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7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.通过复习复数的几何意义,认识复数的三角表示,由复数代数形式与三角形式之间的联系,培养直观想象、逻辑推理的核心素养.2.在学习复数三角形式的乘、除运算的基础上,培养直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　复数的三角形式
r(cos θ+isin θ)
a+bi
知识点二　复数三角形式的乘、除运算法则及其几何意义
1.运算法则
设z1,z2,z的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z=r(cos θ
+isin θ).
复数的乘法 z1z2= [cos( )+isin( )]
复数的乘方 zn=[r(cos θ+isin θ)]n= (cos +isin )
复数的除法
r1r2
θ1+θ2
θ1+θ2
rn
nθ
nθ
θ1-θ2
θ1-θ2
2.几何意义
逆时针
顺时针
r2
积z1z2
逆时针
顺时针
基础自测
C
[A] 4 [B] -4
[C] 4i [D] -4i
D
B
-1+i
关键能力·素养培优
题型一　复数的代数形式与三角形式的互化
角度1　化为三角形式
·解题策略·
复数的代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模.
(2)确定辐角所在的象限.
(3)根据象限求出辐角.
(4)写出复数的三角形式.
[变式训练] 在复平面内作出下列复数对应的向量,并用三角形式表示(辐角取主值):
(1)7;
角度2　化为代数形式
[例2] 分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示成代数形式:
·解题策略·
(1)类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
题型二　复数三角形式的概念
C
·解题策略·
明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础.
A
B
题型三　复数三角形式的乘、除运算
·解题策略·
复数三角形式的运算法则
(1)乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)除法法则:模相除,辐角相减.
(3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍.
题型四　复数三角形式乘、除运算的几何意义
·解题策略·
感谢观看7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【课程标准要求】　1.通过复习复数的几何意义,认识复数的三角表示,由复数代数形式与三角形式之间的联系,培养直观想象、逻辑推理的核心素养.2.在学习复数三角形式的乘、除运算的基础上,培养直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　复数的三角形式
一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作arg z,即0≤arg z<2π.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
知识点二　复数三角形式的乘、除运算法则及其几何意义
1.运算法则
设z1,z2,z的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z=r(cos θ+isin θ).
复数的乘法 z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+ isin(θ1+θ2)]
复数的乘方 zn=[r(cos θ+isin θ)]n= rn(cos nθ+isin nθ)
复数的除法 =[cos(θ1-θ2)+ isin(θ1-θ2)](z2≠0)
2.几何意义
复数z1,z2对应的向量分别为,.
(1)复数乘法的几何意义.
两个复数z1,z2相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的 r2倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
(2)复数除法的几何意义.
两个复数z1,z2相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的,得到向量,表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
基础自测
1.已知复数z=-i,则arg z等于(　　)
[A] [B] -
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为z=-i=2(-i)=2(cos +isin ),所以arg z=.故选C.
2.将复数4[cos(-)+isin(-)]化成代数形式,正确的是(　　)
[A] 4 [B] -4
[C] 4i [D] -4i
【答案】 D
【解析】 4[cos(-)+isin(-)]=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.
3.将复数1+i改写成三角形式,正确的是(　　)
[A] 2(cos+isin)
[B] 2(cos+isin)
[C] 2(cos+isin)
[D] 2(cos+isin)
【答案】 B
【解析】 因为r==2,且复数1+i在复平面内对应的点位于第一象限,
所以cos θ=,sin θ=,所以θ=,
所以1+i=2(cos+isin).故选B.
4.在复平面内把与复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数是　　　　.
【答案】 -1+i
【解析】 在复平面内,把与复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数是(1+i)(cos +isin)=(1+i)i=-1+i.
题型一　复数的代数形式与三角形式的互化
角度1　化为三角形式
[例1] 将下列复数表示成三角形式:
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)+i;
(4)-i.
【解】 (1)2(cos-isin )=2(cos+isin ).
