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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.1圆的基本性质
圆 圆的有关概念及性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称图形也是中心对称图形. （2）圆具有对称性和旋转不变性. （3）不共线的三点确定一个圆. （4）圆上各点到圆心的距离都等于半径. （5）圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧. （6）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
弧、弦、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 .
推论 在同圆或等圆中， 、 、 中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等
垂径定理 定理 垂直于弦的直径 ，并且 弦所对的两条弧.
推论 推论1：平分弦(不是直径)的直径 ，并且 ． 推论2：平分弧的直径 弧所对的弦．
辅助线做法 （1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
应用 垂径定理主要用于求半径、弦长和弦心距。 （1）若已知两边，直接利用勾股定理 （2）若已知一边，设未知数，根据勾股定理列方程解答
与圆有关的角及其性质 圆心角 顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角 顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理 定理 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即∵，∴∠C=∠AOB
推论 ① 同弧或等弧所对的圆周角 ； 即∵，∴∠C=∠D ② 半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是圆的 ；即∵AB是⊙O的直径直径，∴∠C=∠AOB
圆的内接四边形 定义 如果一个四边形的 在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的 ．
性质 圆的内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都等于它的内对角．
【题型一】垂径定理及推论
【例1.1】（2024 新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例1.2】（2025 湛江四模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径10cm，瓶内液体的最大深度CD＝4cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）
A．4cm B．16cm C．8cm D．8.4cm
【例1.3】（2025 潘集区模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　）
A． B．8 C． D．
【例1.4】（2025 凤阳县二模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝　3　 ．
【例1.5】（2025 凉州区一模）如图，点B、C在⊙O上，点A在⊙O内，其中OA＝7，AB＝11，∠A＝∠B＝60°，则BC＝ 　　 ．
【例1.6】（2025 合肥校级四模）在⊙O中，AB，BC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，AF⊥BC于F．
（1）如图1，若AF过圆心O，求∠B的度数；
（2）如图2，若AF与CD相交于，求⊙O的半径．
【题型二】圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2.1】（2025 剑阁县模拟）如图，OA、OB、OC均为⊙O的半径，连接AB，BC，若AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数为（　　）
A．36° B．72° C．54° D．68°
【例2.2】（2025 阳新县模拟）如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．1
【例2.3】（2025 广东校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【例2.4】（2023 婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为 　　 ．
【题型三】圆周角定理及推论
【例3.1】（2025 文成县二模）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，连结AC，OC．已知∠BOC＝100°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【例3.2】（2025 浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，弦BE∥AD，CE与AB相交于点F．若∠D＝115°，则∠CFB的度数是（　　）
A．50° B．65° C．75° D．80°
【例3.3】（2025 义乌市二模）如图，已知线段AB为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，连结AC，BC（AC＞BC）．在线段AC上取一点D，使得AD＝BC，过点D作DE⊥AC交半圆O于点E，连结AE，CE．设tan∠DAE＝x，tan∠DEC＝y，当直径AB的长度变化时，下列关系式中固定不变的是（　　）
A．x与y的和 B．x与y的差 C．x与y的积 D．x与y的比值
【例3.4】（2025 无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
【题型四】圆内接四边形
【例4.1】（2025 浙江二模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为 　　 ．
【例4.2】（2025 广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　　 ．
【例4.3】（2025 德惠市二模）已知⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，DB平分∠ADC，则下列结论正确的是　　 ．
①AD＝BD ②若AC为直径，则 ③若AB2+CD2＝BD2，则四边形ABCD是轴对称图形
④若∠ADB＝30°，则A
【例4.4】（2025 文成县二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC．
（1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB．
（2）求证：①AB∥EF．
②AD＝EF．
1．（2023 湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2025 金东区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，∠BAC＝50°，∠D的度数为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
3．（2025 宁波一模）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
4．（2023 临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025 拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．49°
6．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
7．（2023 永嘉县三模）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2025 绍兴三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则∠ADC的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 浙江模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　）
A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360°
10．（2022 杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　）
A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）
