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10.1.1　有限样本空间与随机事件
【课程标准要求】　1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义.
知识点一　随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
知识拓展
随机试验的特点:
①重复性;②预知性;③随机性.
知识点二　样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
样本点可看作元素,样本空间可看作集合.
知识点三　随机事件、必然事件与不可能事件
1.随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
2.必然事件
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
3.不可能事件
空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件.
基础自测
1.下列事件是必然事件的是(　　)
[A] 从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到标有数字4的标签
[B] 函数y=logax(a>0,且a≠1)为增函数
[C] 平行于同一条直线的两条直线平行
[D] 随机选取一个实数x,得2x<0
2.试验E:“任取一个两位数,观察个位数字与十位数字的和的情况”,则该试验的样本空间为(　　)
[A] {10,11,…,99} [B] {1,2,…,18}
[C] {0,1,…,18} [D] {1,2,…,10}
3.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,球除颜色外完全相同,从里面任意摸2个球,不是基本事件的为(　　)
[A] {正好2个红球} [B] {正好2个黑球}
[C] {正好2个白球} [D] {至少1个红球}
可知{至少1个红球}不是基本事件.故选D.
4.(人教A版必修第二册P231练习T3改编)将2个1和 1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω=　　　　　.
题型一　样本空间
[例1] 袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其余均相同的四个小球,从中任取一球的样本空间Ω1=　　　　　　　　,从中任取两球的样本空间Ω2=　 .
{红,白,黄,黑}.
从中任取两球有6种可能,分别为(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑),
构成的样本空间Ω2={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
(1)列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题.
(3)树状图法:适用于较复杂问题中的样本点的求解问题,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
[变式训练] 连续掷3枚质地均匀的硬币:
(1)写出这一试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的个数.
(2)样本点的个数是8.
题型二　随机事件
[例2] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人参加超市的凭购物券抽奖一次,中一等奖;
(2)三角形的两边之和大于第三边;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
(2)所有三角形的两边之和大于第三边,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存下去,所以是不可能事件.
(4)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
判断一个事件类型的方法
三种事件都是相对于一定条件而言的,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
[变式训练] 如图,由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,下列事件为必然事件的是(　　)
[A] A灯亮,B灯不亮
[B] A灯不亮,B灯亮
[C] A,B两盏灯均亮
[D] A,B两盏灯均不亮
故选C.
题型三　随机事件的含义及表示
[例3] (北师大版必修第一册P188例2)试验E:连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面出现的情况.设事件A表示随机事件“第一次出现正面”,事件B表示随机事件“3次出现同一面”,事件C表示随机事件“至少出现一次正面”,试用样本点表示事件A,B,C.
试验E的所有可能结果共有8种,下面用字母H表示出现正面,字母T表示出现反面,则试验E的样本空间可以记为
Ω={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}.
因为事件A表示随机事件“第一次出现正面”,所以满足要求的样本点共有4个:(H,H,H),
(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T).因此,事件A={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T)}.
事件B表示随机事件“3次出现同一面”,所以满足要求的样本点共有2个:(H,H,H),(T,T,T).因此,事件B={(H,H,H),(T,T,T)}.
事件C表示随机事件“至少出现一次正面”,所以满足要求的样本点共有7个:(H,H,H),(H,H,T),
(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H).
因此,事件C={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)}.
[变式训练] 在试验E:“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义:
(1)事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)};
(2)事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)}.
(2)事件C中所含的样本点中两个数的差的绝对值均为2,且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在C中,故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,两次掷出的点数之差的绝对值为2.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列事件中,随机事件的个数是(　　)
①明年8月18日,某市不下雨;
②在标准大气压下,水在4 ℃时结冰;
③任取x∈R,则|x|≥0.
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 0
②在标准大气压下,水在4 ℃时结冰,属于不可能事件;
③任取x∈R,则|x|≥0,属于必然事件.所以属于随机事件的是①,即随机事件的个数是1.故选A.
