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10.1.3　古典概型
【课程标准要求】　1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
知识点一　随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
知识点二　古典概型
一般地,若试验E具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但不等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.
知识点三　古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
基础自测
1.下列概率模型中,是古典概型的个数为(　　)
①从1～10中随机选择一个整数,求取到3的概率;
②在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
③抛掷一枚质地不均匀的骰子,求出现的点数为6的概率.
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 0
【答案】 A
【解析】 ①满足有限性和等可能性,是古典概型;②不满足有限性;③不满足等可能性.故选A.
2.(人教A版必修第二册P241练习T3改编)用1,2,3组成无重复数字的三位数,组成的数能被2整除的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 用1,2,3组成无重复数字的三位数共6个,分别为123,132,213,231,312,321,其中能被2整除的有132,312这2个数,故能被2整除的概率为.故选C.
3.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 记3名男同学分别为A1,A2,A3,2名女同学分别为B1,B2,从5名同学中任选2名的结果有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10个,
选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,
A3B2,B1B2,共7个,
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.故选B.
4.在一个不透明的袋子中,装有若干个大小相同、颜色不全相同的小球,若袋中有2个红球,且从袋中任取1个球,取到红球的概率为,则袋中球的总个数为(　　)
[A] 5 [B] 8
[C] 10 [D] 12
【答案】 C
【解析】 设袋中球的总个数为n,由题意可得=,解得n=10,经检验n=10符合题意.故选C.
题型一　古典概型的判断
[例1] 下列试验中,是古典概型的是(　　)
[A] 某人射击,中靶或不中靶
[B] 在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
[C] 四名同学用抽签法选一人参加会议
[D] 从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
【答案】 C
【解析】 古典概型特征:有限性及等可能性,
A不满足等可能性;B不满足有限性;C满足有限性及等可能性;D区间[1,10]上所有实数是无限的,不满足有限性.故选C.
判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.
[变式训练] 下列试验中不是古典概型的是(　　)
[A] 在6个完全相同的小球中任取1个
[B] 任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
[C] 已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个球,观察球的颜色
[D] 从甲地到乙地共有n条长短不同的路线,求某人正好选中最短路线的概率
【答案】 B
【解析】 对于A,在6个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且该试验包含的样本点有6个,故A是古典概型;
对于B,由于点数之和出现的可能性不相等,故B不是古典概型;
对于C,该试验满足古典概型的有限性和等可能性,故C是古典概型;
对于D,满足古典概型的有限性和等可能性,故D是古典概型.故选B.
题型二　古典概型的概率计算
[例2] (苏教版必修第二册P280例1)一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球、2个黑球,“从中一次摸出2个球,结果都是白球”记为事件A,求P(A).
【解】 分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,样本点(1,2)表示“摸到1,2号球”(余类推),则样本空间Ω为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
A={(1,2),(1,3),(2,3)}.
因此,P(A)==.
计算古典概型概率的步骤
(1)算出样本点的总个数n.
(2)求出事件A所包含的样本点个数k.
(3)代入公式求出概率P(A).
[变式训练] 在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球,已知袋中有红球5个,黑球m个,从袋中随机摸出一个红球的概率是,则m的值为　　　　.
【答案】 10　
【解析】 根据题意,从袋中随机摸出一个红球的概率是P==,所以m=10.
题型三　较复杂古典概型的概率问题
[例3] (人教B版必修第二册P110例5)先后掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:点数之和为7,B:至少出现一个3点,求P(A),P(),P(B),P(AB).
【解】 用数对(x,y)来表示抛掷结果,则样本空间可记为Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},
而且样本空间可用图直观表示.样本空间中共包含 36个样本点.不难看出,
A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},A包含6个样本点(即图中①框中的点),
因此P(A)==.
由对立事件概率之间的关系可知
P()=1-P(A)=1-=.
类似地,可以看出,图中②③框中的点可以代表事件B,因此B包含11个样本点,
从而P(B)=.
不难知道,AB={(4,3),(3,4)},
因此P(AB)==.
在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得更形象、直观、方便.
[变式训练] 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
【解】 (1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其所有可能的结果有(A1,A2),(A1,A3),
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),
(B2,B3),共15个.
事件所选2个国家都是亚洲国家所包含的可能结果有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个,
则所求事件的概率为=.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共9个.
