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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章 图形的变化
6.4图形的相似
图形的 相似 比例线段 比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做 ，简称 ．
比例的基本性质 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果 (a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
平行线分线段成比例和黄金分割 平行线分线段成比例 ①如图1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推论：如图2，∵EF∥BC，∴＝，或.
黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C ，点C叫做线段AB的 ，AC与AB的比叫做黄金比．其中＝≈0.618.
相似三角形 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于 。 (2)相似三角形周长的比等于 。 (3)相似三角形面积的比等于 。 (4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 。
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 。 (2) ，两三角形相似。 (3) ，两三角形相似。 (4) ，两三角形相似。。
位似 定义 如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做 多边形，点O叫做 ，k就是这两个相似多边形的相似比．
性质 ①位似多边形一定 ，位似多边形具有相似多边形的一切性质； ②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于 .
找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
相似模型 A字型 （1）如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC； （2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC.
8字型 （1）如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO； （2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.
母子型 已知：，结论：
一线三等角型（K型图） 已知：∠B=∠ACE=∠D，结论：△ABC∽△CDE
双垂型 已知：∠C=90°，CD为斜边AB上的高 结论：△ABC∽△ACD∽△CBD
【题型一】比例线段
【例1.1】（2023 婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8
C．5，6，2，3 D．，，1，
【例1.2】（2025 浙江模拟）若，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．
【例1.3】（2025 安庆模拟）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝16，则c等于（　　）
A．±8 B．±10 C．8 D．10
【例1.4】（2025 临平区二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：4，BE＝28，那么CE的长为 　　 ．
【例1.5】（2025 柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　　 ．
【题型二】相似三角形的性质与判定
【例2.1】（2024 义乌市模拟）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　）
A．CD2＝AD DB B．AC2＝BC CD C． D．
【例2.2】（2025 临沧模拟）如图，矩形ABCD中，CE＝2DE，点P在BC边上且恰好存在点P使△ABP和△PCE相似，若AB＝3，BC＝5，则BP长为（　　）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或4
【例2.3】（2024 金华一模）已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例2.4】（2025 西湖区模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）
A． B． C． D．
【例2.5】（2025 丽水一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，将△BOC沿着AC折叠得到△B′OC，B′O与AD相交于点E，则＝　　 ．
【例2.6】（2025 临平区二模）如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP．
（1）求证：PB2＝PE PF．
（2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长．
【题型三】相似三角形的应用
【例3.1】（2025 金华模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　）
A． B．3cm C． D．
【例3.2】（2024 临安区二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝11.04m，EF＝2.76m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.24m，则旗杆AB的高度为（　　）
A．12.96m B．12.76m C．12.56m D．12.36m
【例3.3】（2025 无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m．
（2）求妙光塔AB的高度．
【题型四】位似变换
【例4.1】（2024 浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
【例4.2】（2025 拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【题型五】相似三角形综合问题
【例5.1】（2025 温州模拟）如图，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，构造菱形ADEF，点E在线段CD上．G为AD上一点，AG＝BD，连结FG交AC于点H．
（1）求证：∠AGF＝∠C．
（2）当G为AD的中点，AH＝2，AC＝8时，求BE的长．
（3）若∠AHG＝60°，求证：AG＝CE．
1．（2025 温州模拟）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b＝，c＝2，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
3．（2025 上城区一模）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC＝10，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025 浙江模拟）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（　　）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
5．（2025 浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
6．（2025 温州模拟）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知P是笛子AB的黄金分割点，若笛子AB长50cm，则PB长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 平湖市二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 浙江模拟）如图，矩形ABCD∽矩形DEFG，连接AF、CG、DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（　　）
A．矩形ABCD的面积 B．四边形ABCG的面积 C．△DEF的面积 D．△ADF的面积
9．（2025 西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 江北区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，AD∥BC，∠BDC＝90°，记AB＝x，AD＝y，当BC不变，AB改变的过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．x2﹣y2
