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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.2与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系 点、与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外 ； （2）点在圆上 ； （3）点在圆内 .
线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种： 位置关系相离相切相交图形公共点 个数012数量关系d>rd=rd切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的 . 即：∵OA是半径，MN是⊙O的切线， ∴OA⊥MN
判定 经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线。 即：∵OA是半径，且OA⊥MN于点A ∴MN是⊙O的切线
证明切线的常用方法 1．已知直线过半径外端，证直角； 2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角； 3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径．
切线长 定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 . 即：∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，PO平分∠APB
内切圆 定义 与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
【题型一】点与圆的位置关系
【例1.1】（2025 云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm．
【例1.2】（2025 巢湖市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（　　）
A． B．2 C． D．
【例1.3】（2025 南陵县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．6
【题型二】直线与圆的位置关系
【例2.1】（2025 镇江一模）已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（　　）
A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b
【例2.2】（2025 南岗区模拟）如图，AB为⊙O的直径，，当AC＝　　 cm时，直线AC与⊙O相切．
【例2.3】（2025 台山市一模）如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝5，AD＝4，求⊙O的半径长．
【题型三】切线的性质
【例3.1】（2025 瓯海区二模）如图，AB是⊙O的切线，C为切点，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD．若∠A＝24°，则∠D的度数为（　　）
A．24° B．30° C．33° D．36°
【例3.2】（2025 浙江模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，cosD＝，∠CAB＝30°，若CD＝6，则AC的长是 　　 ．
【例3.3】（2025 椒江区二模）如图，⊙O中，AB为直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD＝∠C．
（1）求证：OD⊥AE；
（2）若，OA＝3，求AE的长．
【例3.4】（2025 广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是 　 ；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为 　 ．
【题型四】切线的判定
【例4.1】（2025 济南一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
【例4.2】（2025 本溪一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，连接CD、OC，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝67.5°，AE＝4，求的长度．
【题型五】切线的判定与性质综合
【例5.1】（2025 郯城县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积．
【例5.2】（2023 婺城区模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF＝ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接BC，若tan∠BCD＝，DE＝6，求AB的长．
1．（2025 余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
2．（2025 钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．（2025 滨江区一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　）
A．21° B．42° C．48° D．69°
4．（2025 钱塘区一模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P＝30°，⊙O的半径为2，则PC的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 拱墅区二模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
6．（2025 浙江模拟）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 黄岩区二模）如图，已知⊙O的半径长是2，BA，BC分别切⊙O于点A，C，连结BO并延长交⊙O于点D，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（　　）
A．5 B．4 C．6 D．4
8．（2022 拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025 浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB为直径画半圆O，交BC于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点E，若DE＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
11．（2024 浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　　 ．
12．（2023 浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　　 ．
13．（2025 钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　　 ．
14．（2025 新昌县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，⊙O分别与AC，BC相切于点M，N，圆心O在AB上，则⊙O的半径长为　　 ．
15．（2025 浙江模拟）如图，⊙O的半径为1，圆心角∠AOB＜90°，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点C，过点B作BD⊥OA于点D，记BD＝m，OD＝n，则AC＝　　 ．（用含m，n的代数式表示）
16．（2024 瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 　　 ．
17．（2025 浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积．
18．（2025 景宁县二模）如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．过点A作AC⊥PD于点C，交⊙O于点N，连接AM．
（1）求证：AM平分∠CAB；
（2）若⊙O的直径为10，AN＝6，求CM的长．
19．（2025 衢江区一模）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若，BC＝6，求的长．
20．（2025 浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝45°，，求图中阴影部分的面积．
21．（2025 宁波模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，AD平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，DF⊥AC于点F，AF＝AB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CF＝AF＝6，求弧BE的长度．
22．（2022 富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝2，BD＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