事件包括A1但不包括B1所包含的可能结果有(A1,B2),(A1,B3),共2个,则所求事件的概率为.
培优拓展5　古典概型的应用
　　在解决这类问题时,首先要正确审题,理解样本点与事件的关系,求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做到不重不漏,对于用直接方法难以解决的问题,可以先求其对立事件的概率,再求所求概率.
题型一　列举法解决古典概型问题
[例1] 在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球,其中蓝球、红球各2个,黄球1个,从中随机摸出2个球.
(1)若采用放回简单随机抽样,求恰好摸到一个红球的概率;
(2)若采用不放回简单随机抽样,求取出的球颜色相同的概率.
【解】 (1)将两个蓝球编号为1,2,两个红球编号为3,4,一个黄球编号为5,若采用放回简单随机抽样,如下表(√表示恰好摸到一个红球,×不是恰好摸到一个红球)共有25个样本点,恰好摸到一个红球有12个样本点,
项目 1 2 3 4 5
1 × × √ √ ×
2 × × √ √ ×
3 √ √ × × √
4 √ √ × × √
5 × × √ √ ×
所以恰好摸到一个红球的概率P1=.
(2)若采用不放回简单随机抽样,不考虑顺序,则有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),
(3,5),(4,5),共10个样本点,
取出的球颜色相同的有(1,2),(3,4),共2个样本点,
所以取出的球颜色相同的概率P2==.
[变式训练] 甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C,D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I,如图所示.现要从3个盒子中各随机取出1张卡片.求:
(1)取出的3张卡片中恰有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少
【解】 根据题意,可画出如图所示的树状图.
由树状图可以得到,所有可能出现的样本点共有12个,它们出现的可能性相等.
(1)只有一张写有元音字母的样本点有5个,
所以P(1张写有元音字母)=;
有两张写有元音字母的样本点有4个,
所以P(2张写有元音字母)==;
三张全是元音字母的样本点有1个,
所以P(3张写有元音字母)=.
(2)三张全是辅音字母的样本点有2个,
所以P(全是辅音字母)==.
题型二　古典概型与统计的结合
[例2] 某部门对同时从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用比例分配的分层随机抽样方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 甲 乙 丙
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自甲、乙、丙三个地区的商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往某机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
【解】 (1)因为用比例分配的分层随机抽样抽取,所以3层的比例为50∶150∶100=1∶3∶2,
所以6×=1(件),6×=3(件),
6×=2(件),
所以甲、乙、丙三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自甲、乙、丙三个地区的样品分别为A1,B1,B2,B3,C1,C2,则此试验的样本空间
Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,
C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)},n(Ω)=15.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点出现的可能性相等.
设事件D=“抽取的这2件商品来自相同地区”,
则D={(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2)},
所以n(D)=4,
从而P(D)==,
即这2件商品来自相同地区的概率为.
[变式训练] 垃圾分类是改善环境,节约资源的新举措.某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试,将所得测试成绩整理后,分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100],绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计测试的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)学校要求对60分以下的同学进行再次考试,现按比例分配的分层随机抽样的方法在成绩为[50,70)的同学中抽取5名,再从这5名同学中抽取2人,求这2人中至少有1人需要再次考试的概率.
【解】 (1)由题意得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,
解得a=0.005,
估计平均成绩为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5.
(2)由题意知抽取的5人中,成绩在[50,60)内的有 2人,记为a,b;成绩在[60,70)内的有3人,记为A,B,C.
随机试验的所有可能结果有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10个,其中这2人中至少有1人需要再次考试的结果有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,共7个.
所以所求概率为P=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.(多选题)下列有关古典概型的说法正确的是(　　)
[A] 试验的样本空间的样本点总数有限
[B] 每个事件出现的可能性相等
[C] 每个样本点出现的可能性相等
[D] 已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
【答案】 ACD
【解析】 由古典概型特征可知,试验的样本空间的样本点总数有限,每个样本点出现的可能性相等,故A,C正确;每个事件不一定只有一个样本点,可能包含若干个样本点,所以B不正确;根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选ACD.
2.不透明的袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 从袋中任取一球,有15个样本点,其中取到白球的样本点有6个,则所求概率为P==.故选A.