11．（2024 钱塘区二模）已知，则代数式的值为 　 　 ．
12．（2025 余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　　 cm．
13．（2022 钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 　　 ．
14．（2025 萧山区模拟）如图，E，F分别是 ABCD两边的中点，连接EF，交AC于点M，则的值为 　　 ．
15．（2025 浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ．
16．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝　　 （结果用含k的代数式表示）．
17．（2025 钱塘区一模）已知线段a，b满足，且a﹣2b＝6．
（1）求线段a，b的长．
（2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
18．（2023 丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
19．（2025 萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC．
（1）求证：△BCP∽△BAC．
（2）若PC＝2，求AC的长．
20．（2025 浙江模拟）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，E是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作EF∥AB，交AC于点F，连结AE，设CE＝x．
（1）用含x的代数式表示△CEF的面积．
（2）当△CEF与△ACE相似时，求x的值．
21．（2025 温州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作⊙O交边AC于点D，AE∥BC，交⊙O于点E，连结DE，BE．
（1）求证：△BCD∽△BAE．
（2）若AD＝3，tan∠BDE＝2，求AE的长．
22．（2025 鹿城区二模）如图，在矩形ABCD中，过点D作EF⊥BD，DE＝DF．连接BE交边AD于点G，连接BF交边CD于点H．
[认识图形]求证：∠ABD＝∠EDA．
[研究特例]若AB＝6，AD＝8，DE＝3，直接写出与的值．
[探索关系]若tan∠ABD＝n（n是常数），设，求y关于x的函数表达式．
[应用结论]若，求AB的长．
1．（2025 城东区校级三模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8
2．（2025 浙江模拟）如图，AD∥BE∥CF，若，则为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 遵义二模）如图，已知△ABC∽△AED且．若S△ADE＝1，则S△ABC值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025 金华模拟）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
5．（2023 开化县模拟）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．（2025 绍兴二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E是AC的中点，连结DE，且DE＝BC，CD＝2，则AD＝（　　）
A．4 B． C． D．
7．（2023 衢州二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
8．（2025 杭州模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连结EG并延长交AB于点I，交CD于点J，正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，若AI＝BI时，则的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2025 定海区三模）如果＝，那么＝　　 ．
10．（2025 徐汇区一模）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 　　 厘米．
11．（2023 金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为 　　 ．
12．（2025 绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．
13．（2025 舟山三模）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，点F是AE的中点，连结DE，BF交于点G，若EG＝5，则DG＝ 　　 ．
14．（2025 安庆二模）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值．
15．（2025 丽水一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，CD．
（1）求证：△BCD∽△BAE；
（2）若AB＝2，求BE BC的值．
16．（2025 蓬莱区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，△ADE∽△DBC．
（1）请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明；
（2）求证：点E是线段AC的黄金分割点．
17．（2025 浙江模拟）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，连接AC．
（1）判断△ABC的形状并说明理由．
（2）如图1，E、F分别为边AC、BC上的动点，AE＝CF，AF交BE于点P．
①如图2，连接CP，若∠CPF＝∠CBE，求证：BF2＝CF BC，
②若AB＝2，直接写出动点P到直线AB的最大距离．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章 图形的变化
6.4图形的相似
相似 比例线段 比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例的基本性质 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
平行线分线段成比例和黄金分割 平行线分线段成比例 ①如图1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推论：如图2，∵EF∥BC，∴＝，或.
黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中＝≈0.618.
相似三角形 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。 (2)相似三角形周长的比等于相似比。 (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (2)三边对应成比例，两三角形相似。 (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 (4)两角对应相等，两三角形相似。。
位似 定义 如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．
性质 ①位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质； ②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比.
找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
相似 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
相似模型 A字型 （1）如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC； （2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC.
8字型 （1）如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO； （2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.
母子型 已知：，结论：
一线三等角型（K型图） 已知：∠B=∠ACE=∠D，结论：△ABC∽△CDE
双垂型 已知：∠C=90°，CD为斜边AB上的高 结论：△ABC∽△ACD∽△CBD
【题型一】比例线段
【例1.1】（2023 婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8
C．5，6，2，3 D．，，1，
【点拨】根据比例的性质解决此题．