1．（2024 浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
2．（2025 市南区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝5cm，以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
3．（2025 金东区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝27°，则∠D的度数为（　　）
A．63° B．44° C．54° D．64°
4．（2025 鹿城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的切线，连接CO并延长交弦AB于点D．若＝80°，∠ACE＝α（0°＜α＜90°），则∠CDB的度数为（　　）
A．130°﹣α B．170°﹣α C．80°+α D．40°+α
5．（2025 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
6．（2025 诸暨市三模）如图，点O在△ABC的边AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点B．若OC＝1，AC＝3，则扇形BOC的面积为（　　）
A． B． C．π D．
7．（2025 自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．50°或130°
8．（2025 镇坪县一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．下列结论中不正确的是（　　）
A．DE为⊙O的切线 B．DO＝DE
C．若∠ABC＝120°，则S△CDE＝ D．若BE＝1，BF＝2，则AD的长为
9．（2025 云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　　 cm．
10．（2025 浙江模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 　　 ．
11．（2025 温州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F．若∠DOE＝140°，则∠C＝ 　　 °．
12．（2025 临平区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D＝　　 度．
13．（2025 东营）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，﹣3），则点N的坐标为　　 ．
14．（2025 金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，以B为圆心，BD长为半径作圆．若⊙B与线段AC有两个交点，则BC满足的条件是 　　 ．
15．（2025 仁寿县一模）如图，AB为⊙O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE．
（1）求∠E的度数；
（2）试判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由．
16．（2024 金华模拟）如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；
（2）若∠C＝40°，AD＝6，求⊙O的半径．（精确到0.01，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
17．（2025 上城区三模）如图，BD为半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AE切半圆O于点E，BC⊥AC于点C，交半圆O于点F．连接BE．
（1）求证：BE平分∠ABC．
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O半径的长．
18．（2025 浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以CD为直径作⊙O，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AE＝DE．
（1）求证：CD＝BC；
（2）若BC＝5，BD＝6，求DE的长．
19．（2024 诸暨市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝1，BD＝3，求⊙O的半径长．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.2与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系 点、与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外 d>r； （2）点在圆上 d=r； （3）点在圆内 d线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交 位置关系相离相切相交图形公共点 个数012数量关系d>rd=rd切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的半径. 即：∵OA是半径，MN是⊙O的切线， ∴OA⊥MN
判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 即：∵OA是半径，且OA⊥MN于点A ∴MN是⊙O的切线
证明切线的常用方法 1．已知直线过半径外端，证直角； 2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角； 3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径．
切线长 定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，PO平分∠APB
内切圆 定义 与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
【题型一】点与圆的位置关系
【例1.1】（2025 云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm．
【点拨】根据“点P在圆上 d＝r”求解即可．
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；③点P在圆内 d＜r．
【例1.2】（2025 巢湖市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（　　）
A． B．2 C． D．
【点拨】分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，进而利用勾股定理求得圆的半径．
【解析】解：分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，M点的坐标为（﹣2，0），
∴OM＝2，
∵点A（0，4），
∴AM＝，
∴⊙M的半径为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，点和圆的位置关系，求得圆心的坐标是解题的关键．
【例1.3】（2025 南陵县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．6
【点拨】由AE⊥BE，得到E在以AB为直径的⊙O上，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小，由勾股定理求出，即可得到CE′＝OC﹣OE′＝8，于是得到线段CE的最小值为8．
【解析】解：如图，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴E在以AB为直径的⊙O上，
∵AB＝10，
∴OB＝OA＝OE′＝5，
∵BC＝12，
∴，
∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣5＝8，
∴线段CE的最小值为8．
故选答案为：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键．
【题型二】直线与圆的位置关系
【例2.1】（2025 镇江一模）已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（　　）
A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b
【点拨】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【解析】解：∵AB＝a，
∴以AB为直径的圆的半径＝，
∵以AB为直径的圆与边CD有交点，
∴≥b，
∴a≥2b，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，正确地理解题意得到不等式是解题的关键．
【例2.2】（2025 南岗区模拟）如图，AB为⊙O的直径，，当AC＝　1　 cm时，直线AC与⊙O相切．
【点拨】由AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切，得∠BAC＝90°，则AC＝＝1cm，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝1cm，BC＝cm，
∴AC＝＝＝1（cm），