(2)2(-cos+isin)=2(cos+isin).
(3)r==2,因为+i对应的点位于第一象限,所以cos θ=,sin θ=,即θ=,
所以 +i=2(cos +isin).
(4)r==2,cos θ=,
因为-i在复平面内对应的点位于第四象限,
所以θ=.
所以 -i=2(cos +isin ).
复数的代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模.
(2)确定辐角所在的象限.
(3)根据象限求出辐角.
(4)写出复数的三角形式.
[变式训练] 在复平面内作出下列复数对应的向量,并用三角形式表示(辐角取主值):
(1)7;(2)(1+i);(3)(1-i);
(4)--i.
【解】 (1)7对应的向量如图中所示,
因为r=7,cos θ=1,sin θ=0,又θ∈[0,2π),
所以θ=0.所以7=7(cos 0+isin 0).
(2)(1+i)对应的向量如图中所示,
因为r=2,cos θ=,sin θ=,
又θ∈[0,2π),所以θ=.
所以(1+i)=2(cos +isin ).
(3)(1-i)对应的向量如图中所示,
因为r==1,cos θ=,sin θ=-,
又θ∈[0,2π),所以θ=.
所以(1-i)=cos +isin .
(4)--i对应的向量如图中所示,
因为r=2,cos θ=-,sin θ=-,
又θ∈[0,2π),所以θ=.
所以--i=2(cos +isin ).
角度2　化为代数形式
[例2] 分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示成代数形式:
(1)10(cos +isin );
(2)(cos +isin ).
【解】 (1)复数10(cos +isin )的模r=10,辐角的主值为θ=.
10(cos +isin )=10·cos +(10sin )i
=10×+10×i
=5+5i.
(2)(cos +isin )的模r=,
辐角的主值为θ=.
(cos +isin )=×(-)+×i
=-+i.
(1)类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
[变式训练] 把下列复数表示成代数形式:
(1)4(cos +isin );
(2)10(cos +isin ).
【解】 (1)4(cos +isin )=4(+i)=2+2i.
(2)10(cos +isin )=10(cos -isin )=10(-i)=5-5i.
题型二　复数三角形式的概念
[例3] 把与复数z1=1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转,得到与所得的向量对应的复数z2,则arg()的值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为z1=1,所以z1=cos 0+isin 0,
z2=z1(cos+isin)=+i.
所以=(-+i).
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
设辐角的主值为θ,则tan θ=-,所以θ=.
故选C.
明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础.
[变式训练] (1)复数z=cos(-)+isin(-)的辐角的主值为(　　)
[A] [B] - [C] [D] -
(2)已知复数z-1的辐角为,z+1的辐角为,则复数z等于(　　)
[A] +i [B] -+i
[C] ±i [D] -±i
【答案】 (1)A　(2)B
【解析】 (1)设复数z=cos(-)+isin(-)的辐角为θ,则tan θ==tan(-),
所以θ=-+2π,k∈Z.
因为arg z∈[0,2π),所以当k=1时,满足要求,arg z=.所以辐角的主值为.故选A.
(2)设z=a+bi(a,b∈R),因为z-1=a-1+bi的辐角为,所以tan==-.
因为z+1=a+1+bi的辐角为,
所以tan==,解得
所以z=-+i.故选B.
题型三　复数三角形式的乘、除运算
[例4] 计算:
(1)4÷(cos +isin );
(2)[(cos +isin )]2.
【解】 (1)4÷(cos +isin )=
4(cos 0+isin 0)÷(cos +isin )=
4[cos(-)+isin(-)]=2-2i.
(2)[(cos +isin )]2=()2(cos +isin )=2(-+i)=-1+ i.
复数三角形式的运算法则
(1)乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)除法法则:模相除,辐角相减.
(3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍.
[变式训练] 计算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2).
【解】 (1)原式=10×5[cos(+)+isin(+)]=50(cos+isin).