11．（2023 绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　　 ．
12．（2023 湖州）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　　 cm．
13．（2025 宁波三模）如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB＝110°，则∠AOB＝　　 ．
14．（2025 杭州二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 　　 ．
15．（2025 新昌县一模）如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是 　　 mm．
16．（2025 钱塘区二模）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，CD∥AB交⊙O于点D，连结AD．若∠B＝70°，则∠CAD的大小为 　　 ．
17．（2023 婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
18．（2024 鹿城区校级三模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长度．
19．（2025 温州模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC，BD交于点E．若AC⊥BD，．
（1）求∠ABC的大小（用含a的代数式表示）．
（2）若，CD＝5，求AB的长．
20．（2024 浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
21．（2025 临平区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠ACO与∠OED的度数．
（2）若AB∥CD，求AF：FG：GD的值．
（3）若CF＝2OF，求△ODG与△AFC的面积比．
1．（2025 上城区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2．（2025 宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
3．（2025 兖州区二模）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
4．（2025 嘉峪关校级二模）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2025 湖北模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若，则∠CBE的度数为（　　）
A．80° B．76° C．72° D．70°
6．（2025 台州一模）如图，AB，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E．若∠BCD＝54°，则∠ADC等于（　　）
A．27° B．36° C．46° D．54°
7．（2025 黄埔区一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　）
A．8 B．10 C．4 D．4
8．（2025 项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025 雁塔区校级四模）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　）
A． B．3 C． D．
10．（2025 新城区三模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点D是劣弧的中点，连接AC，若∠DAC＝35°，则∠ABC的度数为　　 °．
11．（2025 临安区一模）如图，在⊙O中，点D为弧AB的中点，CD为⊙O的直径，AE∥BC交⊙O于点E，连结CE．若∠ABC＝70°，则∠DCE＝　 　 ．
12．（2025 焦作模拟）如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为　 　 ．
13．（2025 东营模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 　 　 ．
14．（2024 陇南模拟）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．
（1）连接AO，求证：∠OAC＝90°；
（2）若BF＝4，，求⊙O的半径．
15．（2025 安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
16．（2025 雷州市校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上一点，C是的中点，AC与DF交于点G，连接EG．
（1）如图1，求证：CD＝2EG．
（2）如图2，若DF是直径且DF＝8，求EG的长．
17．（2025 温州一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1＝∠2，连结DG．
（1）若∠1＝35°，B为的中点，求∠ADC的度数．
（2）连结BD，当∠BDG＝∠BEG时．
①求证：四边形BEGD是平行四边形．
②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG．
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第五章 圆
5.1圆的基本性质
圆 圆的有关概念及性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称图形也是中心对称图形. （2）圆具有对称性和旋转不变性. （3）不共线的三点确定一个圆. （4）圆上各点到圆心的距离都等于半径. （5）圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧. （6）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
弧、弦、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等
垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论 推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
辅助线做法 （1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
应用 垂径定理主要用于求半径、弦长和弦心距。 （1）若已知两边，直接利用勾股定理 （2）若已知一边，设未知数，根据勾股定理列方程解答
与圆有关的角及其性质 圆心角 顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角 顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理 定理 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即∵，∴∠C=∠AOB
推论 ① 同弧或等弧所对的圆周角相等； 即∵，∴∠C=∠D ② 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是圆的直径；即∵AB是⊙O的直径直径，∴∠C=∠AOB
圆的内接四边形 定义 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
性质 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
【题型一】垂径定理及推论
【例1.1】（2024 新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴DE＝．
在Rt△DOE中，
OE＝，
∴BE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【例1.2】（2025 湛江四模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径10cm，瓶内液体的最大深度CD＝4cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）
A．4cm B．16cm C．8cm D．8.4cm
【点拨】判断出OC的长，利用勾股定理求出AC，可得结论．
【解析】解：∵OA＝OD＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝OD﹣CD＝10﹣4＝6（cm），
∵OD⊥AB，
∴AC＝CB＝＝＝8（cm），
∴AB＝2AC＝16（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用垂径定理，勾股定理解决问题．