故答案为：1．
【点睛】此题重点考查直线与圆的位置关系，证明∠BAC＝90°是解题的关键．
【例2.3】（2025 台山市一模）如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝5，AD＝4，求⊙O的半径长．
【点拨】（1）连接OC，根据角平分线的定得到∠DBC＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BCO，求得∠DBC＝∠ABC，根据平行线的性质得到OC⊥AD，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BD＝＝3，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：（1）AC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠DBC＝∠ABC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠D＝90°，
∵AB＝5，AD＝4，
∴BD＝＝3，
∵OC∥BD，
∴△AOC∽△ABD，
∴，
∴，
∴OC＝，
∴⊙O的半径长为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质与平行线定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【题型三】切线的性质
【例3.1】（2025 瓯海区二模）如图，AB是⊙O的切线，C为切点，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD．若∠A＝24°，则∠D的度数为（　　）
A．24° B．30° C．33° D．36°
【点拨】根据切线的性质得到∠ACO＝90°，求得∠AOC＝90°﹣24°＝66°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【解析】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠ACO＝90°，
∵∠A＝24°，
∴∠AOC＝90°﹣24°＝66°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∵∠AOC＝∠D+∠OCD，
∴∠D＝°，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【例3.2】（2025 浙江模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，cosD＝，∠CAB＝30°，若CD＝6，则AC的长是 　8　 ．
【点拨】连接OC、BC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，在Rt△OCD中利用余弦的定义求出OD＝10，再利用勾股定理计算出OC＝8，接着根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，∠ACB＝90°，然后判断△OCB为等边三角形得到BC＝OC＝8，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AC的长．
【解析】解：连接OC、BC，如图，
∵CD是半圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
在Rt△OCD中，∵cosD＝＝，
∴OD＝CD＝×6＝10，
∴OC＝＝8，
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OC＝8，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AC＝BC＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
【例3.3】（2025 椒江区二模）如图，⊙O中，AB为直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD＝∠C．
（1）求证：OD⊥AE；
（2）若，OA＝3，求AE的长．
【点拨】（1）根据切线的性质得到AB⊥BC，得到∠A+∠C＝90°，根据题意得到∠A+∠AOD＝90°，即可证明；
（2）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据余弦的定义计算即可．
【解析】（1）证明：∵BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵∠AOD＝∠C，
∴∠A+∠AOD＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AE；
（2）解：如图，连接BE，
∵OA＝3，
∴AB＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵cosA＝＝，
∴AE＝4．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【例3.4】（2025 广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是 d＞6　 ；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为 y＝　 ．
【点拨】由题意知点P在⊙O外，得到d＞6，由平行线的性质和角平分线定义推出∠POC＝∠CPO，得到PC＝OC，由勾股定理得到（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，即可得到y关于x的函数关系式．
【解析】解：∵过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，
∴点P在⊙O外，
∴d＞6；
∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，
∴OP平分∠APB，
∴∠APO＝∠BPO，
∵OC∥PA，
∴∠POC＝∠APO，
∴∠POC＝∠CPO，
∴PC＝OC，
∵PA＝x，CD＝y，
∴PC＝OC＝y+6，
∴BC＝PB﹣PC＝x﹣（y+6）＝x﹣y﹣6，
连接OB，
∴半径OB⊥PB，
∴∠OBC＝90°，
∴OC2＝BC2+OB2，
∴（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，
∴y＝．
故答案为：d＞6，y＝．
【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，函数关系式，关键是由勾股定理列出关于x、y的等式．
【题型四】切线的判定
【例4.1】（2025 济南一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
【点拨】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵AD＝3cm，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵DE⊥AC，
∴DE＝＝＝（cm），
∴AE＝＝＝（cm）．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
【例4.2】（2025 本溪一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，连接CD、OC，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝67.5°，AE＝4，求的长度．
【点拨】（1）连接AO，延长AO交BC于点F，利用线段的垂直平分线的判定与性质得到∠AFC＝90°，利用矩形的判定与性质得到∠OAE＝90°，即OA⊥AE，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝90°，得到△OBC和△OCD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得圆的半径，再利用弧长公式解答即可．
【解析】（1）证明：连接AO，延长AO交BC于点F，如图，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA是BC的垂直平分线，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠E＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠E＝∠AFC＝90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∴∠OAE＝90°，
即OA⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝67.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵四边形AFCE为矩形，AE＝4，
∴AE＝CF＝4．
在Rt△OFC中，∠AFC＝90°，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
【题型五】切线的判定与性质综合
【例5.1】（2025 郯城县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积．
【点拨】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）得出∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到DF＝3，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，CD．