【解析】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意．
B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意．
C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．
D．由，得，，1，成比例，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
【例1.2】（2025 浙江模拟）若，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．
【点拨】根据比例的性质进行变形求解即可．
【解析】解：根据题意可知，4b﹣a＝2a，
∴4b＝3a，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
【例1.3】7．（2025 安庆模拟）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝16，则c等于（　　）
A．±8 B．±10 C．8 D．10
【点拨】根据比例中项的知识可以得到c的值，而线段的长度是一个正值，从而可以解答．
【解析】解：由条件可知c2＝ab，
解得c＝8或c＝﹣8（舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【例1.4】（2025 临平区二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：4，BE＝28，那么CE的长为 　16　 ．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理即可求得答案．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：4，BE＝28，
∴AD：DF＝BC：CE＝3：4，
又∵BC＝BE﹣CE，
∴，
∴CE＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
【例1.5】（2025 柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　　 ．
【点拨】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解析】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2×＝﹣1．
【点睛】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
【题型二】相似三角形的性质与判定
【例2.1】（2024 义乌市模拟）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　）
A．CD2＝AD DB B．AC2＝BC CD C． D．
【点拨】根据相似三角形的判定定理依次判断即可．
【解析】解：由CD2＝AD DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；
由AC2＝BC CD，可得AC：BC＝CD：AC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；
由得不出结论；
由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键．
【例2.2】（2025 临沧模拟）如图，矩形ABCD中，CE＝2DE，点P在BC边上且恰好存在点P使△ABP和△PCE相似，若AB＝3，BC＝5，则BP长为（　　）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或4
【点拨】先根据矩形的性质以及CE＝2DE可得CE＝2，设BP＝x，则CP＝5﹣x，然后分△ABP∽△PCE和△ABP∽△ECP两种情况，分别利用相似三角形的性质即可解答．
【解析】解：∵矩形ABCD中，CE＝2DE，AB＝3，BC＝5，
∴AB＝CD＝3，∠C＝∠B＝90°，
∴，
设BP＝x，则CP＝5﹣x，
当△ABP∽△PCE时，，
∴，
解得：x1＝3，x2＝2，
经检验，x1＝3，x2＝2是分式方程的解；
当△ABP∽△ECP时，，
∴，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是分式方程的解，
综上，BP长为2或3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、矩形的性质等知识点，熟知以上知识是解题的关键．
【例2.3】（2024 金华一模）已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【解析】解：由①作图可知：CD⊥AB，可以推出∠CAD＝∠BCD，故△CDA与△CBD相似，故本选项符合题意；
由②作图设两条弧的交点为M，BD为CM的中垂线，能证明相似，故本选项符合题意；
由③作图可知：AD⊥BA，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△CBD，故本选项符合题意；
∴①②③符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
【例2.4】（2025 西湖区模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．
【解析】解：∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴＝，
∵NE∥MC，
∴△ANE∽△AMC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
【例2.5】（2025 丽水一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，将△BOC沿着AC折叠得到△B′OC，B′O与AD相交于点E，则＝　　 ．
【点拨】连接BB′交AC于点G，连接B′D，由折叠可得BG＝B′G，BB′⊥AO，根据矩形性质和勾股定理可得AC＝10，利用，可得，所以，然后证明△AOE∽△DB′E，进而可以解决问题．
【解析】解：如图，连接BB′交AC于点G，连接B′D，
∵将△BOC沿着AC折叠得到△B′OC，
∴BG＝B′G，BB′⊥AO，
在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∵，
∴10BG＝6×8，
解得：，
在直角三角形ABG中，由勾股定理得：，
∴，
∵BG＝B′G，BO＝OD，
∴OG∥B′D，，
∴△AOE∽△DB′E，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【例2.6】（2025 临平区二模）如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP．
（1）求证：PB2＝PE PF．
（2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长．
【点拨】（1）利用菱形的性质得AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，证明△DCP≌△BCP，得∠CDP＝∠CBP，再证明∠CBP＝∠F，证明△BPE∽△FPB，即可证明；
（2）由△BPE∽△FPB，结合PB＝2PE，得，得BF＝2BE，由AD∥BC，得△BEF∽△ADF，可得，得AF＝2AD，即可计算．
【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC菱形的对角线，
∴AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，
∴∠CDP＝∠F，
在△DCP与△BCP中，
，
∴△DCP≌△BCP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∴∠CBP＝∠F，
又∵∠BPE＝∠FPB，
∴△BPE∽△FPB，
∴，
∴PB2＝PE PF；
（2）解：由（1）得：△BPE∽△FPB，
∴，
∵AD＝6，PB＝2PE，
∴，
∴BF＝2BE，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△ADF，
∴，
∴，
∴AF＝2AD，
∵AB＝AD＝6，
∴AF＝2AD＝12，
∴BF＝AF﹣AB＝6．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．
【题型三】相似三角形的应用
【例3.1】（2025 金华模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　）
A． B．3cm C． D．
【点拨】根据题意可得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8字模型△AHF1∽△BOF1，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO，
∴∠AHO＝∠BOH＝90°，
∵∠AF1H＝∠OF1B，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴＝，