【例1.3】（2025 潘集区模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　）
A． B．8 C． D．
【点拨】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE＝2r，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
【解析】解：连接BE，如图，
∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
【例1.4】19．（2025 凤阳县二模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝　3　 ．
【点拨】根据垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系求出AB，CD，再代入计算即可．
【解析】解：如图，连接OC，由题意可知点O、C、D在同一条直线上，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AB＝OA＝2，
∵OC⊥AB，OA＝OB＝2，
∴OC＝AC＝OA＝，
∴s＝AB+
＝2+
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及垂径定理是正确解答的关键．
【例1.5】（2025 凉州区一模）如图，点B、C在⊙O上，点A在⊙O内，其中OA＝7，AB＝11，∠A＝∠B＝60°，则BC＝ 　18　 ．
【点拨】延长AO交BC于D，过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，由垂径定理得到BC＝2BN，判定△ABD是等边三角形，得到AD＝AB＝11，求出OD＝4，由含30度角的直角三角形的性质求出DN＝2，ON＝2，AM＝，OM＝，求出MB＝AB﹣AM＝，由勾股定理得到OB2＝OM2+MB2＝，BN＝＝9，因此BC＝2BN＝18．
【解析】解：延长AO交BC于D，过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接OB，
∴BC＝2BN，
∵∠A＝∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ABC＝∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝11，
∴OD＝AD﹣AO＝11﹣7＝4，
∵∠DON＝90°﹣60°＝30°，
∴DN＝OD＝2，
∴ON＝DN＝2，
∵∠AOM＝90°﹣60°＝30°，
∴AM＝OA＝，
∴OM＝AM＝，
∵MB＝AB﹣AM＝11﹣＝，
∴OB2＝OM2+MB2＝，
∴BN＝＝9，
∴BC＝2BN＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，关键是由勾股定理，垂径定理求出NB的长．
【例1.6】（2025 合肥校级四模）在⊙O中，AB，BC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，AF⊥BC于F．
（1）如图1，若AF过圆心O，求∠B的度数；
（2）如图2，若AF与CD相交于，求⊙O的半径．
【点拨】（1）连接AC，根据垂径定理可得AC＝CB＝BA即可解答；
（2）连接AD，OA，证明△AEG≌△AED（ASA），得EG＝ED，设⊙O的半径为r，则DG＝OD+OG＝r+1，，利用勾股定理列方程即可解答．
【解析】解：（1）如图，连接AC，
由条件可知AE＝BE，AC＝BC，
∵AF⊥BC，AF过圆心O，
∴CF＝BF，AC＝AB，
∴AC＝CB＝BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）如图，连接AD，OA，
∵，
∴∠C＝∠DAB，
由条件可知∠C＝∠GAE＝∠DAE，
∵AE＝AE，∠AEG＝∠AED，
∴△AEG≌△AED（ASA），
∴EG＝ED，
设⊙O的半径为r，则DG＝OD+OG＝r+1，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得（）2+（）2＝r2，
解得r＝或﹣1（负值舍去），
所以⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型二】圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2.1】（2025 剑阁县模拟）如图，OA、OB、OC均为⊙O的半径，连接AB，BC，若AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数为（　　）
A．36° B．72° C．54° D．68°
【点拨】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，由此解答即可．
【解析】解：∵AB＝BC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵∠BOC＝36°，
∴∠AOB＝36°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝72°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握这个定理是解题的关键．
【例2.2】（2025 阳新县模拟）如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．1
【点拨】连接OA，OB，根据AD＝BC，可得＝，所以∠C＝∠CAD，由AD⊥BC，可得∠C＝∠CAD＝45°，所以∠O＝2∠C＝90°，即可求出AB＝OA＝2．
【解析】解：如图，连接OA，OB，
∵AD＝BC，
∴＝，
∴＝，
∴∠C＝∠CAD，
∵AD⊥BC
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠O＝2∠C＝90°，
∴AB＝OA＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【例2.3】（2025 广东校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【点拨】（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得AC＝BD；
（2）因为AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．结合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即可作答．
【解析】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD；
（2）连接OB、OC、BC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC，
∵OB＝OC，
∴E、O都在BC的垂直平分线上，
∴EO⊥BC．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【例2.4】（2023 婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为 　　 ．
【点拨】连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC＝∠BDF，得DF＝BF，由圆周角定理得∠ACB＝90°，勾股定理得BC＝2，则DE＝BC＝，再由勾股定理求出OE＝1，则BE＝OB﹣OE＝1，设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】解：延长DE交圆O于点G，连接BD、OD，如图所示：
∵点D是弧BC的中点，
∴＝，
又∵DE⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴DF＝BF，
∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为2，
∴AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝2，
∴BC＝＝2，
∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，
∴DE＝GE，＝，
∵D是的中点，
∴＝＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE；
即：DE＝BC＝，
∵DE⊥AB，
∴OE＝＝1，
∴BE＝OB﹣OE＝1，
设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：12+（﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴BF＝DF＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
【题型三】圆周角定理及推论
