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10.1.2　事件的关系和运算
【课程标准要求】　1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念.
知识点一　事件的关系
关系 包含 相等
定义 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等
符号 B A(或A B) A=B
图示
知识点二　并事件与交事件
项目 并事件(或和事件) 交事件(或积事件)
定义 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
符号 A∪B(或A+B) A∩B(或AB)
图示
知识拓展
多个事件的和事件与积事件
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如:对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少有一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时
发生.
知识点三　互斥事件和对立事件
项目 互斥事件 对立事件
定义 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B= ,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为
符号 A∩B= A∪B=Ω, A∩B=
图示
互斥事件和对立事件的关系
对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.
基础自测
1.设M,N,P是三个事件,则M,N至少有一个不发生且P发生可表示为(　　)
[A] (∪)P [B] ( )P
[C] (∪)∪P [D] (NP)∪(MP)
2.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为(　　)
[A] 至多有2件次品
[B] 至多有1件次品
[C] 至多有2件正品
[D] 至少有2件正品
3.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)某人射击一次,设事件A为“击中环数小于4”,事件B为“击中环数大于4”,事件C为“击中环数不小于4”,事件D为“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是(　　)
[A] A与B为对立事件
[B] B与C为互斥事件
[C] C与D为对立事件
[D] B与D为互斥事件
对于B,事件B与C可能同时发生,所以事件B与C不是互斥事件;
对于C,事件“击中环数等于0”可能发生,所以事件C与D不是对立事件;
对于D,事件B:“击中环数大于4”与事件D:“击中环数大于0且小于4”,不可能同时发生,所以B与D为互斥事件.故选D.
4.甲、乙两人破译同一个密码,令甲、乙破译出密码分别为事件A,B,则B∪A表示的含义是　　　　　　　　　　　　,事件“密码被破译”可表示为　　　　　　　　.
则B表示甲没有破译出密码同时乙破译出密码,A表示甲破译出密码同时乙没有破译出
密码,
所以B∪A表示的含义是只有一人破译出密码.
事件“密码被破译”可以分为甲没有破译出密码同时乙破译出密码或甲破译出密码同时乙没有破译出密码或甲、乙都破译出密码,所以可表示为B∪A∪AB.
题型一　事件的包含与相等
[例1] 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=“出现1点”,事件C2=“出现2点”,事件C3=“出现3点”,事件C4=“出现4点”,事件C5=“出现5点”,事件C6=“出现6点”,事件D1=“出现的点数不大于1”,事件D2=“出现的点数大于3”,事件D3=“出现的点数小于5”,事件E=“出现的点数小于7”,事件F=“出现的点数为偶数”,事件G=“出现的点数为奇数”,请根据上述定义的事件,列举出符合包含关系、相等关系的事件.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,F,G;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5,D1.易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的
关系.
[变式训练] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则(　　)
[A] A=B
[B] A B
[C] A B
[D] A与B之间没有关系
题型二　事件的交与并
[例2] 同时抛掷两枚骰子,一枚是红色的,一枚是蓝色的.已知事件A=“红骰子的点数是2”,事件B=“蓝骰子的点数是3”.
(1)写出样本空间Ω,并用样本点表示事件A,B;
(2)用集合表示A∩B,并说明其含义;
(3)用集合表示A∪B,并说明其含义.
(1)样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N},或Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}.
根据事件的定义,得到
A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},
B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.
(2)A∩B={(2,3)}=“红骰子是2点,蓝骰子是3点”.
(3)A∪B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}=“红骰子是2点或蓝骰子是3点”.
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
[变式训练] 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)
[A] 1,6 [B] 4,2
[C] 5,1 [D] 6,1
(2,3),(2,4),(3,4)}.
其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.
事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个.
所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个;
事件A∩B包含的样本点有(2,4),共1个.故选C.
题型三　事件的互斥与对立
[例3] 某城市举办活动,有甲、乙两种活动供市民参加,记事件A为“只参加甲活动”,事件B为“至少参加一种活动”,事件C为“至多参加一种活动”,事件D为“不参加甲活动”,事件E为“一种活动也不参加”.试判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C.
(2)事件B“至少参加一种活动”与事件E“一种活动也不参加”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件,又市民要么“至少参加一种活动”,要么“一种活动也不参加”,故B与E是对立事件.