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC．
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ODF＝90°．
∵∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°．
在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴，
∴．
在Rt△ODF中，∠F＝30°，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【例5.2】（2023 婺城区模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF＝ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接BC，若tan∠BCD＝，DE＝6，求AB的长．
【点拨】（1）连接OC，OD，可证明∠ODC＝∠OCD，∠FDE＝∠DFE＝∠OFC，根据∠OCF+∠OFC＝90°，进而证明∠ODF+∠FDE＝90°，进一步得出结论；
（2）连接OD，作DG⊥AE于G，设DG＝a，AG＝2a，OA＝OD＝r，OG＝AG﹣OA＝2a﹣r，在Rt△DOG中列出r2﹣（2a﹣r）2＝a2，从而r＝a，进而tan∠DOG＝＝＝，进一步得出结果．
【解析】（1）证明：如图1，
连接OC，OD，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∴∠OCD+∠CFO＝90°，
∵∠BFD＝∠CFO，
∴∠OCD+∠BFD＝90°，
∵EF＝ED，
∴∠BFD＝∠EDF，
∴∠OCD+∠EDF＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODF＝∠OCD，
∴∠ODF+∠EDF＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
连接OD，作DG⊥AE于G，
∵tan∠BAD＝tan∠BCD＝，
∴，
设DG＝a，AG＝2a，OA＝OD＝r，
∴OG＝AG﹣OA＝2a﹣r，
在Rt△DOG中，
∵OD2﹣OG2＝DG2，
∴r2﹣（2a﹣r）2＝a2，
∴r＝a，
∴OG＝2a﹣a＝a，
∴tan∠DOG＝＝＝，
在Rt△DOE中，
∵tan∠DOG＝，
∴＝，
∴OD＝4.5，
∴AB＝2OD＝9．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
1．（2025 余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【点拨】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．
【解析】解：∵点A（1，），
∴AO＝＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
2．（2025 钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【点拨】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
【解析】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r③直线l和⊙O相离 d＞r．
3．（2025 滨江区一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　）
A．21° B．42° C．48° D．69°
【点拨】连接OA，由切线的性质得AC⊥OA，则∠OAC＝90°，而∠AOC＝2∠B＝42°，所以∠C＝90°﹣∠AOC＝48°，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，A为切点，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵∠B＝21°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×21°＝42°，
∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣42°＝48°，
故选：C．
【点睛】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
4．（2025 钱塘区一模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P＝30°，⊙O的半径为2，则PC的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥PC，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC．
【解析】解：如图，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠P＝30°，OC＝2，
∴OP＝2OC＝4，
由勾股定理得：PC＝＝＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．
5．（2023 拱墅区二模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【点拨】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解析】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
6．（2025 浙江模拟）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到BC经过圆心O，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得OC，CD，再利用阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD解答即可得出结论．
【解析】解：设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，如图，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵过B，C两点作与弦AC相切，
∴BC经过圆心O，
即BC为直径，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2，CD＝BC，∠COD＝60°，
∵BC＝＝2，
∴OC＝OB＝CD＝，
∴AD＝＝1，
∴BD＝AB﹣AD＝3，
∵OB＝OC，
∴，
∴阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD
＝+﹣
＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
7．（2025 黄岩区二模）如图，已知⊙O的半径长是2，BA，BC分别切⊙O于点A，C，连结BO并延长交⊙O于点D，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（　　）
A．5 B．4 C．6 D．4
【点拨】连接AO，CO，根据菱形的性质得到AB＝AD，求得∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAO，根据切线的性质得到∠BAO＝90°，求得∠ABO＝30°，得到OB＝2OA＝4，于是得到结论．
【解析】解：连接AO，CO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠ADO＝2∠ABD，
∵BA切⊙O于点A，
∴∠BAO＝90°，
∴∠ABO+∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∵AO＝2，
∴OB＝2OA＝4，
∴BD＝OB+OD＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．（2022 拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9．（2025 浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
【解析】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，
由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5，
∴CF＝DF＝CD＝，
∴OF＝＝，
∴OO′＝2，
∵弧CE'D与AB相切于点E'，
∴O′E′⊥AB，
∴OO′2＝OE′2+O′E′2，
∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x，
∴（2）2＝（5﹣x）2+52，
∴（x﹣5）2+y2＝75，
当x＝5时，y的值最大，最大值为5，
当x＝10时，y的值最小，最小值为5，
∴5≤CD≤5．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键．
10．（2025 龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB为直径画半圆O，交BC于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点E，若DE＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