2.掷两个面上分别记有数字1至6的质地均匀的正方体玩具,设事件A为“点数之和恰好为6”,则A中样本点个数为(　　)
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
则A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},所以A中样本点个数为5.故选D.
3.从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是(　　)
[A] 3件都是正品 [B] 3件都是次品
[C] 至少有1件次品 [D] 至少有1件正品
故选D.
4.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为(　　)
[A] 3 [B] 5 [C] 6 [D] 9
5.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,则“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差大于4”表示的试验结果为(　　)
[A] 第一枚为5点,第二枚为1点
[B] 第一枚为5或6点,第二枚为1点
[C] 第一枚为6点,第二枚为1点
[D] 第一枚为1点,第二枚为6点
6.(多选题)从2,3,8,9中任取两个不同数字,分别记为a,b,用(a,b)表示该试验的样本点,则事件“logab为整数”包含的样本点有(　　)
[A] (2,8) [B] (3,9)
[C] (2,9) [D] (3,8)
7.(5分)将一枚质地均匀的硬币抛三次,观察其正面朝上的次数,该试验的样本空间为　 .
所以该试验的样本空间为{0,1,2,3}.
8.(5分)有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3,现任取3面,事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是　　　　.
9.(13分)写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙、丙、丁四名同学参加演讲比赛,通过抽签确定演讲的顺序,记录抽签的结果.
(2)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察2次掷出的点数之和.
(3)设袋中装有4个白球和6个黑球,从中不放回地逐个取出,直至白球全被取出,记录取球的
次数.
{甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁乙丙,甲丁丙乙,乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲,丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙,丙丁乙甲,丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙,丁丙乙甲}.
(2)第一次骰子和第二次骰子掷出的点数之和构成一个样本点,样本空间为{2,3,4,5,6,7,8,9,
10,11,12}.
(3)白球全被取出,至少取4次,最多取10次,样本空间为{4,5,6,7,8,9,10}.
10.(14分)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180,120,120.现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法,从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动.
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作.记事件M=“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”,试用所给字母写出事件M包含的样本点.
(2)设7名同学中来自高一的3人分别为A,B,C.则M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),
(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G)}.
11.(多选题)给出关于满足A B的非空集合A,B的四个命题,其中正确的命题是(　　)
[A] 若任取x∈A,则x∈B是必然事件
[B] 若任取x A,则x∈B是不可能事件
[C] 若任取x∈B,则x∈A是随机事件
[D] 若任取x B,则x A是必然事件
12.(5分)袋中有5个球,其中有3个红球,编号为1,2,3,有2个黄球,编号为4,5.现从中任意取1个球,试验A:观察颜色;试验B:观察号码.
试验A的样本空间为　　　　　　;试验B的样本空间为　　　　　　　　　.
13.(16分)汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示,三个汉字可以看成轴对称图形.
甲和乙利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则甲获胜,否则乙获胜.
(1)写出该试验的样本空间Ω;
(2)设“甲获胜”为事件A,试用样本点表示A.
第一张卡片 第二张卡片
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
所以Ω={(土,土),(土,口),(土,木),(口,土),(口,口),(口,木),(木,土),(木,口),(木,木)}.
(2)能组成上下结构的汉字的样本点为(土,土),(口,口),(木,口),(口,木).
所以A={(土,土),(口,口),(木,口),(口,木)}.10.1.1　有限样本空间与随机事件
【课程标准要求】　1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义.
知识点一　随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
知识拓展
随机试验的特点:
①重复性;②预知性;③随机性.
知识点二　样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
样本点可看作元素,样本空间可看作集合.
知识点三　随机事件、必然事件与不可能事件
1.随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
2.必然事件
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
3.不可能事件
空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件.
基础自测
1.下列事件是必然事件的是(　　)
[A] 从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到标有数字4的标签
[B] 函数y=logax(a>0,且a≠1)为增函数
[C] 平行于同一条直线的两条直线平行
[D] 随机选取一个实数x,得2x<0
【答案】 C
【解析】 A是随机事件,5张标签都可能被取到;B是随机事件,当a>1时,函数y=logax为增函数,当00.故选C.
