4)i.
由z1+z2为实数,得b+4=0,解得b=-4.
又z1-z2=(a+3)+(4-b)i,所以4-b≠0.
由z1-z2为纯虚数,得a+3=0,解得a=-3,所以a+b=-7.故选C.
(1)复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
[变式训练] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=　　　　.
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.
【答案】 (1)-2-i　(2)4+i
【解析】 (1)原式=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
(2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
题型二　复数加、减运算的几何意义
[例2] 如图,已知复平面上的 OACB,O是原点,A,B分别对应复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点.求点C,M对应的复数.
【解】 由于,分别对应复数3+i,2+4i,则=+对应的复数为(3+i)+(2+4i)=5+5i,即点C所对应的复数.
=对应的复数为(5+5i)=+i,即点M所对应的复数.
利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.
[变式训练] 如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)表示的复数;
(2)表示的复数;
(3)表示的复数.
【解】 (1)因为=-,
所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
题型三　复平面上两点间的距离公式及其应用
[例3] 已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等.所以在复平面内点Z的轨迹为x轴.又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(-1,-2)距离的最小值.所以|z+1+2i|的最小值为2.
故选B.
(1)|z-z0|表示复数z,z0在复平面内对应的点之间的距离,在应用时,要把绝对值符号内变为两复数差的形式.
(2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
[变式训练] 在平行四边形ABCD中,若点A,C分别对应复数-1+i,-4-3i,则A,C两点间的距离为　　　　.
【答案】 5
【解析】 依题意得对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,所以A,C两点间的距离为||=|-3-4i|==5.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知复数z=2+3i,则|z-1|等于(　　)
[A] [B]
[C] 2 [D] 4
【答案】 A
【解析】 由于z-1=1+3i,则|z-1|==.故选A.
2.复数(1-i)-(2+i)+3i+6等于(　　)
[A] 5+i [B] 7-i
[C] 6+i [D] 6-i
【答案】 A
【解析】 由题意可得,(1-i)-(2+i)+3i+6=(1-2+6)+(-1-1+3)i=5+i.故选A.
3.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 B
【解析】 由已知条件可得z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,因此,复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故选B.
4.如图,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)
[A] -3+i [B] -2+3i
[C] -3+2i [D] -1+3i
【答案】 D
【解析】 因为=+,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,
所以点C对应的复数为-1+3i.故选D.
5.已知复数z满足5z+3=8-2i,则|z|等于(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] [D] 2
【答案】 C
【解析】 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由5z+3=8-2i,得5(a+bi)+3(a-bi)=8-2i,化简得8a+2bi=8-2i,则解得则z=1-i,所以|z|==.故选C.
6.设z为复数,若|z+2i|=1,则|z|的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
【答案】 A
【解析】 设z=a+bi,a,b∈R,
由|z+2i|=1,得=1,
所以a2=1-(b+2)2=-b2-4b-3.
由a2=1-(b+2)2≥0,解得-3≤b≤-1,则|z|===,所以当b=-1时,|z|min=1.
故选A.
7.(5分)已知M,N分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若-=0,则△MON是　　　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【答案】 直角
【解析】 因为|z1-z2|-|z1+z2|=0,所以|z1-z2|=|z1+z2|,故以OM,ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,所以△MON是直角三角形.
8.(5分)复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,若=x+y(x,y∈R),则=　　　　.
【答案】 4
【解析】 由题意知
3-2i=x(-1+2i)+y(1-i)=(y-x)+(2x-y)i.
由复数相等的定义知
解得
因此,=4.
9.(13分)在复平面内,已知定点M与复数m=1+2i对应,动点Z与复数z=x+yi对应,问:满足不等式|z-m|≤2的点Z的集合是什么图形
【解】 由|z-m|≤2,
得≤2,
即(x-1)2+(y-2)2≤4,
所以满足不等式|z-m|≤2的点Z的集合是以点(1,2)为圆心,2为半径的圆及其内部.
10.(15分)已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
【解】 (1)因为向量对应的复数为1+2i,
所以向量=(1,2).
因为向量对应的复数为3-i,
所以向量=(3,-1).
记O为坐标原点,
由题意得=+=(1,2)+(3,-1)=(4,1),
=-=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
所以=+=(1,-1)+(4,1)=(5,0).所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cos B,
所以cos B=== .
因为B∈(0,π),
所以sin B= .
所以S ABCD=||||sin B=××=7.
故平行四边形ABCD的面积为7.
11.如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数z=-a+2i(其中a∈R)为“等部复数”,则复数-2ai在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 A
【解析】 因为复数z=-a+2i(其中a∈R)为“等部复数”,所以a=-2,
则z=2+2i,=2-2i,
可得-2ai=2-2i+4i=2+2i,其在复平面内对应的点为Z(2,2),位于第一象限.故选A.