(2)原式=[cos(-)+isin(-)]
=4(cos +isin )
=2+2i.
题型四　复数三角形式乘、除运算的几何意义
[例5] 如图,在复平面内,向量 对应的复数为-1+i,把绕点O按逆时针方向旋转150°,得到 ,求向量对应的复数(用代数形式表示).
【解】 向量对应的复数为(-1+i)·(cos 150°+isin 150°)=(-1+i)·(-+i)=-i.
复数三角形式乘、除运算的几何意义:设复数z在复平面内对应的向量为.
(1)把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ(θ>0),得到向量,表示的复数就是积z(cos θ+isin θ).
(2)把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ(θ>0),得到向量,表示的复数就是商.
[变式训练] 在复平面内,把与复数3-i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,求与所得的向量对应的复数.
【解】 因为3-i=2(-i)=
2(cos +isin ),
所以2(cos +isin )×(cos +isin )=
2=
2(cos +isin )=2(cos +isin )=3+i.
故把与复数3-i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,得到与所得的向量对应的复数为3+i.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.若z=sin +icos ,则z3等于(　　)
[A] 1 [B] -1
[C] i [D] -i
【答案】 C
【解析】 (sin +icos )3=(cos +isin )3=cos(3×)+isin(3×)=i.故选C.
2.复数sin 220°-icos 220°的辐角的主值为(　　)
[A] 40° [B] 310°
[C] 220° [D] 130°
【答案】 D
【解析】 因为sin 220°-icos 220°=cos 130°+isin 130°,故辐角的主值为130°.故选D.
3.若复数z的模为2,其辐角为,则等于(　　)
[A] +i [B] -i
[C] 1-i [D] 1+i
【答案】 A
【解析】 由已知可得z=2(cos+isin)=-1+i,所以===+i.故选A.
4.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是(　　)
[A] 1 [B] -1
[C] - [D] -
【答案】 B
【解析】 因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,所以所以a=-1.故选B.
5.复数4(cos+isin)的一个平方根是(　　)
[A] 2(cos+isin) [B] 2(cos-isin)
[C] 4(cos+isin) [D] 2(cos+isin)
【答案】 D
【解析】 因为[2(cos+isin)]2=4(cos+isin),所以4(cos+isin)的一个平方根是2(cos+isin).故选D.
6.已知z=(1-i)×(-cos+isin),则arg z等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 z=(1-i)×(-cos+isin)
=(1-i)×(-+i)
=-+i+×i-i2
=2i
=2(cos+isin),
所以arg z=.故选B.
7.(5分)在复平面内,把与复数1-i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数为　　　　(用代数形式表示).
【答案】 -2i
【解析】 把与复数1-i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数为
=
=2[cos(-)+isin(-)]
=2(cos +isin )
=-2i.
8.(5分)已知复数-3+4i的辐角的主值为α,复数 3-4i的辐角的主值为β,则α-β=　　　　.
【答案】 -π
【解析】 由题意知=-=-1,
又由题意知<α<π,<β<2π,
所以-<α-β<-,所以α-β=-π.
9.(13分)设z1=2(cos+isin),z2=(sin+icos),求z1·z2的三角形式.
【解】 因为z1=2(cos+isin)=1+i,z2=(sin+icos)=(+i)=+i,
所以z1·z2=(1+i)(+i)
=+i+i+i2
=-+i
=(-+i)
=(cos+isin).
10.(15分)设复数z1=+i.
(1)写出z1的三角形式;
(2)复数z2满足|z2|=2,且z1·在复平面内对应的点位于虚轴的负半轴上,arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
【解】 (1)由已知可得,|z1|=2,
所以z1= +i=2(+i)=2(cos +isin ).
(2)由已知可设z2=2(cos α+isin α),
则=4(cos 2α-sin 2α+2isin αcos α)=4cos 2α+4isin 2α.