【点拨】连结OD、AD，如图，先根据切线的性质得到OD⊥DE，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，所以∠AED＝90°，接着在Rt△CDE中利用正切的定义求出CE＝2，则利用勾股定理可计算出CD＝2，然后再在Rt△ACD中利用正切的定义求AD，最后利用勾股定理计算出AC的长即可．
【解析】解：连结OD、AD，如图，
∵DE为半圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠C＝∠B，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△CDE中，∵tanC＝＝tanB＝2，
∴CE＝DE＝2，
∴CD＝＝2，
在Rt△ACD中，∵tanC＝＝2，
∴AD＝2CD＝4，
∴AC＝＝10，
∴AB＝10．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．
11．（2024 浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　40°　 ．
【点拨】由切线的性质得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝90°﹣50°＝40．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查切线的性质，关键是由切线的性质得到∠BAC＝90°．
12．（2023 浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　 ．
【点拨】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】解：连接OC，OB，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D＝，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．（2025 钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　6　 ．
【点拨】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB＝12，又因为PA＝PB，所以可求出PA的长．
【解析】解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长＝PA+PB．
14．（2025 新昌县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，⊙O分别与AC，BC相切于点M，N，圆心O在AB上，则⊙O的半径长为　　 ．
【点拨】连接ON，OM，根据切线的性质得到∠ONC＝∠C＝∠OMC＝90°，根据正方形的性质得到CN＝CM＝ON＝OM，ON∥AC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：连接ON，OM，
∵⊙O分别与AC，BC相切于点M，N，
∴∠ONC＝∠C＝∠OMC＝90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMCN是正方形，
∴CN＝CM＝ON＝OM，ON∥AC，
∴△BNO∽△BCA，
∴，
∴，
∴ON＝，
∴⊙O的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15．（2025 浙江模拟）如图，⊙O的半径为1，圆心角∠AOB＜90°，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点C，过点B作BD⊥OA于点D，记BD＝m，OD＝n，则AC＝　　 ．（用含m，n的代数式表示）
【点拨】根据切线的性质得到AC⊥OA，得到BD∥AC，证明△ODB∽△OAC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解析】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥OA，
∵BD⊥OA，
∴BD∥AC，
∴△ODB∽△OAC，
∴＝，即＝，
解得：AC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．（2024 瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 　　 ．
【点拨】连接DC，由以CE为直径作⊙F，得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，即可得动点D在以BC中点O为圆心，为半径的圆上运动，当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，故AD≥AO﹣OD＝＝．
【解析】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴＝＝，
连接DC，由以CE为直径作⊙F，
得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，
得动点D在以BC中点O为圆心，为半径的圆上运动，
当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，
故AD≥AO﹣OD＝＝，
即AD的最小值＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、圆周角定理，三角形三边关系以及直角三角形斜边上的中线，解题关键是动中抓不变．
17．（2025 浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，得到∠ODB＝∠C，证明OD∥AC，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质证明；
（2）根据等边三角形的性质求出∠A＝60°，解直角三角形求出EC，再根据梯形面积公式计算即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由作图可知：OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴OD⊥OE；
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB＝，
则OA＝＝＝2，AE＝＝＝1，
∴AB＝2+，
∴EC＝AC﹣AE＝2+﹣1＝1+，
则四边形ODCE的面积为：×（++1）×＝3+．
【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（2025 景宁县二模）如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．过点A作AC⊥PD于点C，交⊙O于点N，连接AM．
（1）求证：AM平分∠CAB；
（2）若⊙O的直径为10，AN＝6，求CM的长．
【点拨】（1）连接OM，则AO＝MO和∠OAM＝∠OMA，根据题意得OM⊥CP，即有OM∥AC，可得∠CAM＝∠OMA，则有∠CAM＝∠OAM即可判定角平分线；
（2）过点O 作OE⊥AN于点E，连接ON，则∠OEC＝90°，判定四边形OMCE为矩形，有CM＝EO，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可．
【解析】（1）证明：如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．连接OM，
∴AO＝MO，∠OAM＝∠OMA，OM⊥CP，
∵AC⊥PD，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠OMA，
∴∠CAM＝∠OAM，
∴AM平分∠CAB；
（2）解：如图2，过点O 作OE⊥AN于点E，连接ON，OM，则∠OEC＝90°，
∵过点P作⊙O的切线PD，切点为M，
∴OM⊥CP，即∠OMC＝90°，
∵AC⊥PD，
∴∠ACM＝90°，
∴四边形OMCE为矩形，
∴CM＝EO，
∵OA＝ON，AN＝6，
∴，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
在直角三角形AOE中，由勾股定理得：，
∴CM＝4．
【点睛】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是熟悉常规辅助线的做法．
19．（2025 衢江区一模）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若，BC＝6，求的长．
【点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据四边形内角和、邻补角的定义得到∠AOD＝∠ABC，得到∠ABC＝2∠ACD；
（2）根据正切的定义求出∠A，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）证明：如图，连接OD，
由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD，
∵OC为半径作圆与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠COD+∠ABC＝180°，
∵∠COD+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝6，
则tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠COD＝∠A+∠ADO＝120°，OD＝OA，
∴OC＝OA，
∵AC＝6，
∴OC＝2，
∴的长为：＝．
【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．（2025 浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝45°，，求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）如图，连接OD，根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠OBD，则∠ODB＝∠EBD，得到OD∥EB，结合切线的判定即可求解；
（2）根据角平分线的性质定理得到，根据圆周角定理得到∠DOF＝2∠DBF＝45°，则等腰Rt△DOF中，，根据，即可求解．
【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
由条件可知∠EBD＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥EB，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径．
∴DE与⊙O相切；
（2）由条件可知，
∵∠ABC＝45°，∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴，
∴∠DOF＝2∠DBF＝45°，
∴等腰Rt△DOF中，，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的判定，角平分线的定义及角平分线的性质定理，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握切线的判定，扇形面积的计算是关键．
21．（2025 宁波模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，AD平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，DF⊥AC于点F，AF＝AB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CF＝AF＝6，求弧BE的长度．
【点拨】（1）证明△ABD≌△AFD，即可得到∠ABD＝∠AFD＝90°，进一步即可得到结论；
（2）连结OE．求出∠BOE＝60°，根据弧长公式进行求解即可．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠FAD．
∵AF＝AB，AD＝AD，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（SAS）．
∵DF⊥AC于点F，
∴∠ABD＝∠AFD＝90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：连接OE，
∵CF＝AF＝6，DF⊥AC，
∴AB＝6，∠C＝∠FAD＝∠BAD．
∵∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝30°．
∴∠BOE＝60°．
∴弧BE的长为．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
22．（2022 富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝2，BD＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【点拨】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝r+2，根据勾股定理列方程可得r的长，最后由面积差可得结论．
【解析】解：（1）BC与⊙O相切．
理由：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝r+2，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴r2+（2）2＝（r+2）2，
∴r＝2，
∴OD＝2，OB＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴阴影部分的面积＝×2×2﹣＝2﹣π．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
1．（2024 浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
【点拨】根据勾股定理的逆定理证得△XYZ是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得YM的长，然后与26m比较大小，即可解答本题．
【解析】解：∵XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．
∴XY2+YZ2＝XZ2，
∴△XYZ是直角三角形，
∴∠XYZ＝90°，
∵点N是斜边XZ的中点，
∴XM＝MZ＝25m，
∵△XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线，
∴YM＝XZ＝25m，
∵26＞25，
∴点X、Y、Z都在圆内，
∴这三栋楼都不该5G基站覆盖范围内．
故选：A．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到M点的距离．
2．（2025 市南区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝5cm，以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
【点拨】利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用三角形面积求出DC的长，进而利用直线与圆的位置关系得出答案．
【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵sinB＝sin∠ACD＝＝＝，
∴AD＝4cm，
∴CD＝＝3（cm），
∵r＝2.8cm，
∴CD＞r，
故以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相离．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形、三角形面积求法等知识，得出Rt△ABC斜边上的高是解题关键．
3．（2025 金东区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝27°，则∠D的度数为（　　）
A．63° B．44° C．54° D．64°
【点拨】连接OC，由等边对等角可得∠OCA＝∠CAB＝27°，由三角形外角的性质可得∠BOC＝∠OCA+∠CAB＝54°，由切线的性质可得CD⊥OC，则∠OCD＝90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠D+∠COD＝90°，由OD⊥AB可得∠BOD＝90°，进而可得∠BOC+∠COD＝90°，于是可得∠D＝∠BOC，由此即可求出∠D的度数．
【解析】解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB＝27°，
∴∠BOC＝∠OCA+∠CAB＝27°+27°＝54°，
∵OC是半圆O的半径，CD是半圆O的切线，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠D＝∠BOC＝54°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
4．（2025 鹿城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的切线，连接CO并延长交弦AB于点D．若＝80°，∠ACE＝α（0°＜α＜90°），则∠CDB的度数为（　　）
A．130°﹣α B．170°﹣α C．80°+α D．40°+α
【点拨】连接OB，由＝80°，得∠BOC＝80°，则∠A＝∠BOC＝40°，由切线的性质得∠OCE＝90°，则∠ACD＝90°﹣α，求得∠CDB＝∠A+∠ACD＝130°﹣α，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接OB，
∵＝80°，
∴∠BOC＝80°，
∴∠A＝∠BOC＝40°，
∵CE是⊙O的切线，∠ACE＝α
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠ACD＝∠OCE﹣∠ACE＝90°﹣α，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝40°+90°﹣α＝130°﹣α，
故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
5．（2025 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【点拨】设圆心为O，连接OE，设⊙O的半径为r，得AO＝5+r，AB＝5+2r，然后利用勾股定理求出r，根据sin∠A＝＝，代入值即可求出BC．
【解析】解：如图，设圆心为O，连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
设⊙O的半径为r，
∴OE＝OD＝r，