∴＝，
解得：BO＝，
∴CG＝BO＝cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
【例3.2】（2024 临安区二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝11.04m，EF＝2.76m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.24m，则旗杆AB的高度为（　　）
A．12.96m B．12.76m C．12.56m D．12.36m
【点拨】根据AC∥DF，AB⊥BC，DE⊥EF得出Rt△ABC∽Rt△DEF，利用相似三角形的性质代入解答即可．
【解析】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，
即：，
解得：AB＝12.96，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
【例3.3】（2025 无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m．
（2）求妙光塔AB的高度．
【点拨】（1）过点P作PH⊥MN于点H，交EF于点K，利用矩形的判定与性质得到PQ＝KF＝HN＝1.4m，HK＝FN＝16m，PK＝QF＝2m，则EK＝EF﹣KF＝1.4m，PH＝PK+HK＝18m，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
（2）连接EE′并延长交AB于点M，连接PP′并延长交AB于点N，交EF于点H，交E′F′于点K，利用矩形的判定与性质得到BM＝EF＝E′F′＝2.8m，HF＝KF′＝BN＝PQ＝P′Q＝1.4m，HP＝FQ＝1.2m，QQ′＝PP′＝30m，P′K＝F′Q′＝2.2m，则MN＝HE＝KE′＝EF﹣HF＝1.4m，设HN＝xm，AM＝ym，则PN＝HN+HP＝（1.2+x）m，AN＝AM+MN＝（1.4+y）m，P′N＝PP′+PN＝（31.2+x）m，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解析】解：（1）过点P作PH⊥MN于点H，交EF于点K，如图，
则四边形HKFN，四边形PQNH，四边形PQFK为矩形，
∴PQ＝KF＝HN＝1.4m，HK＝FN＝16m，PK＝QF＝2m，
∴EK＝EF﹣KF＝1.4m，PH＝PK+HK＝18m，
∵EF∥MN，
∴△PEK∽△PMH，
∴，
∴，
∴MH＝12.6（m）．
∴MN＝MH+HN＝14（m）．
答：旗杆MN的高度为14m．
（2）连接EE′并延长交AB于点M，连接PP′并延长交AB于点N，交EF于点H，交E′F′于点K，如图，
则四边形BMEF，四边形BNPQ，四边形P′Q′BN，四边形BNKF，四边形PQQ′P′为矩形，
∴BM＝EF＝E′F′＝2.8m，HF＝KF′＝BN＝PQ＝P′Q＝1.4m，HP＝FQ＝1.2m，QQ′＝PP′＝30m，P′K＝F′Q′＝2.2m，
∴MN＝HE＝KE′＝EF﹣HF＝1.4m，
设HN＝xm，AM＝ym，则PN＝HN+HP＝（1.2+x）m，AN＝AM+MN＝（1.4+y）m，P′N＝PP′+PN＝（31.2+x）m，
∵EF∥AB，
∴△PEH∽△PAN，
∴，
∴．
∵E′F′∥AB，
∴△PEK∽△P′AN，
∴，
∴，
∴，
∴x＝34.8．
∴，
∴y＝40.6．
∴AB＝AM+BM＝43.4（m）．
答：妙光塔AB的高度43.4m．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【题型四】位似变换
【例4.1】（2024 浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
【点拨】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．
【例4.2】（2025 拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【点拨】根据题意求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，点C（4，1）的对应点F（12，3），
∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比1：9，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【题型五】相似三角形综合问题
【例5.1】（2025 温州模拟）如图，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，构造菱形ADEF，点E在线段CD上．G为AD上一点，AG＝BD，连结FG交AC于点H．
（1）求证：∠AGF＝∠C．
（2）当G为AD的中点，AH＝2，AC＝8时，求BE的长．
（3）若∠AHG＝60°，求证：AG＝CE．
【点拨】（1）根据菱形的性质，证明△ABD≌△FGA（SAS），即可得证；
（2）根据题意证明△GAH∽△CAD，列出比例式，求出AG、DE，即可解答；
（3）根据相似三角形的性质及菱形的性质，证得△ADE为等边三角形，利用线段的和差即可得证．
【解析】（1）证明：在菱形ADEF中，AD＝AF，AF∥DE，
∴∠ADB＝∠GAF，
又∵AG＝BD，
∴△ABD≌△FGA（SAS），
又∵AB＝AC，
∴∠AGF＝∠B＝∠C．
（2）解：∵∠AGF＝∠C，∠GAH＝∠CAD，
∴△GAH∽△CAD，
∴，
又∵G为AD的中点，AH＝2，AC＝8，
∴AD AG＝AH AC＝2AG2＝2×8＝16，
∴AG＝2，
又∵BD＝AG＝2，AD＝DE＝4，
∴BE＝BD+DE＝6．
（3）证明：∵△GAH∽△CAD，
∴∠ADE＝∠AHG＝60°，
如图，作AM⊥BC于点M，连接AE，
∵菱形ADEF，
∴△ADE为等边三角形，
∴DM＝DE＝EM，
又∵AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴BM﹣DM＝CM﹣EM，
即AG＝BD＝CE．
【点睛】本题考查相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键．
1．（2025 温州模拟）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可；
【解析】解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b＝，c＝2，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
【点拨】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解析】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误；
B、2×＝×2，四条线段成比例，故本选项正确；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误；
D、×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2025 上城区一模）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC＝10，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【点拨】根据相邻两条横线间的距离都相等，可设相邻两条横线间的距离为a，根据平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
【解析】解：过点A作AD⊥CE于点D，交BM于点N，设相邻两条横线间的距离为a，
∵BM∥CE，
∴＝＝
∴，
∴AB＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2025 浙江模拟）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（　　）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
【点拨】将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：5：1，利用面积比是相似比的平方，即可得解．
【解析】解：∵把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，
∴新的三角形与原三角形相似，相似比为：5：1，
∴两个三角形的面积比为：25：1，即这个三角形的面积扩大为原来的25倍，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（2025 浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【点拨】根据位似图形的性质得到，证明△DOE∽△D'OE'，即可求解．
【解析】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0），
∴，
∵∠DOE＝∠DOE，
∴△DOE∽△D'OE'，