所以z1·=2(cos +isin )(4cos 2α+4isin 2α)=8(cos cos 2α-sin sin 2α)+8i(cos sin 2α+sin cos 2α)=8cos(2α+)+8isin(2α+).
由已知可得
所以2α+=+2kπ,k∈Z,
所以α=+kπ,k∈Z.
又0<α<π,所以α=.
所以z2=2(cos +isin )=-1+i.
11.复数sin 4+icos 4的辐角的主值为(　　)
[A] 4 [B] -4
[C] 2π-4 [D] -4
【答案】 D
【解析】 sin 4+icos 4=cos(-4)+isin(-4).故选D.
12.(5分)在复平面内,把与复数z1=3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数为　　　　,该复数除以复数+i后得到的复数为　　　　.(用代数形式表示)
【答案】 -3+i　2i
【解析】 z1=3+i=2(cos +isin).
由题意知2(cos +isin )·(cos +isin )=2(cos +isin ),即在复平面内,把与复数z1=3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,与所得的向量对应的复数为2(cos +isin )=-3+ i.
因为+i=cos +isin ,
所以=2(cos +isin )=2i.
13.(17分)已知|z|=1,且z5+z+1=0,试用多种解法求解z.
【解】 法一　设z=x+yi(x,y∈R).
由z5=-z-1,|z|5=1,知|z+1|=1.
所以
解得x=-,y=±.
故z=-±i.
法二　由|z|=1,设z=cos θ+isin θ(0≤θ<2π),
所以z5+z+1=cos 5θ+isin 5θ+cos θ+isin θ+1=0.
所以
即
所以(-1-cos θ)2+(-sin θ)2=1,
所以1+2cos θ+cos2θ+sin2θ=1.
即cos θ=-,
所以θ=或.
故z=-±i.
法三　由z5=-1-z,知=-1-,
(z·)5=(-1-z)(-1-)=1+z++z.
又由z·=|z|2=1,易得1=1+z++1,
即z+=-1.
故z的实部为-,z的虚部为±.
故z=-±i.7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【课程标准要求】　1.通过复习复数的几何意义,认识复数的三角表示,由复数代数形式与三角形式之间的联系,培养直观想象、逻辑推理的核心素养.2.在学习复数三角形式的乘、除运算的基础上,培养直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
知识点一　复数的三角形式
一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作arg z,即0≤arg z<2π.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
知识点二　复数三角形式的乘、除运算法则及其几何意义
1.运算法则
设z1,z2,z的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z=r(cos θ+isin θ).
复数的乘法 z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+ isin(θ1+θ2)]
复数的乘方 zn=[r(cos θ+isin θ)]n= rn(cos nθ+isin nθ)
复数的除法 =[cos(θ1-θ2)+ isin(θ1-θ2)](z2≠0)
2.几何意义
复数z1,z2对应的向量分别为,.
(1)复数乘法的几何意义.
两个复数z1,z2相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的 r2倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
(2)复数除法的几何意义.
两个复数z1,z2相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的,得到向量,表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
基础自测
1.已知复数z=-i,则arg z等于(　　)
[A] [B] -
[C] [D]
2.将复数4[cos(-)+isin(-)]化成代数形式,正确的是(　　)
[A] 4 [B] -4
[C] 4i [D] -4i
3.将复数1+i改写成三角形式,正确的是(　　)
[A] 2(cos+isin)
[B] 2(cos+isin)
[C] 2(cos+isin)
[D] 2(cos+isin)
所以cos θ=,sin θ=,所以θ=,
所以1+i=2(cos+isin).故选B.
4.在复平面内把与复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数是　　　　.
题型一　复数的代数形式与三角形式的互化
角度1　化为三角形式
[例1] 将下列复数表示成三角形式:
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)+i;
(4)-i.
(2)2(-cos+isin)=2(cos+isin).
(3)r==2,因为+i对应的点位于第一象限,所以cos θ=,sin θ=,即θ=,
所以 +i=2(cos +isin).
