资源简介

7.2.2　复数的乘、除运算
【课程标准要求】　通过复数的乘、除运算法则,运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
对复数乘法运算法则和运算律的理解
(1)若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2.
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法,只要把i2换成-1,然后实部与虚部分别合并即可.
知识点二　复数的除法法则
1.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0)是任意两个复数,则==+i.
2.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:
(1)当Δ≥0时,x=;
(2)当Δ<0时,x=.
基础自测
1.(人教A版必修第二册P80练习T1改编)(1+i)(2-4i)等于(　　)
[A] 4+4i
[B] 2+4+(2-4)i
[C] 2-4i
[D] 4-2+(4-2)i
2.在复平面内,复数z1,z2对应的点的坐标分别是(2,-1),(0,5),则复数的虚部为(　　)
[A] 2 [B] -2 [C] -2i [D] 2i
3.在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
4.(1-i)(-+i)(1+i)=　　　　.
题型一　复数的乘法运算
[例1] 计算:
(1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi),其中a,b∈R.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.
(3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)=(a2+b2)(a2+b2)=a4+2a2b2+b4.
(1)两个复数乘法运算的一般方法.
首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的一般形式.
(2)常用公式.
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[变式训练] (1)(2+i)2等于(　　)
[A] 5-4i [B] 5+4i
[C] 3-4i [D] 3+4i
(2)已知复数z=(1-2i)(4-3i),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限
[B] 第二象限
[C] 第三象限
[D] 第四象限
(2)因为z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2,-11).所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
题型二　复数的除法运算
[例2] 计算:(1)()8;(2).
所以()8=i8=1.
(2)====-+i.
(1)两个复数除法运算的步骤.
①首先将除式写为分式;
②再将分子、分母都乘分母的共轭复数;
③最后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的一般形式.
(2)常用公式.
①=-i;②=i;③=-i.
[变式训练] (1)已知z=,则z·等于(　　)
[A] 1-2i [B] 1+2i
[C] [D] 5
(2)已知复数z满足z(1-i)=3+5i,则z的共轭复数 等于(　　)
[A] 4+4i [B] 4-4i
[C] -1+4i [D] -1-4i
故z·=(1+2i)(1-2i)=1-4i2=1+4=5.故选D.
(2)z====-1+4i,故 =-1-4i.故选D.
题型三　在复数范围内解方程
[例3] 在复数范围内解下列方程:
(1)x2=-3;(2)x3=1.
所以±i是方程x2=-3的两个根,也就是-3的两个平方根.
即x=±i.
(2)原方程可化为x3-1=0.方程左边可分解因式:x3-1=(x-1)(x2+x+1).
因此,原方程可变形为(x-1)(x2+x+1)=0.
即x-1=0或x2+x+1=0.
若x-1=0,则x=1.
若x2+x+1=0,
则(x+)2=-.
又(±i)2=-,
所以x+=±i,
即x=-±i.
于是方程x3=1在复数范围内有三个根,分别为1,-+i,--i.
当一元二次方程中Δ<0时,在复数范围内有两根且互为共轭复数.
[变式训练] 已知2-i是关于x的方程x2-mx+n=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m,n的值;
(2)若z=a2-na+m+(a-m)i是纯虚数,求实数a的值和|z|.
整理得3-2m+n+(m-4)i=0,
因此所以m=4,n=5.
(2)由(1)知,z=a2-5a+4+(a-4)i,
由z是纯虚数,得
解得a=1,则z=-3i,
所以|z|==3.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.(3+2i)(2-2i)等于(　　)
[A] -10+2i [B] -10-2i
[C] 10+2i [D] 10-2i
2.若复数z满足(2+i)·z=5+5i,则等于(　　)
[A] 3+i [B] 3-i
[C] 1+3i [D] 1-3i
=3+i,=3-i.故选B.
3.已知i为虚数单位,则的虚部为(　　)
[A] -i [B] i [C] -1 [D] 1
则====2-i,其虚部为-1.故选C.
4.已知a,b∈R,且=1+2i,其中i是虚数单位,则a+b等于(　　)
[A] 2 [B] -2 [C] -4 [D] -6
即a-3i=(b-2)+(2b+1)i,
所以解得则a+b=-6.故选D.
5.若复数z=-+i,则复数z2的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
6.已知a+bi(a,b∈R)是关于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的一个虚根,则a等于(　　)
[A] -2 [B] 2
[C] -1 [D] 1
所以a-bi(a,b∈R)是关于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的另一个虚根.
所以-2=a+bi+a-bi,解得a=-1.故选C.