∴，
∵DE＝3，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2025 温州模拟）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知P是笛子AB的黄金分割点，若笛子AB长50cm，则PB长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据黄进分割的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：∵已知P是笛子AB的黄金分割点，AB＝50cm，
∴BP＝AB＝×50＝25（﹣1）cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
7．（2025 平湖市二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】理由相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解析】解：选项B中，由作图可知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
选项C中，由作图可知BCFE四点共圆，
∴∠AEF＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC；
选项D中，由作图可知EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
选项A中，无法判断两个三角形相似．
故选：A．
【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是读懂图象信息，掌握相似三角形的判定方法．
8．（2024 浙江模拟）如图，矩形ABCD∽矩形DEFG，连接AF、CG、DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（　　）
A．矩形ABCD的面积 B．四边形ABCG的面积 C．△DEF的面积 D．△ADF的面积
【点拨】根据矩形ABCD∽矩形DEFG，设两个矩形的相似比为k，设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则FG＝ED＝ka，EF＝DG＝kb，根据三角形的面积公式可得△CDG的面积为，进一步计算判断即可．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形DEFG是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，则FG＝ED，EF＝DG，
∵矩形ABCD∽矩形DEFG，设两个矩形的相似比为k，FG＝ED＝a，EF＝DG＝b，
∴AB＝CD＝ka，AD＝BC＝kb，
∴△CDG的面积为，
矩形ABCD的面积为k2ab，故选项不符合题意；
四边形ABCG的面积为k2ab﹣，故选项不符合题意；
△DEF的面积为ab，故选项不符合题意；
△ADF的面积为，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似的性质设出矩形的边长．
9．（2025 西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先证明△AEF∽△ABD，则根据相似三角形的性质得到＝＝，从而可对A选项和C选项进行判断；再证明△AFG∽△ADC，根据相似三角形的性质得到＝，利用等比代换得到＝，从而可对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断．
【解析】解：∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝＝，所以A选项和C选项的结论错误；
∵FG∥DC，
∴△AFG∽△ADC，
∴＝，
∴＝，所以B选项的结论正确；
∵FG∥DC，
∴＝，所以D选项的结论错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
10．（2025 江北区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，AD∥BC，∠BDC＝90°，记AB＝x，AD＝y，当BC不变，AB改变的过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．x2﹣y2
【点拨】过点A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F，设BE＝CE＝a为定值，由勾股定理求得AE2＝x2﹣a2，再证明△BDF∽△DCF，推出DF2＝CF BF，得到x2﹣a2＝（a+y）（a﹣y），据此求解即可．
【解析】解：作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD，DF⊥AD，
∴四边形AEFD为矩形，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵BC不变，
∴设BE＝CE＝a为定值，
∵AB＝x，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝x2﹣a2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴AE＝DF，AD＝EF＝y，
∴BF＝a+y，CF＝a﹣y，DF2＝x2﹣a2，
∵∠BFD＝∠CFD＝∠BDC＝90°，
∴∠BDF＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，
∴△BDF∽△DCF，
∴，
∴DF2＝CF BF，即x2﹣a2＝（a+y）（a﹣y），
∴x2﹣a2＝a2﹣y2，
整理得x2+y2＝2a2，
∴x2+y2为定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
11．（2024 钱塘区二模）已知，则代数式的值为 　﹣5　 ．
【点拨】利用设k法进行计算，即可解答．
【解析】解：∵，
∴设a＝2k，则b＝3k，
∴＝＝＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
12．（2025 余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　4　 cm．
【点拨】因为两个三角形的面积之比9：16，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出三角形的相似比，又因为对应角平分线的比等于相似比即可求出大三角形的角平分线．
【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：16，
∴小三角形与大三角形的相似比是3：4，
∵小三角形一边上的角平分线的长为3cm，
∴大三角形对应边上的角平分线的长为3÷＝4（cm）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
13．（2022 钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 　2　 ．
【点拨】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
【解析】解：设a、b的比例中项为x，
∵a＝+1，b＝﹣1，
∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4
∴x＝＝2（舍去负值），
即a、b的比例中项线段等于2，
故答案为：2．
【点睛】该题主要考查了比例中项等基本概念问题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的化简方法是解决问题的关键．
14．（2025 萧山区模拟）如图，E，F分别是 ABCD两边的中点，连接EF，交AC于点M，则的值为 　　 ．
【点拨】连接BD交AC于O，得到，BO＝OD．因为E、F是平行四边形两边中点，在△ABD中，根据三角形中位线定理，能推出EF∥BD．这样就构造出了相似△AEM和△ADO．由于E是AD中点，可知，再依据相似三角形对应边成比例，得出 ＝．利用AO与AC的关系以及MC＝AC﹣AM，通过代换计算出结果．
【解析】解：连接BD交AC于点O．
连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，BO ＝OD．
∵E、F分别是平行四边形ABCD两边的中点，
设AB＝CD＝2x，AD＝BC＝2y．
在△ABD中，E 是AD中点，F是AB中点，
∴EF∥BD．
∴△AEM∽△ADO．
∵E是AD中点，
∴，
又∵△AEM～△ADO，
∴，
∵，即AO＝2AM，
又∵AC，
∴AC＝4AM．
∴MC＝AC﹣AM＝4AM﹣AM＝3AM．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要涉及平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15．（2025 浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　2　 ．