∴AO＝AD+OD＝5+r，AB＝AD+BD＝5+2r，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AO2＝AE2+OE2，
∴（5+r）2＝102+r2，
∴r＝7.5，
∴AO＝5+r＝12.5，AB＝5+2r＝20，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴BC＝12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，根据勾股定理求出半径是解题的关键．
6．（2025 诸暨市三模）如图，点O在△ABC的边AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点B．若OC＝1，AC＝3，则扇形BOC的面积为（　　）
A． B． C．π D．
【点拨】先根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再利用余弦的定义求出∠AOB＝60°，所以∠BOC＝120°，然后根据扇形的面积公式计算．
【解析】解：∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OC＝1，AC＝3，
∴OA＝2，OB＝1，
在Rt△AOB中，∵cos∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴扇形BOC的面积＝＝π．．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形和扇形面积的计算．
7．（2025 自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．50°或130°
【点拨】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠ACB的度数是50°或130°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．（2025 镇坪县一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．下列结论中不正确的是（　　）
A．DE为⊙O的切线 B．DO＝DE
C．若∠ABC＝120°，则S△CDE＝ D．若BE＝1，BF＝2，则AD的长为
【点拨】对于选项A，根据OA＝OD得∠A＝∠ODA，根据AB＝BC得∠A＝∠C，进而得∠ODA＝∠C，则OD∥BC，再根据DE⊥BC得DE⊥OD，据此根据切线的判定即可对选项A进行判断；
对于选项B，证明DO是△ABC的中位线得DO＝1/2BC，根据∠ADB＝90°得∠BDC＝90°，因此当DE是Rt△BCD的斜边BC边上的中线时，DE＝BC，此时才有DO＝DE，据此可对选项B进行判断；
对于选项C，设⊙O的半径为R，则AB＝BC＝2R，根据∠ABC＝120°，AB＝BC得∠A＝∠C＝30°，进而得BD＝R，AD＝√3R，再根据OD是△ABC的中位线得AD＝CD＝，则AC＝，继而得S△ABC＝AC BD＝，再分别求出DE＝，CE＝，则S△CDE＝DE CE＝，据此可对选项C进行判断；
对于选项D，连接AF，则EF＝BE+BF＝3，证明DE是△ACF的中位线得CE＝EF＝3，DE＝AF，进而得AB＝BC＝4，AF＝，则DE＝，然后在Rt△CDE中，由勾股定理可求出CD＝，据此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】解：对于选项A，
∵AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线，
故选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
∵OA＝OB，OD∥BC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO＝BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴当DE是Rt△BCD的斜边BC边上的中线时，DE＝BC，
此时才有DO＝DE，
根据已知条件无法判定DE是BC边上的中线，
∴无法判定DO＝DE，
故选项B不正确，符合题意；
对于选项C，
设⊙O的半径为R，则AB＝BC＝2R，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，
∴BD＝1/2AB＝R，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
∵OD是△ABC的中位线，
∴CD＝AD＝，
∴AC＝，
∴S△ABC＝AC BD＝＝，
∵DE⊥BC，
∴在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠C＝30°，
∴DE＝CD＝，
由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴S△CDE＝DE CE＝＝，
∴S△CDE＝S△ABC，
故选项C正确，不符合题意；
对于选项D，
连接AF，如图所示：
∵BE＝1，BF＝2，
∴EF＝BE+BF＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠F＝90°，
即AF⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥AF，
∴AD＝CD，
∴DE是△ACF的中位线，
∴CE＝EF＝3，DE＝AF，
∴BC＝CE+BE＝3+1＝4，
∴AB＝BC＝4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝＝，
∴DE＝AF＝，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝．
故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是已解决问题的关键．
9．（2025 云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm．
【点拨】根据“点P在圆上 d＝r”求解即可．
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；③点P在圆内 d＜r．
10．（2025 浙江模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 　30°　 ．
【点拨】先利用切线的性质得到∠CAP＝90°，则利用互余计算出∠PAB＝75°，再根据切线长定理得到PA＝PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P的度数．
【解析】解：∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝75°，
∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
11．（2025 温州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F．若∠DOE＝140°，则∠C＝ 　50　 °．
【点拨】根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥BC，根据四边形内角和等于360°求出∠B，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵⊙O分别切AB，BC于点D，E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠B+∠DOE＝180°，
∵∠DOE＝140°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
12．（2025 临平区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D＝　28　 度．
【点拨】连接OC，根据圆周角定理求出∠COD，根据切线的性质得到OC⊥CD，再根据直角三角形的性质求出∠D．
【解析】解：如图，连接OC，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝2×31°＝62°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣62°＝28°，
故答案为：28．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．（2025 东营）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，﹣3），则点N的坐标为　（9，0）　 ．
【点拨】连接PQ，PN，过点P作PA⊥MN于点A，根据点的坐标结合切线的性质推出OA＝PQ＝PN＝5，据此解答．
【解析】解：如图，连接PQ，PN，过点P作PA⊥MN于点A，
∵点P的坐标为（5，﹣3），
∴OA＝5，PA＝3，
∵⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，
∴OA＝PQ＝PN＝5，
∴AN＝＝4，
∴ON＝OA+AN＝5+4＝9，
∴N（9，0），
故答案为：（9，0）．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟记切线的性质，勾股定理是解题的关键．
14．（2025 金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，以B为圆心，BD长为半径作圆．若⊙B与线段AC有两个交点，则BC满足的条件是 　BC且BC≠2　 ．
【点拨】找出临界值，当⊙B与AC相切时，⊙B经过点C时，⊙B经过点A时分别求出对应的BC值，即可得解．