7.(5分)若复数(i为虚数单位)是纯虚数,则实数m=　　　　.
由于复数是纯虚数,则
解得m=0或m=-1.
8.(5分)在复数范围内方程3x2+4=0的根为x=　　　　.
9.(13分)已知复数z=.
(1)求复数z的实部、虚部、模及表示复平面上的点的坐标;
(2)若z2+az+b=1-i,试求实数a,b的值.
=
=
=
=1+i,
则复数z的实部为1,虚部为1,模为,
z在复平面内对应的点的坐标为(1,1).
(2)由(1)可知,z=1+i,因为z2+az+b=1-i,
所以(1+i)2+a(1+i)+b=2i+ai+a+b=a+b+(a+2)i=1-i.
所以解得a=-3,b=4.
10.(14分)求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数范围内的根x1,x2,并验证x1+x2=-,x1x2=.
(1)若b2-4ac≥0,
则x1=,x2=.
因此x1+x2=+=-,
x1x2=·=
=.
(2)若b2-4ac<0,
则x+=±i,
即x1=,x2=.
因此x1+x2=+=-,
x1x2=·=.
综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数范围内的根x1,x2都满足x1+x2=-,x1x2=.
11.(多选题)已知复数z=(1-2i)(3-2i),则(　　)
[A] =-1+8i
[B] |z|=
[C] z的虚部是-8
[D] z在复平面内对应的点位于第四象限
所以=-1+8i,|z|==,z的虚部是-8,z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-8),位于第三象限.故A,B,C正确,D错误.故选ABC.
12.(5分)若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　.
则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,
化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,
即解得
所以m=4i.
13.(17分)设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1,ω=.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)求证:ω为纯虚数.
(3)求z2-ω2的最小值.
则z2=z1+
=(a+bi)+
=(a+bi)+
=(a+bi)+
=(a+)+(b-)i.
因为z2是实数,
所以b-=0,
即b()=0.
因为b≠0,
所以a2+b2=1,即|z1|=1,且z2=2a.
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,
解得-≤a≤,
即z1的实部的取值范围为[-,].
所以ω====.
因为-≤a≤,b≠0,所以ω=为纯虚数.
z2-ω2=2a-(-)2
=2a+
=2a+
=
=
=1+
=1+
=1+
=1+2(a+1)-4+
=2(a+1)+-3.
因为a+1∈[,],
所以z2-ω2=2(a+1)+-3≥2-3=1,
当且仅当2(a+1)=,即a=0时,等号成立,
z2-ω2取最小值1.(共28张PPT)
7.2.2　复数的乘、
除运算
通过复数的乘、除运算法则,运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=
.
(ac-bd)+(ad+bc)i
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=
结合律 (z1z2)z3=
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
·疑难解惑·
对复数乘法运算法则和运算律的理解
知识点二　复数的除法法则
2.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:
(1)当Δ≥0时,x= ;
(2)当Δ<0时,x= .
基础自测
B
[A] 2 [B] -2 [C] -2i [D] 2i
A
3.在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
A
【解析】 因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(6,8),位于第一象限.故选A.
关键能力·素养培优
题型一　复数的乘法运算
[例1] 计算:
(1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i);
【解】 (1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
(3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi),其中a,b∈R.
【解】 (3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)=(a2+b2)(a2+b2)=a4+2a2b2+b4.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
【解】 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.
·解题策略·
(1)两个复数乘法运算的一般方法.
首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的一般形式.
(2)常用公式.
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[变式训练] (1)(2+i)2等于(　　)
[A] 5-4i [B] 5+4i
[C] 3-4i [D] 3+4i
D
【解析】 (1)(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.故选D.
(2)已知复数z=(1-2i)(4-3i),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限
[B] 第二象限
[C] 第三象限
[D] 第四象限
C
【解析】 (2)因为z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2,-11).所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
题型二　复数的除法运算
·解题策略·
(1)两个复数除法运算的步骤.
①首先将除式写为分式;
②再将分子、分母都乘分母的共轭复数;
③最后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的一般形式.
(2)常用公式.
D
D
[例3] 在复数范围内解下列方程:
(1)x2=-3;
题型三　在复数范围内解方程
(2)x3=1.
【解】 (2)原方程可化为x3-1=0.方程左边可分解因式:x3-1=(x-1)(x2+x+1).
因此,原方程可变形为(x-1)(x2+x+1)=0.
即x-1=0或x2+x+1=0.
若x-1=0,则x=1.
若x2+x+1=0,
·解题策略·
当一元二次方程中Δ<0时,在复数范围内有两根且互为共轭复数.