3.一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节六个节气,如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四名同学接到绘制二十四节气的彩绘任务,现四名同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘,在制签抽签公平的前提下,甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制,共有四个样本点,甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点,故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为.故选B.
4.现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入一个不透明的盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“1”,一张为“2”的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 从盒子中依次有放回地取出两张卡片,取出的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种.
满足一张为“1”,一张为“2”的取法为(1,2),(2,1),共2种情况,所以所求的概率P=.故选C.
5.某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本,由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣,该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本,使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6,则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍(　　)
[A] 25本 [B] 30本 [C] 35本 [D] 40本
【答案】 C
【解析】 设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本,
则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共(40+x)本,
从中任取1本有(40+x)种取法,《牡丹亭》戏曲书籍共(10+x)本,
从中任取1本《牡丹亭》戏曲书籍有(10+x)种取法,从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本,
能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为P=,
根据题意可得P=≥0.6,解得x≥35,
即该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍35本.
故选C.
6.在一个不透明的袋子里装有四个小球,小球上分别标有4,5,6,7四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足≤1,那么就称甲、乙两人“心心相印”,则两人“心心相印”的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 样本空间为{(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7),(7,4),
(7,5),(7,6),(7,7)}共16种情况.m,n满足|m-n|≤1有10种情况,两人“心心相印”的概率是=.
故选D.
7.(5分)从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数字,组成一个两位数,则该“两位数大于41”的概率是　　　　.
【答案】 　
【解析】 任意取出两个不同的数字,每个样本点出现的可能性相同,属于古典概型,试验的样本空间Ω={12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54},设A表示“两位数大于41”,则A={42,43,45,51,52,53,54},故P(A)=.
8.(5分)将一颗质地均匀的骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为　　　　.
【答案】 　
【解析】 因为试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n=1,2,3,4,5,6},所以n(Ω)=36,满足条件的事件是向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0,所以n=3m,
满足这种条件的样本点有(1,3),(2,6),共2个,
所以向量p与q共线的概率为P==.
9.(13分)从由数字1,2,3,4构成的两位数中抽取一个,求:
(1)所抽到的数为偶数的概率;
(2)所抽到的数为3的倍数的概率;
(3)所抽到的数的个位和十位不相同的概率.
【解】 数字1,2,3,4构成的两位数有11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44,共16个.
(1)偶数有12,14,22,24,32,34,42,44,共8个,所以抽到的数为偶数的概率为=.
(2)3的倍数有12,21,24,33,42,共5个,所以抽到的数为3的倍数的概率为.
(3)个位和十位相同的数有11,22,33,44,共4个,所以个位和十位不相同的数有12个,所以抽到的数的个位和十位不相同的概率为=.
10.(14分)有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
【解】 将A,B,C,D四位贵宾就座情况按从左至右排席位,依次是a,b,c,d席位,如图所示.
由图可知,样本点共有24个.
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M只包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点(即图中标记为“○”的情形),所以P(N)==.
(3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点(即图中标记为“√”的情形),所以P(S)==.
11.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条,这3条线段不能构成一个三角形的概率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 取出3条线段的情况有(2,3,5),(2,3,7),(2,3,11),(2,5,7),(2,5,11),(2,7,11),(3,5,7),
(3,5,11),(3,7,11),(5,7,11),共10种,
不能构成三角形的有(2,3,5),(2,3,7),(2,3,11),(2,5,7),(2,5,11),(2,7,11),(3,5,11),(3,7,11),共8个,故所求概率P==.故选D.
12.(多选题)5张奖券中有2张是有奖的,甲先抽取一张,然后乙抽取一张,则下列结论正确的是(　　)
[A] 甲中奖的概率P(A)=
[B] 乙中奖的概率P(B)=
[C] 只有乙中奖的概率P(C)=
[D] 甲、乙都中奖的概率P(D)=
【答案】 AD
【解析】 设有奖的奖券编号为1,2,没有奖的奖券编号为3,4,5,用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是甲抽到的编号,x2是乙抽到的编号,则随机试验的样本空间为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个样本点,
事件甲中奖包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),共8个样本点,所以事件甲中奖的概率P(A)==,故A正确;
事件乙中奖包含(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共8个样本点,所以事件乙中奖的概率P(B)==,故B错误;
事件只有乙中奖包含(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共6个样本点,所以事件只有乙中奖的概率P(C)==,故C错误;
事件甲、乙都中奖包含(1,2),(2,1),共2个样本点,所以事件甲、乙都中奖的概率P(D)==,故D正确.故选AD.