12.(多选题)已知z1,z2为复数,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若z1∈R,则z1=
[B] 若|z1|=|z2|,则z1=z2
[C] 若z1=z2,则|z1|=|z2|
[D] 若|z1-z2|=|z1|,则z1=0或z2=2z1
【答案】 AC
【解析】 根据共轭复数的定义知,A正确;取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但z1≠z2,故B错误;设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,由z1=z2,得a+bi=c+di,即a=c,b=d,所以a2+b2=c2+d2,即|z1|=|z2|,故C正确;取z1=2,z2=1+i,则z1-z2=1-i,|z1-z2|=2=|z1|,此时z1≠0且z2≠2z1,故D错误.故选AC.
13.(16分)已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值.
【解】 法一　设ω=z-3+4i,
所以z=ω+3-4i,
所以z+1-i=ω+4-5i.
又|z+1-i|=1,
所以|ω+4-5i|=1.
可知ω在复平面内对应的点的轨迹是以(-4,5)为圆心,1为半径的圆,|ω|表示圆上的点与原点的距离,
如图所示,
所以|ω|max=+1,|ω|min=-1.
法二　由条件知复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,1为半径的圆,
而|z-3+4i|=|z-(3-4i)|表示复数z在复平面内对应的点到点(3,-4)的距离,
在圆上与点(3,-4)距离最大的点为A,距离最小的点为B,如图所示,
所以|z-3+4i|max=+1,|z-3+4i|min=-1.(共27张PPT)
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1.通过复数的加、减运算法则和运算律的学习与应用,培养数学抽象及数学运算的核心素养.2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,提升直观想象及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　复数的加、减运算
1.运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)= .
2.加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
(a±c)+(b±d)i
交换律 z1+z2=
结合律 (z1+z2)+z3=
z2+z1
z1+(z2+z3)
知识点二　复数加、减法的几何意义
1.复数加法的几何意义
如图,设复数z1,z2对应的向量分别为 ,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是 .
2.复数减法的几何意义
『知识拓展』
复数减法的模|z1-z2|的几何意义:|z1-z2|表示复平面上两点Z1,Z2之间的距离.
基础自测
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)
[A] -1+i [B] 1-i
[C] i [D] -i
A
【解析】 原式=1-i-2-i+3i=-1+i.故选A.
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
C
【解析】 z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.
故z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-3),位于第三象限.故选C.
3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)
[A] -2 [B] 4
[C] 3 [D] -4
B
【解析】 因为z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虚部是4.故选B.
-2-2i
关键能力·素养培优
题型一　复数的加、减运算
[例1] 复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于(　　)
[A] 6 [B] -6
[C] -7 [D] 7
C
【解析】 因为复数z1=a+4i,z2=-3+bi,a,b为实数,所以z1+z2=(a-3)+(b+4)i.
由z1+z2为实数,得b+4=0,解得b=-4.
又z1-z2=(a+3)+(4-b)i,所以4-b≠0.
由z1-z2为纯虚数,得a+3=0,解得a=-3,所以a+b=-7.故选C.
·解题策略·
(1)复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
[变式训练] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=　　　　.
-2-i
【解析】 (1)原式=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.
4+i
【解析】 (2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
题型二　复数加、减运算的几何意义
[例2] 如图,已知复平面上的 OACB,O是原点,A,B分别对应复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点.求点C,M对应的复数.
·解题策略·
利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.
[变式训练] 如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
[例3] 已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
题型三　复平面上两点间的距离公式及其应用
B
【解析】 设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等.所以在复平面内点Z的轨迹为x轴.又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(-1,-2)距离的最小值.所以|z+1+2i|的最小值为2.
故选B.
·解题策略·
(1)|z-z0|表示复数z,z0在复平面内对应的点之间的距离,在应用时,要把绝对值符号内变为两复数差的形式.
(2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
[变式训练] 在平行四边形ABCD中,若点A,C分别对应复数-1+i,-4-3i,则A,C两点间的距离为　　　　.
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感谢观看7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
【课程标准要求】　1.通过复数的加、减运算法则和运算律的学习与应用,培养数学抽象及数学运算的核心素养.2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,提升直观想象及数学运算的核心素养.
知识点一　复数的加、减运算
1.运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
2.加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1+z2=z2+z1
结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
知识点二　复数加、减法的几何意义
1.复数加法的几何意义
如图,设复数z1,z2对应的向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是.
2.复数减法的几何意义
如图,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应.
知识拓展
复数减法的模|z1-z2|的几何意义:|z1-z2|表示复平面上两点Z1,Z2之间的距离.
基础自测
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)
[A] -1+i [B] 1-i
[C] i [D] -i
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
故z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-3),位于第三象限.故选C.