2.试验E:“任取一个两位数,观察个位数字与十位数字的和的情况”,则该试验的样本空间为(　　)
[A] {10,11,…,99} [B] {1,2,…,18}
[C] {0,1,…,18} [D] {1,2,…,10}
【答案】 B
【解析】 由题意可知,该试验的样本空间为{1,2,…,18}.故选B.
3.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,球除颜色外完全相同,从里面任意摸2个球,不是基本事件的为(　　)
[A] {正好2个红球} [B] {正好2个黑球}
[C] {正好2个白球} [D] {至少1个红球}
【答案】 D
【解析】 设事件A=“至少1个红球”,则A={1红1白,1红1黑,2个红球},共3个样本点,
可知{至少1个红球}不是基本事件.故选D.
4.(人教A版必修第二册P231练习T3改编)将2个1和 1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω=　　　　　.
【答案】 {110,101,011}
【解析】 将2个1和1个0随机排成一排,这个试验的样本空间Ω={110,101,011}.
题型一　样本空间
[例1] 袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其余均相同的四个小球,从中任取一球的样本空间Ω1=　　　　　　　　,从中任取两球的样本空间Ω2=　 .
【答案】 {红,白,黄,黑}　{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}
【解析】 从中任取一球有4种可能,分别为红、白、黄、黑,构成的样本空间Ω1=
{红,白,黄,黑}.
从中任取两球有6种可能,分别为(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑),
构成的样本空间Ω2={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
(1)列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题.
(3)树状图法:适用于较复杂问题中的样本点的求解问题,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
[变式训练] 连续掷3枚质地均匀的硬币:
(1)写出这一试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的个数.
【解】 (1)Ω={(正,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,正,正),(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反)}.
(2)样本点的个数是8.
题型二　随机事件
[例2] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人参加超市的凭购物券抽奖一次,中一等奖;
(2)三角形的两边之和大于第三边;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
【解】 (1)参加超市的凭购物券抽奖一次,可能中一等奖,也可能不中一等奖,所以是随机事件.
(2)所有三角形的两边之和大于第三边,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存下去,所以是不可能事件.
(4)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
判断一个事件类型的方法
三种事件都是相对于一定条件而言的,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
[变式训练] 如图,由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,下列事件为必然事件的是(　　)
[A] A灯亮,B灯不亮
[B] A灯不亮,B灯亮
[C] A,B两盏灯均亮
[D] A,B两盏灯均不亮
【答案】 C
【解析】 由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,可知A,B两盏灯均亮.
故选C.
题型三　随机事件的含义及表示
[例3] (北师大版必修第一册P188例2)试验E:连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面出现的情况.设事件A表示随机事件“第一次出现正面”,事件B表示随机事件“3次出现同一面”,事件C表示随机事件“至少出现一次正面”,试用样本点表示事件A,B,C.
【解】 在试验E中,连续抛掷一枚硬币3次,虽然不能预知出现的结果,但试验的所有可能结果可用图来表示:
试验E的所有可能结果共有8种,下面用字母H表示出现正面,字母T表示出现反面,则试验E的样本空间可以记为
Ω={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}.
因为事件A表示随机事件“第一次出现正面”,所以满足要求的样本点共有4个:(H,H,H),
(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T).因此,事件A={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T)}.
事件B表示随机事件“3次出现同一面”,所以满足要求的样本点共有2个:(H,H,H),(T,T,T).因此,事件B={(H,H,H),(T,T,T)}.
事件C表示随机事件“至少出现一次正面”,所以满足要求的样本点共有7个:(H,H,H),(H,H,T),
(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H).
因此,事件C={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)}.
[变式训练] 在试验E:“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义:
(1)事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)};
(2)事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)}.