13.(16分)春节假期,我国高速公路继续执行节假日高速免费政策.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点发现大年初三上午9:20～10:40这一时间段内有600辆车通过,将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9:20～9:40记作区间[20,40),9:40～10:00记作[40,60),10:00～10:20记作[60,80),10:20～10:40记作[80,100],例如:
10点04分,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)为了对数据进行分析,现用比例分配的分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取5辆,再从这5辆车中随机抽取3辆,则恰有1辆为 9:20～10:00之间通过的概率是多少
【解】 (1)这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均数约为30×0.005×20+50×0.015×20+70×0.020×20+90×0.010×20=64.
(2)由题意知,[20,60)内抽取车辆数为 5×(0.005×20+0.015×20)=2,分别记为a1,a2,[60,80)内抽取车辆数为5×0.020×20=2,分别记为b1,b2,[80,100]内抽取车辆数为5×0.010×20=1,记为c,
所以从这5辆车中随机抽取3辆的情况有(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,c),(a1,b1,b2),(a1,b1,c),
(a1,b2,c),(a2,b1,b2),(a2,b1,c),(a2,b2,c),(b1,b2,c),共10个,
恰有1辆为9:20～10:00之间通过的情况有(a1,b1,b2),(a1,b1,c),(a1,b2,c),(a2,b1,b2),(a2,b1,c),(a2,b2,c),共6个,所以恰有1辆为9:20～10:00之间通过的概率P==.(共40张PPT)
10.1.3　古典概型
1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　随机事件的概率
对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用 表示.
知识点二　古典概型
一般地,若试验E具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有 ;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性 .
称试验E为古典概型试验,其数学模型称为 模型,简称 .
可能性大小
P(A)
有限个
相等
古典概率
古典概型
·温馨提示·
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但不等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.
知识点三　古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的
k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .
基础自测
1.下列概率模型中,是古典概型的个数为(　　)
①从1～10中随机选择一个整数,求取到3的概率;
②在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
③抛掷一枚质地不均匀的骰子,求出现的点数为6的概率.
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 0
A
【解析】 ①满足有限性和等可能性,是古典概型;②不满足有限性;③不满足等可能性.故选A.
2.(人教A版必修第二册P241练习T3改编)用1,2,3组成无重复数字的三位数,组成的数能被2整除的概率是(　　)
C
3.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是(　　)
B
【解析】 记3名男同学分别为A1,A2,A3,2名女同学分别为B1,B2,从5名同学中任选2名的结果有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10个,
选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有A1B1,A1B2,A2B1,
A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共7个,
[A] 5 [B] 8
[C] 10 [D] 12
C
关键能力·素养培优
题型一　古典概型的判断
[例1] 下列试验中,是古典概型的是(　　)
[A] 某人射击,中靶或不中靶
[B] 在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
[C] 四名同学用抽签法选一人参加会议
[D] 从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
C
【解析】 古典概型特征:有限性及等可能性,
A不满足等可能性;B不满足有限性;C满足有限性及等可能性;D区间[1,10]上所有实数是无限的,不满足有限性.故选C.
·解题策略·
判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.
[变式训练] 下列试验中不是古典概型的是(　　)
[A] 在6个完全相同的小球中任取1个
[B] 任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
[C] 已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个球,观察球的颜色
[D] 从甲地到乙地共有n条长短不同的路线,求某人正好选中最短路线的概率
B
【解析】 对于A,在6个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且该试验包含的样本点有6个,故A是古典概型;
对于B,由于点数之和出现的可能性不相等,故B不是古典概型;
对于C,该试验满足古典概型的有限性和等可能性,故C是古典概型;
对于D,满足古典概型的有限性和等可能性,故D是古典概型.故选B.
[例2] (苏教版必修第二册P280例1)一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球、2个黑球,“从中一次摸出2个球,结果都是白球”记为事件A,求P(A).