[变式训练] 已知2-i是关于x的方程x2-mx+n=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m,n的值;
(2)若z=a2-na+m+(a-m)i是纯虚数,求实数a的值和|z|.
感谢观看7.2.2　复数的乘、除运算
【课程标准要求】　通过复数的乘、除运算法则,运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
对复数乘法运算法则和运算律的理解
(1)若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2.
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法,只要把i2换成-1,然后实部与虚部分别合并即可.
知识点二　复数的除法法则
1.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0)是任意两个复数,则==+i.
2.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:
(1)当Δ≥0时,x=;
(2)当Δ<0时,x=.
基础自测
1.(人教A版必修第二册P80练习T1改编)(1+i)(2-4i)等于(　　)
[A] 4+4i
[B] 2+4+(2-4)i
[C] 2-4i
[D] 4-2+(4-2)i
【答案】 B
【解析】 (1+i)(2-4i)=2+4+(2-4)i.故选B.
2.在复平面内,复数z1,z2对应的点的坐标分别是(2,-1),(0,5),则复数的虚部为(　　)
[A] 2 [B] -2 [C] -2i [D] 2i
【答案】 A
【解析】 由题可知z1=2-i,z2=5i,则===-1+2i,所以复数的虚部为2.故选A.
3.在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 A
【解析】 因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(6,8),位于第一象限.故选A.
4.(1-i)(-+i)(1+i)=　　　　.
【答案】 -1+i
【解析】 原式=(1-i)(1+i)( -+i)=(1-i2)(-+i)=2(-+i)=-1+i.
题型一　复数的乘法运算
[例1] 计算:
(1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi),其中a,b∈R.
【解】 (1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.
(3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)=(a2+b2)(a2+b2)=a4+2a2b2+b4.
(1)两个复数乘法运算的一般方法.
首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的一般形式.
(2)常用公式.
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[变式训练] (1)(2+i)2等于(　　)
[A] 5-4i [B] 5+4i
[C] 3-4i [D] 3+4i
(2)已知复数z=(1-2i)(4-3i),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限
[B] 第二象限
[C] 第三象限
[D] 第四象限
【答案】 (1)D　(2)C
【解析】 (1)(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.故选D.
(2)因为z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2,-11).所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
题型二　复数的除法运算
[例2] 计算:(1)()8;(2).
【解】 (1)因为===i,
所以()8=i8=1.
(2)====-+i.
(1)两个复数除法运算的步骤.
①首先将除式写为分式;
②再将分子、分母都乘分母的共轭复数;
③最后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的一般形式.
(2)常用公式.
①=-i;②=i;③=-i.
[变式训练] (1)已知z=,则z·等于(　　)
[A] 1-2i [B] 1+2i
[C] [D] 5
(2)已知复数z满足z(1-i)=3+5i,则z的共轭复数 等于(　　)
[A] 4+4i [B] 4-4i
[C] -1+4i [D] -1-4i
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)z=====1+2i,
故z·=(1+2i)(1-2i)=1-4i2=1+4=5.故选D.
(2)z====-1+4i,故 =-1-4i.故选D.
题型三　在复数范围内解方程
[例3] 在复数范围内解下列方程:
(1)x2=-3;(2)x3=1.
【解】 (1)因为(±i)2=()2i2=3×(-1)=-3,
所以±i是方程x2=-3的两个根,也就是-3的两个平方根.
即x=±i.
(2)原方程可化为x3-1=0.方程左边可分解因式:x3-1=(x-1)(x2+x+1).
因此,原方程可变形为(x-1)(x2+x+1)=0.
即x-1=0或x2+x+1=0.
若x-1=0,则x=1.
若x2+x+1=0,
则(x+)2=-.
又(±i)2=-,
所以x+=±i,
即x=-±i.
于是方程x3=1在复数范围内有三个根,分别为1,-+i,--i.
当一元二次方程中Δ<0时,在复数范围内有两根且互为共轭复数.
[变式训练] 已知2-i是关于x的方程x2-mx+n=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m,n的值;
(2)若z=a2-na+m+(a-m)i是纯虚数,求实数a的值和|z|.
【解】 (1)由2-i是方程x2-mx+n=0的一个根,得(2-i)2-m(2-i)+n=0,
整理得3-2m+n+(m-4)i=0,
因此所以m=4,n=5.
(2)由(1)知,z=a2-5a+4+(a-4)i,
由z是纯虚数,得
解得a=1,则z=-3i,
所以|z|==3.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.(3+2i)(2-2i)等于(　　)
[A] -10+2i [B] -10-2i
[C] 10+2i [D] 10-2i
【答案】 D
【解析】 由题意,(3+2i)(2-2i)=6-6i+4i-4i2=10-2i.故选D.