【解】 (1)事件A中所含的样本点中的第二个数都为3,且样本空间中第二个数为3的样本点都在事件A中,故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,第二次掷出的点数为3.
(2)事件C中所含的样本点中两个数的差的绝对值均为2,且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在C中,故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,两次掷出的点数之差的绝对值为2.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列事件中,随机事件的个数是(　　)
①明年8月18日,某市不下雨;
②在标准大气压下,水在4 ℃时结冰;
③任取x∈R,则|x|≥0.
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 0
【答案】 A
【解析】 ①明年8月18日,某市不下雨,属于随机事件;
②在标准大气压下,水在4 ℃时结冰,属于不可能事件;
③任取x∈R,则|x|≥0,属于必然事件.所以属于随机事件的是①,即随机事件的个数是1.故选A.
2.掷两个面上分别记有数字1至6的质地均匀的正方体玩具,设事件A为“点数之和恰好为6”,则A中样本点个数为(　　)
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 D
【解析】 用(x,y)表示两个正方体玩具的点数分别为x,y,
则A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},所以A中样本点个数为5.故选D.
3.从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是(　　)
[A] 3件都是正品 [B] 3件都是次品
[C] 至少有1件次品 [D] 至少有1件正品
【答案】 D
【解析】 从10件正品、2件次品中任意抽取3件,对于A,3件都是正品是随机事件;对于B,3件都是次品是不可能事件;对于C,至少有1件次品是随机事件;对于D,因为只有两件次品,所以从中任意抽取3件必然会抽到正品,即至少有1件正品是必然事件.
故选D.
4.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为(　　)
[A] 3 [B] 5 [C] 6 [D] 9
【答案】 C
【解析】 样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个.故选C.
5.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,则“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差大于4”表示的试验结果为(　　)
[A] 第一枚为5点,第二枚为1点
[B] 第一枚为5或6点,第二枚为1点
[C] 第一枚为6点,第二枚为1点
[D] 第一枚为1点,第二枚为6点
【答案】 C
【解析】 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差大于4”表示的试验结果为“第一枚为6点,第二枚为1点”.故选C.
6.(多选题)从2,3,8,9中任取两个不同数字,分别记为a,b,用(a,b)表示该试验的样本点,则事件“logab为整数”包含的样本点有(　　)
[A] (2,8) [B] (3,9)
[C] (2,9) [D] (3,8)
【答案】 AB
【解析】 只有log28=3,log39=2为整数.故选AB.
7.(5分)将一枚质地均匀的硬币抛三次,观察其正面朝上的次数,该试验的样本空间为　 .
【答案】 {0,1,2,3}
【解析】 因为将一枚质地均匀的硬币抛三次,其正面朝上的次数可能为0,1,2,3,
所以该试验的样本空间为{0,1,2,3}.
8.(5分)有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3,现任取3面,事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是　　　　.
【答案】 6　
【解析】 把事件包含的所有样本点列举出来有(红1,黄2,蓝3),(红1,黄3,蓝2),(红2,黄1,蓝3),(红2,黄3,蓝1),(红3,黄1,蓝2),(红3,黄2,蓝1),共有6个.
9.(13分)写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙、丙、丁四名同学参加演讲比赛,通过抽签确定演讲的顺序,记录抽签的结果.
(2)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察2次掷出的点数之和.
(3)设袋中装有4个白球和6个黑球,从中不放回地逐个取出,直至白球全被取出,记录取球的
次数.
【解】 (1)四名同学的一个演讲顺序构成一个样本点,样本空间为
{甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁乙丙,甲丁丙乙,乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲,丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙,丙丁乙甲,丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙,丁丙乙甲}.
(2)第一次骰子和第二次骰子掷出的点数之和构成一个样本点,样本空间为{2,3,4,5,6,7,8,9,
10,11,12}.
(3)白球全被取出,至少取4次,最多取10次,样本空间为{4,5,6,7,8,9,10}.
10.(14分)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180,120,120.现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法,从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动.
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作.记事件M=“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”,试用所给字母写出事件M包含的样本点.