题型二　古典概型的概率计算
【解】 分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,样本点(1,2)表示“摸到1,2号球”(余类推),则样本空间Ω为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
A={(1,2),(1,3),(2,3)}.
·解题策略·
计算古典概型概率的步骤
(1)算出样本点的总个数n.
(2)求出事件A所包含的样本点个数k.
(3)代入公式求出概率P(A).
10
题型三　较复杂古典概型的概率问题
【解】 用数对(x,y)来表示抛掷结果,则样本空间可记为Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},
而且样本空间可用图直观表示.样本空间中共包含 36个样本点.不难看出,
·解题策略·
在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得更形象、直观、方便.
[变式训练] 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,
B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
【解】 (1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其所有可能的结果有(A1,A2),
(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共15个.
事件所选2个国家都是亚洲国家所包含的可能结果有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个,
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
培优拓展5　古典概型的应用
在解决这类问题时,首先要正确审题,理解样本点与事件的关系,求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做到不重不漏,对于用直接方法难以解决的问题,可以先求其对立事件的概率,再求所求概率.
题型一　列举法解决古典概型问题
[例1] 在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球,其中蓝球、红球各2个,黄球1个,从中随机摸出2个球.
(1)若采用放回简单随机抽样,求恰好摸到一个红球的概率;
【解】 (1)将两个蓝球编号为1,2,两个红球编号为3,4,一个黄球编号为5,若采用放回简单随机抽样,如下表(√表示恰好摸到一个红球,×不是恰好摸到一个红球)共有25个样本点,恰好摸到一个红球有12个样本点,
项目 1 2 3 4 5
1 × × √ √ ×
2 × × √ √ ×
3 √ √ × × √
4 √ √ × × √
5 × × √ √ ×
(2)若采用不放回简单随机抽样,求取出的球颜色相同的概率.
[变式训练] 甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C,D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I,如图所示.现要从3个盒子中各随机取出1张卡片.求:
(1)取出的3张卡片中恰有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少
【解】 根据题意,可画出如图所示的树状图.
由树状图可以得到,所有可能出现的样本点共有12个,它们出现的可能性相等.
(1)只有一张写有元音字母的样本点有5个,
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少
题型二　古典概型与统计的结合
[例2] 某部门对同时从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用比例分配的分层随机抽样方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 甲 乙 丙
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自甲、乙、丙三个地区的商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往某机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
【解】 (2)设6件来自甲、乙、丙三个地区的样品分别为A1,B1,B2,B3,C1,C2,则此试验的样本空间
Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),
(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)},n(Ω)=15.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点出现的可能性相等.
设事件D=“抽取的这2件商品来自相同地区”,
则D={(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2)},
[变式训练] 垃圾分类是改善环境,节约资源的新举措.某中学对学生开展了
“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试,将所得测试成绩整理后,分成5组:
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计测试的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
【解】 (1)由题意得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,
解得a=0.005,
估计平均成绩为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5.
(2)学校要求对60分以下的同学进行再次考试,现按比例分配的分层随机抽样的方法在成绩为[50,70)的同学中抽取5名,再从这5名同学中抽取2人,求这2人中至少有1人需要再次考试的概率.
【解】 (2)由题意知抽取的5人中,成绩在[50,60)内的有 2人,记为a,b;成绩在[60,70)内的有3人,记为A,B,C.
随机试验的所有可能结果有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10个,其中这2人中至少有1人需要再次考试的结果有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,共7个.
感谢观看10.1.3　古典概型
【课程标准要求】　1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
知识点一　随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
知识点二　古典概型
一般地,若试验E具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但不等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.
知识点三　古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
基础自测
1.下列概率模型中,是古典概型的个数为(　　)
①从1～10中随机选择一个整数,求取到3的概率;
②在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
③抛掷一枚质地不均匀的骰子,求出现的点数为6的概率.
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 0
2.(人教A版必修第二册P241练习T3改编)用1,2,3组成无重复数字的三位数,组成的数能被2整除的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,
A3B2,B1B2,共7个,
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.故选B.