2.若复数z满足(2+i)·z=5+5i,则等于(　　)
[A] 3+i [B] 3-i
[C] 1+3i [D] 1-3i
【答案】 B
【解析】 由题意得z===
=3+i,=3-i.故选B.
3.已知i为虚数单位,则的虚部为(　　)
[A] -i [B] i [C] -1 [D] 1
【答案】 C
【解析】 根据复数的乘方可知i1 025=(i4)256·i=i,
则====2-i,其虚部为-1.故选C.
4.已知a,b∈R,且=1+2i,其中i是虚数单位,则a+b等于(　　)
[A] 2 [B] -2 [C] -4 [D] -6
【答案】 D
【解析】 由=1+2i可得a-3i=(b+i)(1+2i),
即a-3i=(b-2)+(2b+1)i,
所以解得则a+b=-6.故选D.
5.若复数z=-+i,则复数z2的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 B
【解析】 因为z=-+i,所以z2=(-+i)2=--i.又因为=-+i,所以复数z2的共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选B.
6.已知a+bi(a,b∈R)是关于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的一个虚根,则a等于(　　)
[A] -2 [B] 2
[C] -1 [D] 1
【答案】 C
【解析】 因为a+bi(a,b∈R)是关于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的一个虚根,
所以a-bi(a,b∈R)是关于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的另一个虚根.
所以-2=a+bi+a-bi,解得a=-1.故选C.
7.(5分)若复数(i为虚数单位)是纯虚数,则实数m=　　　　.
【答案】 0或-1
【解析】 ==,
由于复数是纯虚数,则
解得m=0或m=-1.
8.(5分)在复数范围内方程3x2+4=0的根为x=　　　　.
【答案】 ±i
【解析】 因为x2=-,所以x=±i.
9.(13分)已知复数z=.
(1)求复数z的实部、虚部、模及表示复平面上的点的坐标;
(2)若z2+az+b=1-i,试求实数a,b的值.
【解】 (1)z=
=
=
=
=1+i,
则复数z的实部为1,虚部为1,模为,
z在复平面内对应的点的坐标为(1,1).
(2)由(1)可知,z=1+i,因为z2+az+b=1-i,
所以(1+i)2+a(1+i)+b=2i+ai+a+b=a+b+(a+2)i=1-i.
所以解得a=-3,b=4.
10.(14分)求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数范围内的根x1,x2,并验证x1+x2=-,x1x2=.
【解】 使用配方法容易得到(x+)2=.
(1)若b2-4ac≥0,
则x1=,x2=.
因此x1+x2=+=-,
x1x2=·=
=.
(2)若b2-4ac<0,
则x+=±i,
即x1=,x2=.
因此x1+x2=+=-,
x1x2=·=.
综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数范围内的根x1,x2都满足x1+x2=-,x1x2=.
11.(多选题)已知复数z=(1-2i)(3-2i),则(　　)
[A] =-1+8i
[B] |z|=
[C] z的虚部是-8
[D] z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】 ABC
【解析】 因为z=(1-2i)(3-2i)=3-2i-6i+4i2=-1-8i,
所以=-1+8i,|z|==,z的虚部是-8,z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-8),位于第三象限.故A,B,C正确,D错误.故选ABC.
12.(5分)若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　.
【答案】 4i
【解析】 设m=bi(b∈R,且b≠0),
则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,
化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,
即解得
所以m=4i.
13.(17分)设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1,ω=.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)求证:ω为纯虚数.
(3)求z2-ω2的最小值.
(1)【解】 设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0),
则z2=z1+
=(a+bi)+
=(a+bi)+
=(a+bi)+
=(a+)+(b-)i.
因为z2是实数,
所以b-=0,
即b()=0.
因为b≠0,
所以a2+b2=1,即|z1|=1,且z2=2a.
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,
解得-≤a≤,
即z1的实部的取值范围为[-,].
(2)【证明】 由(1)得a2+b2=1,
所以ω====.
因为-≤a≤,b≠0,所以ω=为纯虚数.
(3)【解】 由(1)(2)得
z2-ω2=2a-(-)2
=2a+
=2a+
=
=
=1+
=1+
=1+
=1+2(a+1)-4+
=2(a+1)+-3.
因为a+1∈[,],
所以z2-ω2=2(a+1)+-3≥2-3=1,
当且仅当2(a+1)=,即a=0时,等号成立,
z2-ω2取最小值1.

展开更多......

收起↑