(3)事件B“至少参加一种活动”中,有可能“只参加乙活动”,即有可能“不参加甲活动”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少参加一种活动”中,有“只参加甲活动”“只参加乙活动”“参加甲、乙两种活动”;事件C“至多参加一种活动”中,有“一种活动也不参加”“只参加甲活动”“只参加乙活动”,
由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
②若事件A与B对立,则集合A∩B= ,且A∪B=Ω.
[变式训练] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
(2)因为恰有2名男生时,“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,又它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)因为选出的是1名男生1名女生时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知事件A,B,C满足A B,B C,则下列说法不正确的是(　　)
[A] 事件A发生一定导致事件C发生
[B] 事件B发生一定导致事件C发生
[C] 事件 发生不一定导致事件 发生
[D] 事件 发生不一定导致事件 发生
则A,B正确,事件 , ,则C正确,D错误.故选D.
2.打靶3次,事件Ai=“击中i次”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示(　　)
[A] 全部击中 [B] 至少击中1次
[C] 至少击中2次 [D] 全部未击中
故选B.
3.在7个除颜色外其他都相同的小球中,有3个红球,4个白球,从中任意取出3个小球,则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是(　　)
[A] 3个小球中至多有1个白球
[B] 3个小球中至多有1个红球
[C] 3个小球都是红球
[D] 3个小球都是白球
所以其对立事件包含的情况为3红、2红1白,即3个小球中至多有1个白球.故选A.
4.在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察掷出的点数”中,事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”,事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”,用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数,则事件M∩N等于(　　)
[A] {(6,6)}
[B] {(4,6),(6,6)}
[C] {(5,6),(6,6)}
[D] {(4,6),(6,4),(6,6)}
(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件M∩N={(4,6),(6,4),(6,6)}.
故选D.
5.(多选题)从1至9这9个自然数中任取两个数,有如下随机事件:
A=“恰有一个偶数”,B=“恰有一个奇数”,
C=“至少有一个是奇数”,D=“两个数都是偶数”,
E=“至多有一个奇数”.
下列结论正确的是(　　)
[A] A=B
[B] B C
[C] D∩E=
[D] C∩D= ,C∪D=Ω
至少有一个是奇数,指一奇一偶,或两个数都是奇数,所以B C,故B正确;
至多有一个奇数指一奇一偶,或两个数都是偶数,
此时事件D,E有公共事件,故C错误;
C,D是对立事件,所以C∩D= ,C∪D=Ω,故D正确.故选ABD.
6.如果事件A,B互斥,那么(　　)
[A] A∪B是必然事件 [B] ∪是必然事件
[C] 与一定互斥 [D] 与一定不互斥
当A,B不是对立事件时,与不互斥,故C不正确;
当A,B是对立事件时,与也是对立事件,也是互斥事件,故D不正确.
另外,用集合表示方法中的Venn图来解决此题比较直观.
如图所示,∪是必然事件,故B正确.故选B.
7.(5分)在随机抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪的含义为　　　　　　　　　　,事件A∩B的含义为　 .
8.(5分)某公司招聘需要通过两场笔试,设事件A=“甲第一场笔试通过”,事件B=“甲第二场笔试通过”,事件D=(A∩)∪(∩B)∪(∩)表示的含义是　　　　　　　　　　　　.
9.(13分)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件 A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.
(1)用集合的形式表示事件A,B,C,D;
(2)事件B与事件C有什么关系 事件A和B的交事件与事件D有什么关系
B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)},
C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)},
D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.
(2)由(1)可知事件B包含事件C,事件A和B的交事件与事件D互斥.
10.(14分)掷一枚正六面体骰子,下列事件:A={出现奇数点},B={出现偶数点},C={出现点数小于3},D={出现点数大于2},E={出现点数是3的倍数}.
(1)求A∩B,B∩C;
(2)求A∪B,B∪C;
(3)求,∩C,∪C,∪.
(1)A∩B= ,B∩C={2}.
(2)A∪B={1,2,3,4,5,6},B∪C={1,2,4,6}.
(3)由题意可知={2,4,6},={1,3,5},={1,2},={1,2,4,5},则∩C={2},∪C={1,2,3,5},∪={1,2,4,5}.
11.(多选题)某人打靶时连续射击两次,记事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,事件C为“至多一次中靶”,事件D为“两次都没有中靶”.下列说法正确的是(　　)
[A] A∩B=A
[B] B与C是互斥事件
[C] C∪D=Ω
[D] B与D是互斥事件,且是对立事件
事件A为“第一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“两次都中靶”;
事件B为“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”;
事件C为“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有中靶”;
事件D为“两次都没有中靶”,故A∩B=A,B与C不是互斥事件,B与D是互斥事件,且B∪D=Ω,故是对立事件,C∪D=C≠Ω.故选AD.