【点拨】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导出∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得＝＝1，则DG＝EG＝3，求得AD＝7，CD＝，则⊙O的直径AC＝＝2．
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AF＝1，EG＝FG＝3，
∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠BAC，
∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，
∵∠ABE＝∠ACG，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，
∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，
∴△CDG∽△AEG，
∴＝＝1，
∴DG＝EG＝3，
∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD＝＝＝，
∴AC＝＝＝2，
∴⊙O的直径为2，
故答案为：2．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、90°的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
16．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝　　 （结果用含k的代数式表示）．
【点拨】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2 AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解析】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k AB，
∴EC＝k AB，
∴＝，
∴CF＝k2 AB，
∴＝＝＝＝．
方法二：如图，连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB＝DF，
∴BF⊥AC，
设AB＝AC＝1，
则BC＝k，
设CF＝x，
则AF＝1﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝1﹣x＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
17．（2025 钱塘区一模）已知线段a，b满足，且a﹣2b＝6．
（1）求线段a，b的长．
（2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【点拨】（1）设a＝4k，b＝k，代入a﹣2b＝6计算可得k的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得c2＝ab，由此即可得答案．
【解析】解：（1）由条件可设a＝4k，b＝k，
∵a﹣2b＝6，
∴4k﹣2k＝6，
∴k＝3，
∴a＝12，b＝3；
（2）由条件可知c2＝ab＝36，
∵c＞0，
∴c＝6．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
18．（2023 丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【点拨】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．
【解析】解：当＝2时，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案为：2．
【点睛】本题考查比例线段，关键是由＝2，＝＝，得到b＝c．
19．（2025 萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC．
（1）求证：△BCP∽△BAC．
（2）若PC＝2，求AC的长．
【点拨】（1）由作法得BC＝AP，根据黄金分格的定义得到AP2＝BP BA，则BC2＝BP BA，然后根据相似三角形的判定方法可判断△BCP∽△BAC；
（2）先利用黄金分割的定义得到AP＝AB，而BC＝AP，则＝，接着根据相似三角形的性质得到＝＝，从而可求出AC的长．
【解析】解：由作法得BC＝AP，
∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
∴AP2＝BP BA，
∵BC2＝BP BA，
即＝，
而∠PBC＝∠CBA，
∴△BCP∽△BAC；
（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
∴AP＝AB，
即＝，
∵BC＝AP，
∴＝，
∵△BCP∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝×2＝+1．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了相似三角形的判定与性质．
20．（2025 浙江模拟）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，E是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作EF∥AB，交AC于点F，连结AE，设CE＝x．
（1）用含x的代数式表示△CEF的面积．
（2）当△CEF与△ACE相似时，求x的值．
【点拨】（1）过点A作AH⊥BC于点H．求出△ABC的面积，再利用相似三角形的性质求解；
（2）利用勾股定理求出AC2.再利用相似三角形的性质证明AC2＝CE CB，求出CE即可．
【解析】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴AH＝AB sin60°＝6×＝3，
∴△ABC的面积＝×8×3＝12，
∵EF∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴＝（）2＝，
∴△FEC的面积＝x2（0＜x＜8）；
（2）∵BH＝AB cos60°＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5，
∴AC2＝AH2+CH2＝27+25＝52，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC＝60°，
∵△CEF∽△CAE，
∴∠FEC＝∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠B，
∵∠ACE＝∠ACB，
∴△ACB∽△ECA，
∴CA2＝CE CB，
∴x＝CE＝＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
21．（2025 温州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作⊙O交边AC于点D，AE∥BC，交⊙O于点E，连结DE，BE．
（1）求证：△BCD∽△BAE．
（2）若AD＝3，tan∠BDE＝2，求AE的长．
【点拨】（1）根据平行线的性质，等边对等角得到∠BAE＝∠BCD，根据圆周角定理得到∠BDA＝∠BEA＝∠BDC＝90°，利用相似三角形的判定定理即可得证；
（2）根据题意，利用相似三角形的性质及圆周角定理得到BD＝2CD，BE＝2AE，在Rt△ADB中，利用勾股定理求出CD，得到AB＝AC＝5，在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解答．
【解析】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA，
∴∠BAE＝∠BCA，
即∠BAE＝∠BCD，
∵AB为直径，
∴∠BDA＝∠BEA＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDA＝∠BEA＝∠BDC＝90°，
∴△BCD∽△BAE．
（2）∵△BCD∽△BAE，
∴，
∵，
∴∠BDE＝∠BAE，
在Rt△AEB中，tan∠BDE＝tan∠BAE＝＝2＝，
∴BD＝2CD，BE＝2AE，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝32+BD2＝32+（2CD）2，
∵AC＝CD+AD＝CD+3，AB＝AC，
∴（CD+3）2＝32+（2CD）2，CD≠0，
解得CD＝2，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2＝AE2+（2AE）2＝5AE2，
∴AE＝（负值舍）．
【点睛】本题考查相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理是解题的关键．
22．（2025 鹿城区二模）如图，在矩形ABCD中，过点D作EF⊥BD，DE＝DF．连接BE交边AD于点G，连接BF交边CD于点H．
[认识图形]求证：∠ABD＝∠EDA．
[研究特例]若AB＝6，AD＝8，DE＝3，直接写出与的值．