(4)r==2,cos θ=,
因为-i在复平面内对应的点位于第四象限,
所以θ=.
所以 -i=2(cos +isin ).
复数的代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模.
(2)确定辐角所在的象限.
(3)根据象限求出辐角.
(4)写出复数的三角形式.
[变式训练] 在复平面内作出下列复数对应的向量,并用三角形式表示(辐角取主值):
(1)7;(2)(1+i);(3)(1-i);
(4)--i.
因为r=7,cos θ=1,sin θ=0,又θ∈[0,2π),
所以θ=0.所以7=7(cos 0+isin 0).
(2)(1+i)对应的向量如图中所示,
因为r=2,cos θ=,sin θ=,
又θ∈[0,2π),所以θ=.
所以(1+i)=2(cos +isin ).
(3)(1-i)对应的向量如图中所示,
因为r==1,cos θ=,sin θ=-,
又θ∈[0,2π),所以θ=.
所以(1-i)=cos +isin .
(4)--i对应的向量如图中所示,
因为r=2,cos θ=-,sin θ=-,
又θ∈[0,2π),所以θ=.
所以--i=2(cos +isin ).
角度2　化为代数形式
[例2] 分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示成代数形式:
(1)10(cos +isin );
(2)(cos +isin ).
10(cos +isin )=10·cos +(10sin )i
=10×+10×i
=5+5i.
(2)(cos +isin )的模r=,
辐角的主值为θ=.
(cos +isin )=×(-)+×i
=-+i.
(1)类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
[变式训练] 把下列复数表示成代数形式:
(1)4(cos +isin );
(2)10(cos +isin ).
(2)10(cos +isin )=10(cos -isin )=10(-i)=5-5i.
题型二　复数三角形式的概念
[例3] 把与复数z1=1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转,得到与所得的向量对应的复数z2,则arg()的值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
z2=z1(cos+isin)=+i.
所以=(-+i).
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
设辐角的主值为θ,则tan θ=-,所以θ=.
故选C.
明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础.
[变式训练] (1)复数z=cos(-)+isin(-)的辐角的主值为(　　)
[A] [B] - [C] [D] -
(2)已知复数z-1的辐角为,z+1的辐角为,则复数z等于(　　)
[A] +i [B] -+i
[C] ±i [D] -±i
所以θ=-+2π,k∈Z.
因为arg z∈[0,2π),所以当k=1时,满足要求,arg z=.所以辐角的主值为.故选A.
(2)设z=a+bi(a,b∈R),因为z-1=a-1+bi的辐角为,所以tan==-.
因为z+1=a+1+bi的辐角为,
所以tan==,解得
所以z=-+i.故选B.
题型三　复数三角形式的乘、除运算
[例4] 计算:
(1)4÷(cos +isin );
(2)[(cos +isin )]2.
4(cos 0+isin 0)÷(cos +isin )=
4[cos(-)+isin(-)]=2-2i.
(2)[(cos +isin )]2=()2(cos +isin )=2(-+i)=-1+ i.
复数三角形式的运算法则
(1)乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)除法法则:模相除,辐角相减.
(3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍.
[变式训练] 计算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2).
(2)原式=[cos(-)+isin(-)]
=4(cos +isin )
=2+2i.
题型四　复数三角形式乘、除运算的几何意义
[例5] 如图,在复平面内,向量 对应的复数为-1+i,把绕点O按逆时针方向旋转150°,得到 ,求向量对应的复数(用代数形式表示).
复数三角形式乘、除运算的几何意义:设复数z在复平面内对应的向量为.
(1)把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ(θ>0),得到向量,表示的复数就是积z(cos θ+isin θ).
(2)把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ(θ>0),得到向量,表示的复数就是商.
[变式训练] 在复平面内,把与复数3-i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,求与所得的向量对应的复数.