12.(5分)如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=　　 　　.(用B,C,D间的运算关系式表示)
13.(16分)在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;
(2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否为互斥事件;
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}.
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),
(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}.
因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有(1,5),(2,4),
(3,3),(4,2),(5,1),即B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
所以A∩B={(1,5)},A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}.
因为A∩B={(1,5)}≠ ,A∩C={(1,4)}≠ ,B∩C= ,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,
所以A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)},
所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.10.1.2　事件的关系和运算
【课程标准要求】　1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念.
知识点一　事件的关系
关系 包含 相等
定义 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等
符号 B A(或A B) A=B
图示
知识点二　并事件与交事件
项目 并事件(或和事件) 交事件(或积事件)
定义 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
符号 A∪B(或A+B) A∩B(或AB)
图示
知识拓展
多个事件的和事件与积事件
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如:对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少有一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时
发生.
知识点三　互斥事件和对立事件
项目 互斥事件 对立事件
定义 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B= ,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为
符号 A∩B= A∪B=Ω, A∩B=
图示
互斥事件和对立事件的关系
对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.
基础自测
1.设M,N,P是三个事件,则M,N至少有一个不发生且P发生可表示为(　　)
[A] (∪)P [B] ( )P
[C] (∪)∪P [D] (NP)∪(MP)
【答案】 A
2.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为(　　)
[A] 至多有2件次品
[B] 至多有1件次品
[C] 至多有2件正品
[D] 至少有2件正品
【答案】 B
【解析】 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品.故选B.
3.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)某人射击一次,设事件A为“击中环数小于4”,事件B为“击中环数大于4”,事件C为“击中环数不小于4”,事件D为“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是(　　)
[A] A与B为对立事件
[B] B与C为互斥事件
[C] C与D为对立事件
[D] B与D为互斥事件
【答案】 D
【解析】 对于A,事件“击中环数等于4”可能发生,所以事件A与B不是对立事件;
对于B,事件B与C可能同时发生,所以事件B与C不是互斥事件;
对于C,事件“击中环数等于0”可能发生,所以事件C与D不是对立事件;
对于D,事件B:“击中环数大于4”与事件D:“击中环数大于0且小于4”,不可能同时发生,所以B与D为互斥事件.故选D.
4.甲、乙两人破译同一个密码,令甲、乙破译出密码分别为事件A,B,则B∪A表示的含义是　　　　　　　　　　　　,事件“密码被破译”可表示为　　　　　　　　.
【答案】 只有一人破译出密码　B∪A∪AB
【解析】 由题意代表甲没有破译出密码,代表乙没有破译出密码,
则B表示甲没有破译出密码同时乙破译出密码,A表示甲破译出密码同时乙没有破译出
密码,
所以B∪A表示的含义是只有一人破译出密码.
事件“密码被破译”可以分为甲没有破译出密码同时乙破译出密码或甲破译出密码同时乙没有破译出密码或甲、乙都破译出密码,所以可表示为B∪A∪AB.
题型一　事件的包含与相等
[例1] 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=“出现1点”,事件C2=“出现2点”,事件C3=“出现3点”,事件C4=“出现4点”,事件C5=“出现5点”,事件C6=“出现6点”,事件D1=“出现的点数不大于1”,事件D2=“出现的点数大于3”,事件D3=“出现的点数小于5”,事件E=“出现的点数小于7”,事件F=“出现的点数为偶数”,事件G=“出现的点数为奇数”,请根据上述定义的事件,列举出符合包含关系、相等关系的事件.
【解】 若事件C1,C2,C3,C4,D1发生,则事件D3必发生,所以C1 D3,C2 D3,C3 D3,C4 D3,D1 D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,F,G;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5,D1.易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的
关系.
[变式训练] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则(　　)
[A] A=B
[B] A B
[C] A B
[D] A与B之间没有关系
【答案】 C
【解析】 由同时抛掷两枚质地均匀的硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.故选C.
题型二　事件的交与并
[例2] 同时抛掷两枚骰子,一枚是红色的,一枚是蓝色的.已知事件A=“红骰子的点数是2”,事件B=“蓝骰子的点数是3”.