3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)
[A] -2 [B] 4
[C] 3 [D] -4
4.(人教A版必修第二册P77练习T2改编)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1-z2=　　　　.
由题图知-=(-2,-2),
所以z1-z2=-2-2i.
法二　由题意,知z1=-2-i,z2=i,
所以z1-z2=-2-2i.
题型一　复数的加、减运算
[例1] 复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于(　　)
[A] 6 [B] -6 [C] -7 [D] 7
由z1+z2为实数,得b+4=0,解得b=-4.
又z1-z2=(a+3)+(4-b)i,所以4-b≠0.
由z1-z2为纯虚数,得a+3=0,解得a=-3,所以a+b=-7.故选C.
(1)复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
[变式训练] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=　　　　.
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.
(2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
题型二　复数加、减运算的几何意义
[例2] 如图,已知复平面上的 OACB,O是原点,A,B分别对应复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点.求点C,M对应的复数.
=对应的复数为(5+5i)=+i,即点M所对应的复数.
利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.
[变式训练] 如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)表示的复数;
(2)表示的复数;
(3)表示的复数.
所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
题型三　复平面上两点间的距离公式及其应用
[例3] 已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] [D]
故选B.
(1)|z-z0|表示复数z,z0在复平面内对应的点之间的距离,在应用时,要把绝对值符号内变为两复数差的形式.
(2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
[变式训练] 在平行四边形ABCD中,若点A,C分别对应复数-1+i,-4-3i,则A,C两点间的距离为　　　　.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知复数z=2+3i,则|z-1|等于(　　)
[A] [B]
[C] 2 [D] 4
2.复数(1-i)-(2+i)+3i+6等于(　　)
[A] 5+i [B] 7-i
[C] 6+i [D] 6-i
3.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
4.如图,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)
[A] -3+i [B] -2+3i
[C] -3+2i [D] -1+3i
所以点C对应的复数为-1+3i.故选D.
5.已知复数z满足5z+3=8-2i,则|z|等于(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] [D] 2
由5z+3=8-2i,得5(a+bi)+3(a-bi)=8-2i,化简得8a+2bi=8-2i,则解得则z=1-i,所以|z|==.故选C.
6.设z为复数,若|z+2i|=1,则|z|的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
由|z+2i|=1,得=1,
所以a2=1-(b+2)2=-b2-4b-3.
由a2=1-(b+2)2≥0,解得-3≤b≤-1,则|z|===,所以当b=-1时,|z|min=1.
故选A.
7.(5分)已知M,N分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若-=0,则△MON是　　　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
8.(5分)复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,若=x+y(x,y∈R),则=　　　　.
3-2i=x(-1+2i)+y(1-i)=(y-x)+(2x-y)i.
由复数相等的定义知
解得
因此,=4.
9.(13分)在复平面内,已知定点M与复数m=1+2i对应,动点Z与复数z=x+yi对应,问:满足不等式|z-m|≤2的点Z的集合是什么图形
得≤2,
即(x-1)2+(y-2)2≤4,
所以满足不等式|z-m|≤2的点Z的集合是以点(1,2)为圆心,2为半径的圆及其内部.
10.(15分)已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
所以向量=(1,2).
因为向量对应的复数为3-i,
所以向量=(3,-1).
记O为坐标原点,
由题意得=+=(1,2)+(3,-1)=(4,1),
=-=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
所以=+=(1,-1)+(4,1)=(5,0).所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cos B,
所以cos B=== .
因为B∈(0,π),
所以sin B= .
所以S ABCD=||||sin B=××=7.
故平行四边形ABCD的面积为7.
11.如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数z=-a+2i(其中a∈R)为“等部复数”,则复数-2ai在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
则z=2+2i,=2-2i,
可得-2ai=2-2i+4i=2+2i,其在复平面内对应的点为Z(2,2),位于第一象限.故选A.
12.(多选题)已知z1,z2为复数,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若z1∈R,则z1=
[B] 若|z1|=|z2|,则z1=z2
[C] 若z1=z2,则|z1|=|z2|
[D] 若|z1-z2|=|z1|,则z1=0或z2=2z1
13.(16分)已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值.
所以z=ω+3-4i,
所以z+1-i=ω+4-5i.
又|z+1-i|=1,
所以|ω+4-5i|=1.
可知ω在复平面内对应的点的轨迹是以(-4,5)为圆心,1为半径的圆,|ω|表示圆上的点与原点的距离,
如图所示,
所以|ω|max=+1,|ω|min=-1.
法二　由条件知复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,1为半径的圆,
而|z-3+4i|=|z-(3-4i)|表示复数z在复平面内对应的点到点(3,-4)的距离,
在圆上与点(3,-4)距离最大的点为A,距离最小的点为B,如图所示,
所以|z-3+4i|max=+1,|z-3+4i|min=-1.

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