【解】 (1)由题意知,高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为180∶120∶120=3∶2∶2,又采用样本按比例分配的分层随机抽样方法,从中抽取7名同学.故应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)设7名同学中来自高一的3人分别为A,B,C.则M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),
(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G)}.
11.(多选题)给出关于满足A B的非空集合A,B的四个命题,其中正确的命题是(　　)
[A] 若任取x∈A,则x∈B是必然事件
[B] 若任取x A,则x∈B是不可能事件
[C] 若任取x∈B,则x∈A是随机事件
[D] 若任取x B,则x A是必然事件
【答案】 ACD
【解析】 根据A B的Venn图(图略)可知,对于A,集合A中的所有元素都在B中,故A正确;对于B,当集合A是B的真子集时,不在A中的元素,有可能在B中,故B错误;对于C,因为A B,所以在B中的元素有可能在A中,故C正确;对于D,因为B包含A,所以若所取元素不在B中,则必不在A中,故D正确.故选ACD.
12.(5分)袋中有5个球,其中有3个红球,编号为1,2,3,有2个黄球,编号为4,5.现从中任意取1个球,试验A:观察颜色;试验B:观察号码.
试验A的样本空间为　　　　　　;试验B的样本空间为　　　　　　　　　.
【答案】 {红,黄}　{1,2,3,4,5}
【解析】 A的样本空间为{红,黄};B的样本空间为{1,2,3,4,5}.
13.(16分)汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示,三个汉字可以看成轴对称图形.
甲和乙利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则甲获胜,否则乙获胜.
(1)写出该试验的样本空间Ω;
(2)设“甲获胜”为事件A,试用样本点表示A.
【解】 (1)每次游戏时,所有可能出现的结果如表所示,表中点的横坐标表示第一次抽出的卡片上的汉字,纵坐标表示第二次抽出的卡片上的汉字.
第一张卡片 第二张卡片
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
所以Ω={(土,土),(土,口),(土,木),(口,土),(口,口),(口,木),(木,土),(木,口),(木,木)}.
(2)能组成上下结构的汉字的样本点为(土,土),(口,口),(木,口),(口,木).
所以A={(土,土),(口,口),(木,口),(口,木)}.(共28张PPT)
第十章　概　率
10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　随机试验
我们把对随机现象的 和对它的 称为 ,简称 ,常用字母 表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:
(1)试验可以在相同条件下 进行;
(2)试验的所有可能结果是 ,并且 ;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
实现
观察
随机试验
试验
E
重复
明确可知的
不止一个
『知识拓展』
随机试验的特点:
①重复性;②预知性;③随机性.
知识点二　样本空间
我们把随机试验E的每个可能的 称为 ,全体样本点的集合称为试验E的 .一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为 .
基本结果
样本点
样本空间
有限样本空间
·温馨提示·
样本点可看作元素,样本空间可看作集合.
知识点三　随机事件、必然事件与不可能事件
1.随机事件
一般地,随机试验中的 都可以用这个试验的样本空间的 来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为 ,简称 ,并把只包含 的事件称为 .在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为 .
每个随机事件
子集
随机事件
事件
一个样本点
基本事件
事件A发生
2.必然事件
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为 .
3.不可能事件
不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为
.
必然事件
空集
不可能事件
基础自测
1.下列事件是必然事件的是(　　)
[A] 从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到标有数字4的标签
[B] 函数y=logax(a>0,且a≠1)为增函数
[C] 平行于同一条直线的两条直线平行
[D] 随机选取一个实数x,得2x<0
C
【解析】 A是随机事件,5张标签都可能被取到;B是随机事件,当a>1时,函数y=logax为增函数,当00.故选C.
2.试验E:“任取一个两位数,观察个位数字与十位数字的和的情况”,则该试验的样本空间为(　　)
[A] {10,11,…,99} [B] {1,2,…,18}
[C] {0,1,…,18} [D] {1,2,…,10}
B
【解析】 由题意可知,该试验的样本空间为{1,2,…,18}.故选B.