(1)写出样本空间Ω,并用样本点表示事件A,B;
(2)用集合表示A∩B,并说明其含义;
(3)用集合表示A∪B,并说明其含义.
【解】 用(i,j)表示红骰子掷出i点,蓝骰子掷出j点,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数.
(1)样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N},或Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}.
根据事件的定义,得到
A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},
B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.
(2)A∩B={(2,3)}=“红骰子是2点,蓝骰子是3点”.
(3)A∪B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}=“红骰子是2点或蓝骰子是3点”.
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
[变式训练] 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)
[A] 1,6 [B] 4,2
[C] 5,1 [D] 6,1
【答案】 C
【解析】 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4)}.
其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.
事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个.
所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个;
事件A∩B包含的样本点有(2,4),共1个.故选C.
题型三　事件的互斥与对立
[例3] 某城市举办活动,有甲、乙两种活动供市民参加,记事件A为“只参加甲活动”,事件B为“至少参加一种活动”,事件C为“至多参加一种活动”,事件D为“不参加甲活动”,事件E为“一种活动也不参加”.试判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C.
【解】 (1)由于事件C“至多参加一种活动”中,有可能“只参加甲活动”,即事件A与C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少参加一种活动”与事件E“一种活动也不参加”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件,又市民要么“至少参加一种活动”,要么“一种活动也不参加”,故B与E是对立事件.
(3)事件B“至少参加一种活动”中,有可能“只参加乙活动”,即有可能“不参加甲活动”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少参加一种活动”中,有“只参加甲活动”“只参加乙活动”“参加甲、乙两种活动”;事件C“至多参加一种活动”中,有“一种活动也不参加”“只参加甲活动”“只参加乙活动”,
由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
②若事件A与B对立,则集合A∩B= ,且A∪B=Ω.
[变式训练] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
【解】 (1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有2名男生时,“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,又它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)因为选出的是1名男生1名女生时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知事件A,B,C满足A B,B C,则下列说法不正确的是(　　)
[A] 事件A发生一定导致事件C发生
[B] 事件B发生一定导致事件C发生
[C] 事件 发生不一定导致事件 发生
[D] 事件 发生不一定导致事件 发生
【答案】 D
【解析】 由已知可得A C,如图所示,用集合表示事件A,B,C,
则A,B正确,事件 , ,则C正确,D错误.故选D.
2.打靶3次,事件Ai=“击中i次”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示(　　)
[A] 全部击中 [B] 至少击中1次
[C] 至少击中2次 [D] 全部未击中
【答案】 B
【解析】 A1∪A2∪A3表示的是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即至少击中1次.
故选B.
3.在7个除颜色外其他都相同的小球中,有3个红球,4个白球,从中任意取出3个小球,则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是(　　)
[A] 3个小球中至多有1个白球
[B] 3个小球中至多有1个红球
[C] 3个小球都是红球
[D] 3个小球都是白球
【答案】 A
【解析】 由题意知,3个小球中至少有2个白球包含的情况为2白1红、3白,
所以其对立事件包含的情况为3红、2红1白,即3个小球中至多有1个白球.故选A.
4.在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察掷出的点数”中,事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”,事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”,用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数,则事件M∩N等于(　　)
[A] {(6,6)}
[B] {(4,6),(6,6)}
[C] {(5,6),(6,6)}
[D] {(4,6),(6,4),(6,6)}
【答案】 D
【解析】 根据题意,事件M={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)},事件N={(4,6),
(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件M∩N={(4,6),(6,4),(6,6)}.
故选D.
5.(多选题)从1至9这9个自然数中任取两个数,有如下随机事件:
A=“恰有一个偶数”,B=“恰有一个奇数”,
C=“至少有一个是奇数”,D=“两个数都是偶数”,
E=“至多有一个奇数”.
下列结论正确的是(　　)
[A] A=B
[B] B C
[C] D∩E=
[D] C∩D= ,C∪D=Ω
【答案】 ABD
【解析】 事件A,B都指的是一奇一偶,故A正确;
至少有一个是奇数,指一奇一偶,或两个数都是奇数,所以B C,故B正确;
至多有一个奇数指一奇一偶,或两个数都是偶数,
此时事件D,E有公共事件,故C错误;
C,D是对立事件,所以C∩D= ,C∪D=Ω,故D正确.故选ABD.