[探索关系]若tan∠ABD＝n（n是常数），设，求y关于x的函数表达式．
[应用结论]若，求AB的长．
【点拨】[认识图形]利用矩形的性质与余角的性质可得出结论；
[研究特例]过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，证明△EPD∽△DAB，得到，可求出，再证明△BAG∽△EPG，得出，可求解；同理可证△FQD∽△DCB，得，求出，再证明△BCH∽△FQH，得，即可求解；
[探索关系]证明△BAG∽△EPG，得，证明△BCH∽△FQH，得，再证明△EPD≌△DQF（AAS），得EP＝DQ，DP＝FQ，则，然后根据，而∠ABD＝∠EDP，得，代入即可得出结论；
[应用结论]根据y＝n2x求得，从而求得，不规则由勾股定理，得EP2+DP2＝DE2，求得，根据，即，即可求解．
【解析】[认识图形]证明：矩形ABCD，
∴∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵EF⊥BD，
∴∠EDA+∠ADB＝∠EDB＝90°，
∴∠ABD＝∠EDA；
[研究特例]解：∵矩形ABCD，
∴∠A＝90°，
∴，
过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，
则∠EPD＝∠EPA＝90°＝∠A，
又∵∠ABD＝∠EDA，
∴△EPD∽△DAB，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠EGP，∠A＝∠EPG，
∴△BAG∽△EPG，
∴，
同理可证△FQD∽△DCB，
∴，即，
∴，
∵∠C＝∠FQH＝90°，∠BHC＝∠FHQ，
∴△BCH∽△FQH，
∴，
[探索关系]解：∵∠AGB＝∠EGP，∠A＝∠EPG，
∴△BAG∽△EPG，
∴，
∵∠C＝∠FQH＝90°，∠BHC＝∠FHQ，
∴△BCH∽△FQH，
∴，
∵∠DFQ+∠QDF＝∠EDP+∠QDF＝90°，
∴∠DFQ＝∠EDP，
∵ED＝FD，∠EPD＝∠FQD＝90°，
∴△EPD≌△DQF（AAS），
∴EP＝DQ，PD＝FQ，
∴，
∵，，
又∵∠ABD＝∠EDP，AD＝BC，
∴，，
∴，
∴y＝n2x；
[应用结论]解：，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得EP2+DP2＝DE2，
∵DE＝3，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
1．（2025 城东区校级三模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8
【点拨】根据比例的性质，可以外项之积等于内项之积，从而可以解答本题．
【解析】解：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例，
∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例，
∵2×6＝4×3，故选项C中的四条线段成比例，
∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例，
故选：C．
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是明确比例的性质．
2．（2025 浙江模拟）如图，AD∥BE∥CF，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解析】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（2025 遵义二模）如图，已知△ABC∽△AED且．若S△ADE＝1，则S△ABC值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据△ABC∽△AED得到，即可求解．
【解析】解：由相似三角形的性质可知：，
∴，
∴S△ABC＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．（2025 金华模拟）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
【点拨】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可．
【解析】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴△AOB∽△DOE，
∴＝＝，
∴OA：AD＝2：1，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
5．（2023 开化县模拟）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【点拨】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解析】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：
＝0.618，
解得：y≈8cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．
6．（2025 绍兴二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E是AC的中点，连结DE，且DE＝BC，CD＝2，则AD＝（　　）
A．4 B． C． D．
【点拨】由直角三角形斜边中线的性质推出DE＝AC，得到BC＝AC，判定△ACD∽△CBD，推出AC：CB＝AD：CD＝2，即可求出AD的长．
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AC，
∵BC＝DE，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠ADC＝∠∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：CB＝AD：CD＝2，
∵CD＝2，
∴AD＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出BC＝AC，判定△ACD∽△CBD，推出AC：CB＝AD：CD．
7．（2023 衢州二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【点拨】过点D作DH∥AE，交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到＝，计算即可．
【解析】解：过点D作DH∥AE，交BC于H，
则＝＝1，＝＝3，
∴＝，
∵BC＝10，
∴CE＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（2025 杭州模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连结EG并延长交AB于点I，交CD于点J，正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，若AI＝BI时，则的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】设AE＝a，ED＝b，则EH＝EF＝b﹣a，过点F作MF∥AB，可得△AEI∽△FEM，△GMF∽△GIB，得出b＝2a，即可求解．
【解析】解：如图，过点F作MF∥AB，
设AE＝a，ED＝b，则EH＝EF＝b﹣a，
∴，，
∴，
∵FM∥AB，
∴△AEI∽△FEM，△GMF∽△GIB，
∴，＝＝，
∴＝，
即＝，
∵AI＝BI，
∴＝＝2，
即b＝2a，
∴＝＝＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．（2025 定海区三模）如果＝，那么＝　　 ．
【点拨】根据合比性质直接进行解答即可．
【解析】解：∵＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解题的关键．
10．（2025 徐汇区一模）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 　4　 厘米．
【点拨】设上海与杭州的图上距离为x厘米，根据比例尺的意义列出方程x：20000000＝1：5000000，解方程即可．
【解析】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米．
200千米＝20000000厘米，
x：20000000＝1：5000000，
解得x＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键．注意单位要统一．
11．（2023 金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为 　4　 ．
【点拨】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值．
【解析】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c＝4（负值舍去）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