2(cos +isin ),
所以2(cos +isin )×(cos +isin )=
2=
2(cos +isin )=2(cos +isin )=3+i.
故把与复数3-i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,得到与所得的向量对应的复数为3+i.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.若z=sin +icos ,则z3等于(　　)
[A] 1 [B] -1
[C] i [D] -i
2.复数sin 220°-icos 220°的辐角的主值为(　　)
[A] 40° [B] 310°
[C] 220° [D] 130°
3.若复数z的模为2,其辐角为,则等于(　　)
[A] +i [B] -i
[C] 1-i [D] 1+i
4.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是(　　)
[A] 1 [B] -1
[C] - [D] -
5.复数4(cos+isin)的一个平方根是(　　)
[A] 2(cos+isin) [B] 2(cos-isin)
[C] 4(cos+isin) [D] 2(cos+isin)
6.已知z=(1-i)×(-cos+isin),则arg z等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
=(1-i)×(-+i)
=-+i+×i-i2
=2i
=2(cos+isin),
所以arg z=.故选B.
7.(5分)在复平面内,把与复数1-i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数为　　　　(用代数形式表示).
=
=2[cos(-)+isin(-)]
=2(cos +isin )
=-2i.
8.(5分)已知复数-3+4i的辐角的主值为α,复数 3-4i的辐角的主值为β,则α-β=　　　　.
又由题意知<α<π,<β<2π,
所以-<α-β<-,所以α-β=-π.
9.(13分)设z1=2(cos+isin),z2=(sin+icos),求z1·z2的三角形式.
所以z1·z2=(1+i)(+i)
=+i+i+i2
=-+i
=(-+i)
=(cos+isin).
10.(15分)设复数z1=+i.
(1)写出z1的三角形式;
(2)复数z2满足|z2|=2,且z1·在复平面内对应的点位于虚轴的负半轴上,arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
所以z1= +i=2(+i)=2(cos +isin ).
(2)由已知可设z2=2(cos α+isin α),
则=4(cos 2α-sin 2α+2isin αcos α)=4cos 2α+4isin 2α.
所以z1·=2(cos +isin )(4cos 2α+4isin 2α)=8(cos cos 2α-sin sin 2α)+8i(cos sin 2α+sin cos 2α)=8cos(2α+)+8isin(2α+).
由已知可得
所以2α+=+2kπ,k∈Z,
所以α=+kπ,k∈Z.
又0<α<π,所以α=.
所以z2=2(cos +isin )=-1+i.
11.复数sin 4+icos 4的辐角的主值为(　　)
[A] 4 [B] -4
[C] 2π-4 [D] -4
12.(5分)在复平面内,把与复数z1=3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,则与所得的向量对应的复数为　　　　,该复数除以复数+i后得到的复数为　　　　.(用代数形式表示)
由题意知2(cos +isin )·(cos +isin )=2(cos +isin ),即在复平面内,把与复数z1=3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,与所得的向量对应的复数为2(cos +isin )=-3+ i.
因为+i=cos +isin ,
所以=2(cos +isin )=2i.
13.(17分)已知|z|=1,且z5+z+1=0,试用多种解法求解z.
由z5=-z-1,|z|5=1,知|z+1|=1.
所以
解得x=-,y=±.
故z=-±i.
法二　由|z|=1,设z=cos θ+isin θ(0≤θ<2π),
所以z5+z+1=cos 5θ+isin 5θ+cos θ+isin θ+1=0.
所以
即
所以(-1-cos θ)2+(-sin θ)2=1,
所以1+2cos θ+cos2θ+sin2θ=1.
即cos θ=-,
所以θ=或.
故z=-±i.
法三　由z5=-1-z,知=-1-,
(z·)5=(-1-z)(-1-)=1+z++z.
又由z·=|z|2=1,易得1=1+z++1,
即z+=-1.
故z的实部为-,z的虚部为±.
故z=-±i.

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