6.如果事件A,B互斥,那么(　　)
[A] A∪B是必然事件 [B] ∪是必然事件
[C] 与一定互斥 [D] 与一定不互斥
【答案】 B
【解析】 A,B互斥,不一定是对立事件,故A不正确;
当A,B不是对立事件时,与不互斥,故C不正确;
当A,B是对立事件时,与也是对立事件,也是互斥事件,故D不正确.
另外,用集合表示方法中的Venn图来解决此题比较直观.
如图所示,∪是必然事件,故B正确.故选B.
7.(5分)在随机抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪的含义为　　　　　　　　　　,事件A∩B的含义为　 .
【答案】 出现偶数点　出现2,4点
【解析】 易知=“出现6点”,则A∪=“出现偶数点”,A∩B=“出现2,4点”.
8.(5分)某公司招聘需要通过两场笔试,设事件A=“甲第一场笔试通过”,事件B=“甲第二场笔试通过”,事件D=(A∩)∪(∩B)∪(∩)表示的含义是　　　　　　　　　　　　.
【答案】 甲至少有一场笔试未通过
【解析】 事件D=(A∩)∪(∩B)∪(∩)表示的是甲第一场笔试和第二场笔试中至少有一场笔试未通过.
9.(13分)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件 A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.
(1)用集合的形式表示事件A,B,C,D;
(2)事件B与事件C有什么关系 事件A和B的交事件与事件D有什么关系
【解】 (1)A={(红,黄,蓝)},
B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)},
C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)},
D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.
(2)由(1)可知事件B包含事件C,事件A和B的交事件与事件D互斥.
10.(14分)掷一枚正六面体骰子,下列事件:A={出现奇数点},B={出现偶数点},C={出现点数小于3},D={出现点数大于2},E={出现点数是3的倍数}.
(1)求A∩B,B∩C;
(2)求A∪B,B∪C;
(3)求,∩C,∪C,∪.
【解】 A={出现奇数点}={1,3,5},B={出现偶数点}={2,4,6},C={出现点数小于3}={1,2},D={出现点数大于2}={3,4,5,6},E={出现点数是3的倍数}={3,6}.
(1)A∩B= ,B∩C={2}.
(2)A∪B={1,2,3,4,5,6},B∪C={1,2,4,6}.
(3)由题意可知={2,4,6},={1,3,5},={1,2},={1,2,4,5},则∩C={2},∪C={1,2,3,5},∪={1,2,4,5}.
11.(多选题)某人打靶时连续射击两次,记事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,事件C为“至多一次中靶”,事件D为“两次都没有中靶”.下列说法正确的是(　　)
[A] A∩B=A
[B] B与C是互斥事件
[C] C∪D=Ω
[D] B与D是互斥事件,且是对立事件
【答案】 AD
【解析】 由题意可知,事件Ω为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”.
事件A为“第一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“两次都中靶”;
事件B为“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”;
事件C为“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有中靶”;
事件D为“两次都没有中靶”,故A∩B=A,B与C不是互斥事件,B与D是互斥事件,且B∪D=Ω,故是对立事件,C∪D=C≠Ω.故选AD.
12.(5分)如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=　　 　　.(用B,C,D间的运算关系式表示)
【答案】 (BC)∪(BD)或B∩(C∪D)　
【解析】 要使电灯变亮,则开关Ⅰ必须闭合,且开关Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合,即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”,用符号表示为B∩(C∪D);也可分类讨论,即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合,即事件BC发生或事件BD发生,用符号表示为(BC)∪(BD)或B∩(C∪D).
13.(16分)在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;
(2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否为互斥事件;
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
【解】 试验E的样本空间为
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}.
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),
(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}.
因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有(1,5),(2,4),
(3,3),(4,2),(5,1),即B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
所以A∩B={(1,5)},A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}.
因为A∩B={(1,5)}≠ ,A∩C={(1,4)}≠ ,B∩C= ,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,
所以A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)},
所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.(共33张PPT)
10.1.2　事件的关系和运算
1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　事件的关系
关系 包含 相等
定义 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等
符号 B A(或A B) A=B
图示
知识点二　并事件与交事件
项目 并事件(或和事件) 交事件(或积事件)
定义 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
符号 A∪B(或A+B) A∩B(或AB)
图示
『知识拓展』
多个事件的和事件与积事件
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如:对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少有一个发生,A∩B∩C
(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
知识点三　互斥事件和对立事件
·温馨提示·
互斥事件和对立事件的关系
对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.