【例3.1】（2025 文成县二模）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，连结AC，OC．已知∠BOC＝100°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【点拨】由圆周角定理得到∠A＝∠BOC＝50°，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠A＝50°．
【解析】解：∵∠A＝∠BOC，∠BOC＝100°，
∴∠A＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠A＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理得到∠A＝∠BOC．
【例3.2】（2025 浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，弦BE∥AD，CE与AB相交于点F．若∠D＝115°，则∠CFB的度数是（　　）
A．50° B．65° C．75° D．80°
【点拨】连接OC，BD，交于点G，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠CDB＝25°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB＝∠E＝25°，然后利用圆周角定理可得∠COB＝50°，再根据垂径定理可得：OC⊥BD，从而可得∠ADB＝∠OGB＝90°，进而可得AD∥OC，最后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得OC∥BE，从而可得∠OCF＝∠E＝25°，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解析】解：连接OC，BD，交于点G，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝115°，
∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝25°，
∴∠CDB＝∠E＝25°，
∴∠COB＝2∠E＝50°，
∵C为弧BD的中点，
∴OC⊥BD，
∴∠OGB＝90°，
∴∠ADB＝∠OGB＝90°，
∴AD∥OC，
∵AD∥BE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝25°，
∵∠CFB是△OCF的外角，
∴∠CFB＝∠COB+∠OCF＝75°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【例3.3】（2025 义乌市二模）如图，已知线段AB为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，连结AC，BC（AC＞BC）．在线段AC上取一点D，使得AD＝BC，过点D作DE⊥AC交半圆O于点E，连结AE，CE．设tan∠DAE＝x，tan∠DEC＝y，当直径AB的长度变化时，下列关系式中固定不变的是（　　）
A．x与y的和 B．x与y的差 C．x与y的积 D．x与y的比值
【点拨】连接BE交AC于点F，得到∠ACB＝∠ADE＝∠CDE＝90°，推出∠DEF＝∠CBF，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠CBF，推出，得到CF＝DE，DF＝xDE，继而得到，得出y﹣x＝1，即可得到答案．
【解析】解：如图，连接BE交AC于点F
由条件可知∠ACB＝∠ADE＝∠CDE＝90°，
∴BC∥DE，
∴∠DEF＝∠CBF，
∵，
∴∠DAE＝∠CBF，
∴，
∵AD＝BC，DE＝CF，DF＝DEx，
∴CD＝DE（1+x），
∴，
∴y﹣x＝1，
∵1是定值，
∴当∠B的大小保持不变，当直径AB的长度变化时，x与y的差固定不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【例3.4】（2025 无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
【点拨】（1）连接BC，由圆周角定理推出BC⊥AD，得到BC垂直平分AD，即可证明AB＝BD；
（2）连接AE，由圆周角定理得到∠E＝90°，由cos∠ABE＝＝，求出BE＝1，由勾股定理得到AE2＝8，求出DE＝4，由勾股定理求出AD＝2．
【解析】（1）证明：连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AD，
∵CD＝CA，
∴BC垂直平分AD，
∴AB＝BD；
（2）解：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠E＝90°，
∴cos∠ABE＝＝＝，
∴BE＝1，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝8，
由（1）知BD＝AB＝3，
∴DE＝BD+BE＝4，
∴AD＝＝2．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，关键是由圆周角定理得到∠ACB＝∠E＝90°，由勾股定理求出AD的长．
【题型四】圆内接四边形
【例4.1】（2025 浙江二模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为 　60°　 ．
【点拨】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠BOD，
∵∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【例4.2】（2025 广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　6　 ．
【点拨】作直径DE，连接BE，根据圆周角定理得出∠A＝∠E，∠EBD＝90°，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝60°＝∠E，解直角三角形求出BD即可．
【解析】解：如图，作直径DE，连接BE，
则由圆周角定理得：∠A＝∠E，∠EBD＝90°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠E＝60°，
∵⊙O的半径为6，
∴DE＝12，
∴BD＝DE×sin∠E＝12×sin60°＝12×＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解题的关键．
【例4.3】（2025 德惠市二模）已知⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，DB平分∠ADC，则下列结论正确的是　②④　 ．
①AD＝BD ②若AC为直径，则 ③若AB2+CD2＝BD2，则四边形ABCD是轴对称图形
④若∠ADB＝30°，则A
【点拨】①由DB平分∠ADC，无法推出AD＝BD，故错误；
②若AC为直径，则 AC＝4，∠ABC＝90°，又DB平分∠ADC，进而可推出∠ADB＝∠CDB，故△ABC为等腰直角三角形，从而可判断②；
③由DB平分∠ADC可知AB＝BC，结合AB2+CD2＝AD2可知△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，所以BD为直径，进而即可判断③；
④连接OA，OC，作OE⊥AC于点E，AE＝cos30°×OA，进而由垂径定理可得AC＝2AE，即可判断④．
【解析】解：①由DB平分∠ADC，无法推出AD＝BD，
故①错误；
②若AC为直径，则AC＝4，∠ABC＝90°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AB＝CB，
故△ABC为等腰直角三角形，
∴，
故②正确；
③∵DB平分∠ADC，
∴，
∴AB＝BC，
∵AB2+CD2＝BD2，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
由垂径定理可知此时BD垂直平分AC，
∴四边形ABCD是轴对称图形，
故③正确；
④连接OA，OC，作OE⊥AC于点E，如图所示，则OA＝OC＝2．
若∠ADB＝30°，则∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴，
由垂径定理可得：．
故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【例4.4】（2025 文成县二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC．
（1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB．
（2）求证：①AB∥EF．
②AD＝EF．
【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠CAB＝∠BDC，求出∠CAB＝30°，进而求出∠ACB；
（2）①根据平行线的判定证明；
②在上取一点P，使AP＝BC，证明△ECF≌△APD，根据全等三角形的性质证明即可．