4.在一个不透明的袋子中,装有若干个大小相同、颜色不全相同的小球,若袋中有2个红球,且从袋中任取1个球,取到红球的概率为,则袋中球的总个数为(　　)
[A] 5 [B] 8
[C] 10 [D] 12
题型一　古典概型的判断
[例1] 下列试验中,是古典概型的是(　　)
[A] 某人射击,中靶或不中靶
[B] 在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
[C] 四名同学用抽签法选一人参加会议
[D] 从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
A不满足等可能性;B不满足有限性;C满足有限性及等可能性;D区间[1,10]上所有实数是无限的,不满足有限性.故选C.
判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.
[变式训练] 下列试验中不是古典概型的是(　　)
[A] 在6个完全相同的小球中任取1个
[B] 任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
[C] 已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个球,观察球的颜色
[D] 从甲地到乙地共有n条长短不同的路线,求某人正好选中最短路线的概率
对于B,由于点数之和出现的可能性不相等,故B不是古典概型;
对于C,该试验满足古典概型的有限性和等可能性,故C是古典概型;
对于D,满足古典概型的有限性和等可能性,故D是古典概型.故选B.
题型二　古典概型的概率计算
[例2] (苏教版必修第二册P280例1)一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球、2个黑球,“从中一次摸出2个球,结果都是白球”记为事件A,求P(A).
A={(1,2),(1,3),(2,3)}.
因此,P(A)==.
计算古典概型概率的步骤
(1)算出样本点的总个数n.
(2)求出事件A所包含的样本点个数k.
(3)代入公式求出概率P(A).
[变式训练] 在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球,已知袋中有红球5个,黑球m个,从袋中随机摸出一个红球的概率是,则m的值为　　　　.
题型三　较复杂古典概型的概率问题
[例3] (人教B版必修第二册P110例5)先后掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:点数之和为7,B:至少出现一个3点,求P(A),P(),P(B),P(AB).
而且样本空间可用图直观表示.样本空间中共包含 36个样本点.不难看出,
A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},A包含6个样本点(即图中①框中的点),
因此P(A)==.
由对立事件概率之间的关系可知
P()=1-P(A)=1-=.
类似地,可以看出,图中②③框中的点可以代表事件B,因此B包含11个样本点,
从而P(B)=.
不难知道,AB={(4,3),(3,4)},
因此P(AB)==.
在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得更形象、直观、方便.
[变式训练] 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),
(B2,B3),共15个.
事件所选2个国家都是亚洲国家所包含的可能结果有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个,
则所求事件的概率为=.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共9个.
事件包括A1但不包括B1所包含的可能结果有(A1,B2),(A1,B3),共2个,则所求事件的概率为.
培优拓展5　古典概型的应用
　　在解决这类问题时,首先要正确审题,理解样本点与事件的关系,求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做到不重不漏,对于用直接方法难以解决的问题,可以先求其对立事件的概率,再求所求概率.
题型一　列举法解决古典概型问题
[例1] 在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球,其中蓝球、红球各2个,黄球1个,从中随机摸出2个球.
(1)若采用放回简单随机抽样,求恰好摸到一个红球的概率;
(2)若采用不放回简单随机抽样,求取出的球颜色相同的概率.
项目 1 2 3 4 5
1 × × √ √ ×
2 × × √ √ ×
3 √ √ × × √
4 √ √ × × √
5 × × √ √ ×
所以恰好摸到一个红球的概率P1=.
(2)若采用不放回简单随机抽样,不考虑顺序,则有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),
(3,5),(4,5),共10个样本点,
取出的球颜色相同的有(1,2),(3,4),共2个样本点,
所以取出的球颜色相同的概率P2==.
[变式训练] 甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C,D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I,如图所示.现要从3个盒子中各随机取出1张卡片.求:
(1)取出的3张卡片中恰有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少
由树状图可以得到,所有可能出现的样本点共有12个,它们出现的可能性相等.
(1)只有一张写有元音字母的样本点有5个,
所以P(1张写有元音字母)=;
有两张写有元音字母的样本点有4个,
所以P(2张写有元音字母)==;
三张全是元音字母的样本点有1个,
所以P(3张写有元音字母)=.
(2)三张全是辅音字母的样本点有2个,
所以P(全是辅音字母)==.
题型二　古典概型与统计的结合
[例2] 某部门对同时从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用比例分配的分层随机抽样方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 甲 乙 丙
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自甲、乙、丙三个地区的商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往某机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
所以6×=1(件),6×=3(件),
6×=2(件),
所以甲、乙、丙三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自甲、乙、丙三个地区的样品分别为A1,B1,B2,B3,C1,C2,则此试验的样本空间
Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,
C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)},n(Ω)=15.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点出现的可能性相等.