基础自测
1.设M,N,P是三个事件,则M,N至少有一个不发生且P发生可表示为(　　)
A
2.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为(　　)
[A] 至多有2件次品
[B] 至多有1件次品
[C] 至多有2件正品
[D] 至少有2件正品
B
【解析】 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品.故选B.
3.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)某人射击一次,设事件A为“击中环数小于4”,事件B为“击中环数大于4”,事件C为“击中环数不小于4”,事件D为“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是(　　)
[A] A与B为对立事件
[B] B与C为互斥事件
[C] C与D为对立事件
[D] B与D为互斥事件
D
【解析】 对于A,事件“击中环数等于4”可能发生,所以事件A与B不是对立事件;
对于B,事件B与C可能同时发生,所以事件B与C不是互斥事件;
对于C,事件“击中环数等于0”可能发生,所以事件C与D不是对立事件;
对于D,事件B:“击中环数大于4”与事件D:“击中环数大于0且小于4”,不可能同时发生,所以B与D为互斥事件.故选D.
只有一人破译出密码
关键能力·素养培优
题型一　事件的包含与相等
[例1] 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=“出现1点”,事件C2=“出现2点”,事件C3=“出现3点”,事件C4=“出现4点”,事件C5=“出现5点”,事件C6=“出现6点”,事件D1=“出现的点数不大于1”,事件D2=“出现的点数大于3”,事件D3=“出现的点数小于5”,事件E=“出现的点数小于7”,事件F=“出现的点数为偶数”,事件G=“出现的点数为奇数”,请根据上述定义的事件,列举出符合包含关系、相等关系的事件.
【解】 若事件C1,C2,C3,C4,D1发生,则事件D3必发生,所以C1 D3,C2 D3,
C3 D3,C4 D3,D1 D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,F,G;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5,D1.易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
·解题策略·
事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系.
[变式训练] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则(　　)
[A] A=B
[B] A B
[C] A B
[D] A与B之间没有关系
C
【解析】 由同时抛掷两枚质地均匀的硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),
(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.故选C.
[例2] 同时抛掷两枚骰子,一枚是红色的,一枚是蓝色的.已知事件A=“红骰子的点数是2”,事件B=“蓝骰子的点数是3”.
(1)写出样本空间Ω,并用样本点表示事件A,B;
题型二　事件的交与并
【解】 用(i,j)表示红骰子掷出i点,蓝骰子掷出j点,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数.
(1)样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N},或Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}.
根据事件的定义,得到
A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},
B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.
(2)用集合表示A∩B,并说明其含义;
【解】 (2)A∩B={(2,3)}=“红骰子是2点,蓝骰子是3点”.
(3)用集合表示A∪B,并说明其含义.
【解】(3)A∪B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}=
“红骰子是2点或蓝骰子是3点”.
·解题策略·
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
[变式训练] 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)
[A] 1,6 [B] 4,2
[C] 5,1 [D] 6,1
C
【解析】 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.
事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个.
所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个;
事件A∩B包含的样本点有(2,4),共1个.故选C.
题型三　事件的互斥与对立
[例3] 某城市举办活动,有甲、乙两种活动供市民参加,记事件A为“只参加甲活动”,事件B为“至少参加一种活动”,事件C为“至多参加一种活动”,事件D为“不参加甲活动”,事件E为“一种活动也不参加”.试判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;
【解】 (1)由于事件C“至多参加一种活动”中,有可能“只参加甲活动”,即事件A与C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)B与E;
【解】 (2)事件B“至少参加一种活动”与事件E“一种活动也不参加”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件,又市民要么“至少参加一种活动”,要么“一种活动也不参加”,故B与E是对立事件.
(3)B与D;
【解】 (3)事件B“至少参加一种活动”中,有可能“只参加乙活动”,即有可能“不参加甲活动”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)B与C.
【解】 (4)事件B“至少参加一种活动”中,有“只参加甲活动”“只参加乙活动”
“参加甲、乙两种活动”;事件C“至多参加一种活动”中,有“一种活动也不参加”“只参加甲活动”“只参加乙活动”,
由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
·解题策略·
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
②若事件A与B对立,则集合A∩B= ,且A∪B=Ω.
[变式训练] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
【解】 (1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)至少有1名男生与全是男生;
【解】 (2)因为恰有2名男生时,“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)至少有1名男生与全是女生;
【解】 (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,又它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
【解】 (4)因为选出的是1名男生1名女生时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
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