【解析】（1）解：∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠CFE＝30°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°；
（2）证明：①∵∠CFE＝∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠BAC＝∠CFE，
∴AB∥EF；
②如图，在上取一点P，使AP＝BC，
则＝，
∴∠ADP＝∠BDC，
∴∠ADP＝∠CFE，
∵∠APD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ECF＝180°，
∴∠APD＝∠ECF，
∵CE＝BC，BC＝AP，
∴AP＝EC，
在△ECF和△APD中，
，
∴△ECF≌△APD（AAS），
∴EF＝AD．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
1．（2023 湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【点拨】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．
【解析】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝100°．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2025 金东区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，∠BAC＝50°，∠D的度数为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
【点拨】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，即可求出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
3．（2025 宁波一模）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
【点拨】连接OC，OB，可由勾股定理求得，再证明Rt△CDO≌Rt△BAO，则AO＝DO＝3，那么AD＝6，即可求解矩形面积．
【解析】解：连接OC，OB，
∵点C在半径为5的半圆O上，
∴OC＝OE＝5，
∵ED＝2，
∴OD＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠CDO＝∠BAO＝90°，CD＝AB，
∴，
∵OC＝OB，
∴Rt△CDO≌Rt△BAO，
∴AO＝DO＝3，
∴AD＝6，
∴矩形ABCD的面积为4×6＝24，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023 临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】连接OB，得到∠BOD＝∠COD，由等腰三角形的性质，得到OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，由勾股定理求出AB长，即可求出OE长，得到DC的长．
【解析】解：连接OB，
∵D是弧BC的中点，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，
∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴OB＝AC＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，勾股定理，关键是连接OB构造直角三角形，应用勾股定理解决问题．
5．（2025 拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．49°
【点拨】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝47°，再根据圆周角定理求解即可．
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝43°，
∴∠ABC＝47°，
∴∠ADC＝∠ABC＝47°，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
6．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【点拨】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．
【解析】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．
7．（2023 永嘉县三模）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【点拨】连接OC．证明△OBC是等边三角形，再利用圆周角定理解决问题即可．
【解析】解：连接OC．
∵OB＝OC＝OD，OD＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．
8．（2025 绍兴三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则∠ADC的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，从而求出cos∠ABC的值，再根据同弧所对的圆周角是直角可得∠ABC＝∠ADC，即可解答．
【解析】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴cos∠ABC＝＝＝，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴cos∠ADC＝cos∠ABC＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2025 浙江模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　）
A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360°
【点拨】依题意得∠BAD＝α+β，根据AB＝AC及三角形内角和定理得∠ACB＝90°﹣α，再根据AB∥CD得∠ACD＝∠BAC＝α，进而得∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+α，然后根据圆内接四边形的性质得∠BAD+∠BCD＝180°，则90°+α+α+β＝180°，由此即可得出答案．
【解析】解：∵∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+β，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2∠ACB+α＝180°，
∴∠ACB＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝α，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°﹣α+α＝90°+α，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴90°+α+α+β＝180°，
整理得：3α+2β＝180°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
10．（2022 杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　）
A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）
【点拨】要使△ABC的面积S＝BC h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【解析】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A′D⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，
在Rt△BOD中，
sinθ＝，cosθ＝
∴BD＝sinθ，OD＝cosθ，
∴BC＝2BD＝2sinθ，
A′D＝A′O+OD＝1+cosθ，
∴A′D BC＝×2sinθ（1+cosθ）＝sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
11．（2023 绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　80°　 ．
【点拨】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
12．（2023 湖州）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　3　 cm．
【点拨】根据垂径定理和勾股定理列方程即可．
【解析】解：∵BC⊥OA，BC＝8cm，
∴BD＝CD＝BC＝4cm，BD2+OD2＝OB2，
∵OB＝5cm，
∴42+OD2＝52，