【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝1，
①若AC与⊙B相切，则BD⊥AC，
∵D是AC中点，
∴此时AB＝BC＝AC＝2，
∴BC≠2；
②若⊙B经过点C，如图，
则BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即，
∴BC＝；
③若⊙B经过点A，则BD＝BA＝2，
如图，取BC中点E，连接DE，过D作DF⊥BC于点F，
∵D和E分别是AC和BC中点，
∴DE＝AB＝1，DE∥AB，
∴∠ABC＝∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∴设EF＝CF＝x，则CE＝BE＝2x，
∴BF＝3x，
在Rt△DCF中，DF2＝CD2﹣CF2＝1﹣x2，
在Rt△BDF中，DF2＝BD2﹣BF2＝4﹣9x2，
∴1﹣x2＝4﹣9x2，
解得x＝，
∴BC＝4x＝；
综上，若⊙B与线段AC有两个交点，则BC且BC≠2；
故答案为：BC且BC≠2．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．（2025 仁寿县一模）如图，AB为⊙O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE．
（1）求∠E的度数；
（2）试判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到AD＝OD．推出△OAD是等边三角形．得到∠OAD＝60°，再结合AD＝AE即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ODE＝90°．由垂直的定义得到OD⊥DE．推出DE是⊙O的切线．
【解析】解：（1）∵AB为⊙O的直径，点D在圆上，
∴OA＝OD，
∵点C为OA的中点，CD⊥AB，
∴AD＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵AD＝AE，
∴；
（2）ED与⊙O的位置关系是相切；理由如下：
由（1）知∠ADE＝30°，∠ADO＝60°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2024 金华模拟）如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；
（2）若∠C＝40°，AD＝6，求⊙O的半径．（精确到0.01，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
【点拨】（1）只要证∠EDO＝90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形两锐角互余得∠A＝50°，根据cosA＝，即可求得⊙O的半径．
【解析】（1）证明：如图1，连接OD、DB；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°．
∵E为BC边上的中点，
∴CE＝EB＝DE，
∴∠1＝∠2．
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠4．
∴∠1+∠4＝∠2+∠3．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝∠2+∠3＝90°，
∴∠EDO＝∠1+∠4＝90°．
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°，
∴∠A＝50°，
∵cosA＝，
∴AB＝＝≈9.334，
∴⊙O的半径为4.67．
【点睛】主要考查了切线的判定方法和解直角三角函数．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
17．（2025 上城区三模）如图，BD为半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AE切半圆O于点E，BC⊥AC于点C，交半圆O于点F．连接BE．
（1）求证：BE平分∠ABC．
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O半径的长．
【点拨】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，得到OE∥BC，根据平行线的性质得到∠CBE＝∠OEB，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠OEB，得到∠CBE＝∠ABE；
（2）根据勾股定理求出AB，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠CBE＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴∠CBE＝∠ABE，即BE平分∠ABC．
（2）解：在Rt△ACB中，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
设⊙O半径的长为r，则OA＝10﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：r＝，
答：⊙O半径的长为．
【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（2025 浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以CD为直径作⊙O，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AE＝DE．
（1）求证：CD＝BC；
（2）若BC＝5，BD＝6，求DE的长．
【点拨】（1）根据切线的性质得到∠CDE＝90°，再根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠1，利用等角的余角相等得到∠2＝∠B，然后根据等角对等边可得结论；
（2）设BD与⊙O交于点F，连接CF，根据圆周角定理可推导出∠3＝∠A，∠CFD＝90°，再根据三线合一得到．利用勾股定理求得CF＝4；证明△CFB∽△ACB求得，设DE＝x，则AE＝x，，在Rt△CDE中，利用勾股定理求得即可求解．
【解析】（1）证明：如解图，∵DE是⊙O的切线，
∴∠CDE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠A＝∠1，
∴∠A+∠2＝90°
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠2＝∠B，
∴CD＝BC；
（2）解：设BD与⊙O交于点F，连接CF，
由题意可得：∠CFD＝90°，
∴∠3+∠B＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠3＝∠A，
由（1）知CD＝BC＝5，
∴．
∴在Rt△CBF中，，
∵∠CFB＝∠ACB＝90°，
∴△CFB∽△ACB，
∴，即，
∴，
设DE＝x，则AE＝x，
∴，
∵CE2＝DE2+CD2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线得性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键．
19．（2024 诸暨市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝1，BD＝3，求⊙O的半径长．
【点拨】（1）连接OE，则∠ODE＝∠OED＝∠CDB，根据∠ACB＝90°得∠CBD+∠CDB＝90°，则∠CBD+∠OED＝90°，再根据CE＝BC得∠CBD＝∠CED，据此可得∠CED+∠OED＝90°，然后根据切线的判定可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+1，在Rt△BCD中由勾股定理可求出BC＝，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出r即可．
【解析】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵AD为⊙O的直径，点E在⊙O上，
∴OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠ODE＝∠CDB，
∴∠OED＝∠CDB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠CBD+∠OED＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠CBD＝∠CED，
∴∠CED+∠OED＝90°，
∴∠OEC＝90°，
即OE⊥CE，
又∵OE为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵CD＝1，
∴OC＝OD+CD＝r+1，
在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，
由勾股定理得：BC＝＝，
∴CE＝BC＝，
∵∠OEC＝90°，
∴在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2＝OE2+CE2，
即（r+1）2＝r2+（）2，
解得：r＝3.5．
故⊙O的半径为3.5．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解决问题的关键．
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