3.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,球除颜色外完全相同,从里面任意摸2个球,不是基本事件的为(　　)
[A] {正好2个红球} [B] {正好2个黑球}
[C] {正好2个白球} [D] {至少1个红球}
D
【解析】 设事件A=“至少1个红球”,则A={1红1白,1红1黑,2个红球},共3个样本点,
可知{至少1个红球}不是基本事件.故选D.
4.(人教A版必修第二册P231练习T3改编)将2个1和 1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω=　　　 　　.
{110,101,011}
【解析】 将2个1和1个0随机排成一排,这个试验的样本空间Ω={110,101,011}.
关键能力·素养培优
题型一　样本空间
[例1] 袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其余均相同的四个小球,从中任取一球的样本空间Ω1=　　　　　　 　　,从中任取两球的样本空间Ω2=
　 .
{红,白,黄,黑}
{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}
【解析】 从中任取一球有4种可能,分别为红、白、黄、黑,构成的样本空间Ω1={红,白,黄,黑}.
从中任取两球有6种可能,分别为(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑),
构成的样本空间Ω2={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
·解题策略·
写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
(1)列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题.
(3)树状图法:适用于较复杂问题中的样本点的求解问题,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
[变式训练] 连续掷3枚质地均匀的硬币:
(1)写出这一试验的样本空间;
【解】 (1)Ω={(正,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,正,正),(正,反,反),(反,反,正),
(反,正,反),(反,反,反)}.
(2)求这个试验的样本点的个数.
【解】 (2)样本点的个数是8.
[例2] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人参加超市的凭购物券抽奖一次,中一等奖;
题型二　随机事件
【解】 (1)参加超市的凭购物券抽奖一次,可能中一等奖,也可能不中一等奖,所以是随机事件.
(2)三角形的两边之和大于第三边;
【解】 (2)所有三角形的两边之和大于第三边,所以是必然事件.
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
【解】 (3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存下去,所以是不可能事件.
(4)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
【解】 (4)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
·解题策略·
判断一个事件类型的方法
三种事件都是相对于一定条件而言的,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
[变式训练] 如图,由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,下列事件为必然事件的是(　　)
[A] A灯亮,B灯不亮
[B] A灯不亮,B灯亮
[C] A,B两盏灯均亮
[D] A,B两盏灯均不亮
【解析】 由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,可知A,B两盏灯均亮.故选C.
C
题型三　随机事件的含义及表示
[例3] (北师大版必修第一册P188例2)试验E:连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面出现的情况.设事件A表示随机事件“第一次出现正面”,事件B表示随机事件“3次出现同一面”,事件C表示随机事件“至少出现一次正面”,试用样本点表示事件A,B,C.
【解】 在试验E中,连续抛掷一枚硬币3次,虽然不能预知出现的结果,但试验的所有可能结果可用图来表示:
试验E的所有可能结果共有8种,下面用字母H表示出现正面,字母T表示出现反面,则试验E的样本空间可以记为Ω={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),
(T,T,H),(T,T,T)}.
因为事件A表示随机事件“第一次出现正面”,所以满足要求的样本点共有4个:
(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T).因此,事件A={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T)}.
事件B表示随机事件“3次出现同一面”,所以满足要求的样本点共有2个:(H,H,H),
(T,T,T).因此,事件B={(H,H,H),(T,T,T)}.
事件C表示随机事件“至少出现一次正面”,所以满足要求的样本点共有7个:
(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H).
因此,事件C={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)}.
[变式训练] 在试验E:“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义:
(1)事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)};
【解】 (1)事件A中所含的样本点中的第二个数都为3,且样本空间中第二个数为3的样本点都在事件A中,故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,第二次掷出的点数为3.
(2)事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)}.
【解】 (2)事件C中所含的样本点中两个数的差的绝对值均为2,且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在C中,故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,两次掷出的点数之差的绝对值为2.
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