∴OD＝3或OD＝﹣3（舍去），
∴OD的长是3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．
13．（2025 宁波三模）如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB＝110°，则∠AOB＝　140°　 ．
【点拨】在优弧上取点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质，求出∠ADB的度数，根据圆周角定理求出∠AOB．
【解析】解：如图，在优弧上取点D，连接AD、BD，
根据圆内接四边形的性质可知，
∠ACB+∠ADB＝180°，又∠ACB＝110°，
∴∠ADB＝70°，
∠AOB＝2∠ADB＝140°，
故答案为：140°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
14．（2025 杭州二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 　13　 ．
【点拨】首先根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”可得，再在Rt△OAE中，利用勾股定理列式计算，即可获得答案．
【解析】解：设该圆的半径为x，
∵AB⊥CD，AB＝10，
∴，
∵DE＝25，
∴OE＝25﹣x，
∴在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，
即x2＝（25﹣x）2+52，
解得x＝13，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
15．（2025 新昌县一模）如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是 　2　 mm．
【点拨】由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解析】解：∵OD⊥AB，AB＝8mm，
∴AC＝BC＝AB＝4mm，
∴OC＝＝＝3（mm），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（mm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．
16．（2025 钱塘区二模）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，CD∥AB交⊙O于点D，连结AD．若∠B＝70°，则∠CAD的大小为 　30°　 ．
【点拨】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC＝40°，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝110°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，熟记圆内接四边形的性质、平行线的性质是解题的关键．
17．（2023 婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
【点拨】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝＝＝．
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．
18．（2024 鹿城区校级三模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长度．
【点拨】（1）根据平行线的性质得∠ADO＝∠C，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BED＝180°，再根据∠CED+∠BED＝180°，OA＝OD，∠ODA＝∠A，得∠C＝∠CED，即可得出结论；
（2）连接AE，根据OD∥BC，得＝＝＝，所以BC＝2OD＝12，AC＝2AD＝8，再根据勾股定理得AE2＝AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，设CE＝x，64﹣x2＝144﹣（12﹣x）2，解方程即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∴四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BED＝180°，
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠CED＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∴∠C＝∠CED，
∴CD＝DE；
（2）解：如图，连接AE，
∵AB⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴＝＝＝，
∴BC＝2OD＝12，AC＝2AD＝8，
在Rt△ACE和Rt△ABE中，根据勾股定理得，
AE2＝AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
设CE＝x，
∴64﹣x2＝144﹣（12﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长度为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质以及勾股定理，正确地作出辅助线和利用圆周角定理，平行线的性质以及勾股定理是解题的关键．
19．（2025 温州模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC，BD交于点E．若AC⊥BD，．
（1）求∠ABC的大小（用含a的代数式表示）．
（2）若，CD＝5，求AB的长．
【点拨】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠CBD＝∠CAD＝α，进而求出∠ABC；
（2）证明∠ABC＝∠ACB，得到AB＝AC，得到5x＝4x+3，求出x，进而求出AB．
【解析】解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣2a．
∵∠CBD＝∠CAD＝α，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CAD＝90°﹣a；
（2）在△ABC中，∠BAC＝2a，∠ABC＝90°﹣α，
∴∠ACB＝180°﹣2a﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
由圆周角定理得：∠ACD＝∠ABD，
∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝，
设BE＝3x，CE＝3y，则AE＝4x，DE＝4y，
由勾股定理得：AB＝5x，CD＝5y，
∵CD＝5，
∴y＝1，
∴CE＝3，
∴5x＝4x+3，
解得：x＝3，
∴AB＝5x＝15．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆周角定理、正切的定义是解题的关键．
20．（2024 浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
【点拨】（1）根据圆周角定理进行计算即可；
（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可．
【解析】（1）解：∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°；
（2）证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，DG，
∵DG∥BC，
∴＝，
∴BD＝CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵EF∥DG，
∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键．
21．（2025 临平区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠ACO与∠OED的度数．
（2）若AB∥CD，求AF：FG：GD的值．
（3）若CF＝2OF，求△ODG与△AFC的面积比．
【点拨】（1）先证明△OAC为等边三角形，则∠ACO＝60°，再根据垂径定理推论得到OE⊥CD，可得∠OED的度数；
（2）作FT∥CD交OE于点T，证明△OCD是等边三角形，得CD＝OC，得，证明，再证明△FTG∽△DEG，得FG：GD＝1：2从而可得结论；
（3）过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，由CF＝2OF，不妨设OF＝k，则CF＝2k，则AC＝AO＝OC＝3k，那么，，，在Rt△AFH中，由勾股定理得，由△ACF∽△OGF，求得，而在Rt△CMD中，运用三角形面积公式求解即可．