12．（2025 绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　10　 m．
【点拨】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则BH⊥CD，从而可得∠BGD＝∠BHF＝90°，根据题意可得：AB＝CG＝EH＝1.6m，AC＝BG＝2m，CE＝GH＝10m，从而可得BH＝12m，DG＝1.4m，然后证明△BDG∽△BFH，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解析】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则BH⊥CD，
∴∠BGD＝∠BHF＝90°，
由题意得：AB＝CG＝EH＝1.6m，AC＝BG＝2m，CE＝GH＝10m，
∴BH＝BG+GH＝2+10＝12（m），
∵CD＝3m，
∴DG＝CD﹣CG＝3﹣1.6＝1.4（m），
∵∠DBG＝∠FBH，
∴△BDG∽△BFH，
∴＝，
∴＝，
解得：FH＝8.4，
∴EF＝FH+EH＝8.4+1.6＝10（m），
∴大树的高度EF为10m，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2025 舟山三模）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，点F是AE的中点，连结DE，BF交于点G，若EG＝5，则DG＝ 　2.5　 ．
【点拨】根据三角形中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的判定和性质得△EFG∽△CFB，可得，则BC＝15，DE＝7.5，根据线段的和差计算即可．
【解析】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，AE＝CE，
∵点F是AE的中点，
∴AE＝CE＝2FE，
∴FC＝3FE，
∵DE∥BC，
∴△EFG∽△CFB，
∴，
∵EG＝5，
∴BC＝15，
∴DE＝7.5，
∴DG＝DE﹣EG＝7.5﹣5＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定和性质定理以及三角形中位线定理是解题的关键．
14．（2025 安庆二模）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值．
【点拨】本题考查了比例的性质，设，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，结合a+2b+c＝26求出k的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．
【解析】解：∵线段a、b、c满足，
∴设，则a＝3k，b＝2k，c＝6k．
∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．
15．（2025 丽水一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，CD．
（1）求证：△BCD∽△BAE；
（2）若AB＝2，求BE BC的值．
【点拨】（1）先证明△BDE∽△BCA，再得到比例式，再由两边对应成比例且夹角相等证明；
（2）由得到BD BA＝BE BC，即可求解．
【解析】（1）证明：△ABC中∠ACB＝90°，用尺规作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，
BD＝AD，AC＝18，BC＝12，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∴，
∵∠B＝∠B
∴△BCD∽△BAE；
（2）解：∵AB＝2，
∴BD＝1，
∵
∴BD BA＝BE BC，
∴BE BC＝1×2＝2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
16．（2025 蓬莱区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，△ADE∽△DBC．
（1）请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明；
（2）求证：点E是线段AC的黄金分割点．
【点拨】（1）先利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，然后利用相似三角形的性质可得∠ADE＝∠DBC，从而可得∠EDB＝∠ADE＝∠DBC，即可解答；
（2）先利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠CAB＝60°，再利用平行线的性质可得∠DEC＝∠ACB＝60°，∠DCE＝∠CAB＝60°，从而可得∠CDE＝60°，进而可得△DEC是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得DE＝CE＝CD，再利用相似三角形的性质即可解答．
【解析】（1）解：∠ADB＝2∠DBC，
理由：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵△ADE∽△DBC，
∴∠ADE＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADE＝∠DBC，
即∠ADB＝2∠DBC；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠CAB＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠ACB＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CAB＝60°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝CE＝CD，
∵△ADE∽△DBC，
∴＝，
∴＝，
∴点E是线段AC的黄金分割点．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
17．（2025 浙江模拟）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，连接AC．
（1）判断△ABC的形状并说明理由．
（2）如图1，E、F分别为边AC、BC上的动点，AE＝CF，AF交BE于点P．
①如图2，连接CP，若∠CPF＝∠CBE，求证：BF2＝CF BC，
②若AB＝2，直接写出动点P到直线AB的最大距离．
【点拨】（1）根据菱形的性质得出AB＝BC，AD∥BC，则∠ABC＝60°，然后通过等边三角形的判定方法即可求解；
（2）①先证明△ACF≌△BAE（SAS），所以∠CAF＝∠ABE，∠AEB＝∠CFA，BC＝AC，然后证明∠BPF＝60°，所以∠CPE＝180°﹣∠BPF﹣∠CPF＝180°﹣60°﹣∠CPF＝120°﹣∠CPF，∠CEP＝180°﹣∠ACB﹣∠CBE＝180°﹣60°﹣∠CBE＝120°﹣∠CBE，由∠CPF＝∠CBE，从可得到BF＝CP，证明△PCF∽△BCP，由性质得，最后代入即可求证；
②由①得，∠BPF＝60°，则∠APB＝120°，所以点P是以O为圆心，长度为半径的弧上运动，然后用勾股定理和直角三角形性质即可求解．
【解析】（1）解：△ABC是等边三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴∠CAF＝∠ABE，∠AEB＝∠CFA，BC＝AC，
∴BC﹣CF＝AC﹣AE，
∴BF＝CE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAF，
∴∠APE＝∠CAF+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∴∠BPF＝60°，
∴∠CPE＝180°﹣∠BPF﹣∠CPF＝180°﹣60°﹣∠CPF＝120°﹣∠CPF，
∠CEP＝180°﹣∠ACB﹣∠CBE＝180°﹣60°﹣∠CBE＝120°﹣∠CBE，
∵∠CPF＝∠CBE，
∴∠CEP＝∠CPE，
∴CE＝CP，
∴BF＝CP，
∵∠CPF＝∠CBE，∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴，
∴CP2＝CF BC，
∴BF2＝CF BC；
②解：动点P到直线AB的最大距离为．理由如下：
由①得，∠BPF＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P是以O为圆心，长度为半径的弧上运动，
∴当CO⊥AB时，点P到直线AB有最大距离，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形PBH中，由勾股定理得：PB2＝BH2+PH2，即（2PH）2＝12+PH2，
解得：，
∴动点P到直线AB的最大距离为．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
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