【解析】解：（1）由条件可知OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵点E是CD中点，OE经过圆心，
∴OE⊥CD，
∴∠OED＝90°；
（2）由条件可知∠OCD＝∠AOC＝60°，
又OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝AC，∠COD＝60°，
∴∠DOB＝60°，
∴，
∴∠AFO＝90°，
∴AD⊥OC，
∴，，
∵OE⊥CD，
∴，
∴FC＝CE＝DE，
∴；
作FT∥CD交OE于点T，
∴，
∵OF＝FC，
∴，即OT＝TE，
∴T点为OE的中点，
∴FT为△OCE的中位线，
∴，
∵，
∴∠TFG＝30°，
∴，
∵FT∥CD，
∴△FTG∽△DEG，
∴，
∴FG：GD＝1：2，
∴，
∴；
（3）过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，
由CF＝2OF，不妨设OF＝k，则CF＝2k，
∴AC＝AO＝OC＝3k，
由条件可知∠OFH＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△AFH中，由勾股定理得，，
∵OC＝OD，OE⊥CD，
∴，
∵，
∴∠CAD＝∠COE，
∵∠AFC＝∠OFG，
∵△ACF∽△OGF，
∴，
∴，
∴，
又，
∴在Rt△CMD中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键．
1．（2025 上城区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【点拨】由圆周角定理，即可计算．
【解析】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝20°，
∴∠AOB＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．
2．（2025 宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【点拨】由垂径定理求出AD＝AB＝4，由勾股定理即可求出OD的长．
【解析】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OD＝＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AD＝AB，由勾股定理求出OD的长．
3．（2025 兖州区二模）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【点拨】连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，由垂径定理得AD＝BD＝4（米），再由勾股定理列方程求出的x的值即可．
【解析】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，
∴OC⊥AB，OD＝x﹣2，
∴，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
解得：x＝5，
∴⊙O的半径长为5米．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4．（2025 嘉峪关校级二模）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【点拨】先由三角形内角和定理得到∠A＝50°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠AOC＝80°，则∠COD＝10°，据此可得答案．
【解析】解：如图所示，连接OC，
由条件可知∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠COD＝10°，
∴的度数是10°；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
5．（2025 湖北模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若，则∠CBE的度数为（　　）
A．80° B．76° C．72° D．70°
【点拨】由弧与弦之间的关系可得AC＝CD，由等边对等角和三角形内角和定理可得∠D的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得∠CBE＝∠CDA，据此可得答案．
【解析】解：∵，
∴AC＝CD，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠CDA＝70°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键．
6．（2025 台州一模）如图，AB，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E．若∠BCD＝54°，则∠ADC等于（　　）
A．27° B．36° C．46° D．54°
【点拨】根据直角三角形的性质求出∠ABC＝36°，再根据圆周角定理求解即可．
【解析】解：∵AB⊥CD于点E，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠ABC＝36°，
∴∠ADC＝∠ABC＝36°，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角是解题的关键．
7．（2025 黄埔区一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　）
A．8 B．10 C．4 D．4
【点拨】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．
【解析】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8．（2025 项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】连接OC，先证明CD＝AF＝8，进而得，从而即可得解．
【解析】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，CE＝DE．
∵C是的中点，AF＝8，
∴，
∴CD＝AF＝8，
∴CE＝DE＝4，
∵OC＝5，
∴，
∵OA＝5，
∴AE＝OA﹣OE＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，
9．（2025 雁塔区校级四模）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　）
A． B．3 C． D．
【点拨】连接BC，首先根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝60°，然后得到∠ABE＝30°，AC＝AB＝2AE＝6，证明出△ABE≌△CBE（SAS），BD是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可．
【解析】解：如图所示，连接BC，
∴∠A＝∠D＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE＝6，
∵点A是优弧BC的中点，
∴AB＝AC，
∴AC＝2AE＝6，
∴AE＝CE，
∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2，
∴62+CD2＝（2CD）2，
∴，
∴，
∴圆的直径为，
∴圆的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键．
10．（2025 新城区三模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点D是劣弧的中点，连接AC，若∠DAC＝35°，则∠ABC的度数为　70　 °．
【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质求出∠ABC．
【解析】解：∵点D是劣弧的中点，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝180°﹣2×35°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．（2025 临安区一模）如图，在⊙O中，点D为弧AB的中点，CD为⊙O的直径，AE∥BC交⊙O于点E，连结CE．若∠ABC＝70°，则∠DCE＝　50°　 ．
【点拨】根据平行线的性质、圆内接四边形的性质可以得到∠ECB的度数，再根据垂径定理可以求得∠BCD的度数，然后即可得到∠DCE的度数．
【解析】解：∵AE∥BC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC+∠EAB＝180°，
∴∠EAB＝110°，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠EAB+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝70°，
∵点D为弧AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CFB＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝70°﹣20°＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．（2025 焦作模拟）如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为　6　 ．
【点拨】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，根据垂径定理可得BM＝DN＝8，再根据勾股定理可得OM＝ON＝6，再证明四边形MONP是正方形，则MP＝OM＝6，根据勾股定理即可求出OP的长．
【解析】解：作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BM＝AB＝8，DN＝CD＝8，
∴，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴MP＝OM＝6，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．（2025 东营模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 　14　 ．
【点拨】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP＝AB，即AB＝2OP，当OP取得最大时，AB有最大值，当点P在OM的延长线上与⊙M交于点P时，OP最大，即可求出AB的最大值．
【解析】解：连接OP，如图：
∵点A、点B关于原点O对称，
∴OA＝OB，
∵PA⊥PB，
∴OP＝AB，即AB＝2OP，
当OP取得最大时，AB有最大值，
∵点P是⊙M上的任意一点，
∴当点P在OM的延长线上与⊙M交于点P时，OP最大，如图：
∵⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），
∴OP'＝+2＝7，
∴AB的最大值为14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时AB有最大值是解题关键．
14．（2024 陇南模拟）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．
（1）连接AO，求证：∠OAC＝90°；
（2）若BF＝4，，求⊙O的半径．
【点拨】（1）连接AO，由圆的性质可得∠OAD＝∠ODA，根据AC＝FC，可得∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，由垂径定理可得OD⊥BE，然后借助角关系转化可得结论；
（2）在Rt△ODF由勾股定理可求解．
【解析】（1）证明：连接AO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵A C＝F C，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODA+∠OFD＝90°，
∴∠CAF+∠DAO＝90°，
∴∠OAC＝90°；
（2）解：在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，
∴10＝OD2+（4﹣OD）2，
∴OD＝1（不合题意舍去）或OD＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
15．（2025 安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
【点拨】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行即可解答；
（2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
∴，
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），
故AB＝2r＝6．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（2025 雷州市校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上一点，C是的中点，AC与DF交于点G，连接EG．
（1）如图1，求证：CD＝2EG．
（2）如图2，若DF是直径且DF＝8，求EG的长．
【点拨】（1）先求得，可得∠BAC＝∠CDF，再证得∠AEC＝90°，CE＝DE，在△ACE和△CDG中，∠ACE＝∠DCG，∠CAE＝∠CDG，可得∠CGD＝∠AEC＝90°，从而得出，即可求证；
（2）先求得，再求得，证明△AOF是等边三角形，再由AG⊥OF，可得，再由勾股定理求得，再证明△ACE是直角三角形，再求解即可．
【解析】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CDF，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴∠AEC＝90°，CE＝DE，
∴∠ACE＝∠DCG，∠CAE＝∠CDG，
∴∠CGD＝∠AEC＝90°，
∴，
∴CD＝2EG；
（2）解：∵DF是直径，由（1）知DF⊥AC，
∴，
又∵，
∴，
又∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
又∵AG⊥OF，DF＝8，
∴，
∴，
∵DF是⊙O的直径，AC⊥DF，
∴CG＝AG，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
又∵G是AC的中点，
∴．
【点睛】本题是圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟知以上知识是解题的关键．
17．（2025 温州一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1＝∠2，连结DG．
（1）若∠1＝35°，B为的中点，求∠ADC的度数．
（2）连结BD，当∠BDG＝∠BEG时．
①求证：四边形BEGD是平行四边形．
②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG．
【点拨】（1）连接BD，由已知得∠1＝∠2＝35°，再由圆周角定理∠CDB＝∠2＝35°，再根据点B为弧AC中点得∠ADB＝∠2＝35°，然后根据∠ADC＝∠ADB+∠CDB即可得出答案；
（2）①连接BD，由∠CDB＝∠2，∠1＝∠2得∠CDB＝∠1，则BD∥CE，再由∠BDG＝∠BEG得∠GDE＝∠BED，则DG∥BE，由此即可得出结论；
②过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD，则∠CDB＝∠PBD，进而得弧BC＝弧PD，则BC＝PD，由圆周角定理得∠P＝∠DAB＝∠3，证明∠PBD＝∠1，再由平行四边形性质得BD＝EG，据此可依据“AAS”判定△PBD和△FEG全等，则PD＝FG，由此即可得出结论．
【解析】（1）解：连接BD，如图1所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝35°，
∴∠2＝35°，
由圆周角定理得：∠CDB＝∠2＝35°，
∵点B为弧AC的中点，
∴∠ADB＝∠2＝35°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝70°；
（2）①证明：连接BD，如图2①所示：
∵∠CDB＝∠2，∠1＝∠2，
∴∠CDB＝∠1，
∴BD∥CE，
∵∠BDG＝∠BEG，
∴∠CDB+∠GDE＝∠BED+∠1，
∵∠CDB＝∠1，
∴∠GDE＝∠BED，
∴DG∥BE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BEGD是平行四边形；
②证明：过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD，BD，如图2②所示：
∴∠CDB＝∠PBD，
∴，
∴BC＝PD，
由圆周角定理得：∠P＝∠DAB，
∵∠3＝∠DAB，
∴∠P＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠CDB＝∠2，∠CDB＝∠PBD，
∴∠PBD＝∠1，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△PBD和△FEG中，
，
∴△PBD≌△FEG（AAS），
∴PD＝FG，
∴BC＝FG．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理，平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，理解圆内接四边形的性质圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．
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