设事件D=“抽取的这2件商品来自相同地区”,
则D={(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2)},
所以n(D)=4,
从而P(D)==,
即这2件商品来自相同地区的概率为.
[变式训练] 垃圾分类是改善环境,节约资源的新举措.某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试,将所得测试成绩整理后,分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100],绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计测试的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)学校要求对60分以下的同学进行再次考试,现按比例分配的分层随机抽样的方法在成绩为[50,70)的同学中抽取5名,再从这5名同学中抽取2人,求这2人中至少有1人需要再次考试的概率.
解得a=0.005,
估计平均成绩为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5.
(2)由题意知抽取的5人中,成绩在[50,60)内的有 2人,记为a,b;成绩在[60,70)内的有3人,记为A,B,C.
随机试验的所有可能结果有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10个,其中这2人中至少有1人需要再次考试的结果有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,共7个.
所以所求概率为P=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.(多选题)下列有关古典概型的说法正确的是(　　)
[A] 试验的样本空间的样本点总数有限
[B] 每个事件出现的可能性相等
[C] 每个样本点出现的可能性相等
[D] 已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.不透明的袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节六个节气,如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四名同学接到绘制二十四节气的彩绘任务,现四名同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘,在制签抽签公平的前提下,甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入一个不透明的盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“1”,一张为“2”的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种.
满足一张为“1”,一张为“2”的取法为(1,2),(2,1),共2种情况,所以所求的概率P=.故选C.
5.某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本,由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣,该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本,使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6,则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍(　　)
[A] 25本 [B] 30本 [C] 35本 [D] 40本
则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共(40+x)本,
从中任取1本有(40+x)种取法,《牡丹亭》戏曲书籍共(10+x)本,
从中任取1本《牡丹亭》戏曲书籍有(10+x)种取法,从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本,
能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为P=,
根据题意可得P=≥0.6,解得x≥35,
即该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍35本.
故选C.
6.在一个不透明的袋子里装有四个小球,小球上分别标有4,5,6,7四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足≤1,那么就称甲、乙两人“心心相印”,则两人“心心相印”的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
(7,5),(7,6),(7,7)}共16种情况.m,n满足|m-n|≤1有10种情况,两人“心心相印”的概率是=.
故选D.
7.(5分)从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数字,组成一个两位数,则该“两位数大于41”的概率是　　　　.
8.(5分)将一颗质地均匀的骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为　　　　.
满足这种条件的样本点有(1,3),(2,6),共2个,
所以向量p与q共线的概率为P==.
9.(13分)从由数字1,2,3,4构成的两位数中抽取一个,求:
(1)所抽到的数为偶数的概率;
(2)所抽到的数为3的倍数的概率;
(3)所抽到的数的个位和十位不相同的概率.
(1)偶数有12,14,22,24,32,34,42,44,共8个,所以抽到的数为偶数的概率为=.
(2)3的倍数有12,21,24,33,42,共5个,所以抽到的数为3的倍数的概率为.
(3)个位和十位相同的数有11,22,33,44,共4个,所以个位和十位不相同的数有12个,所以抽到的数的个位和十位不相同的概率为=.
10.(14分)有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
由图可知,样本点共有24个.
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M只包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点(即图中标记为“○”的情形),所以P(N)==.
(3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点(即图中标记为“√”的情形),所以P(S)==.
11.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条,这3条线段不能构成一个三角形的概率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(3,5,11),(3,7,11),(5,7,11),共10种,
不能构成三角形的有(2,3,5),(2,3,7),(2,3,11),(2,5,7),(2,5,11),(2,7,11),(3,5,11),(3,7,11),共8个,故所求概率P==.故选D.
12.(多选题)5张奖券中有2张是有奖的,甲先抽取一张,然后乙抽取一张,则下列结论正确的是(　　)
[A] 甲中奖的概率P(A)=
[B] 乙中奖的概率P(B)=
[C] 只有乙中奖的概率P(C)=
[D] 甲、乙都中奖的概率P(D)=
(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个样本点,
事件甲中奖包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),共8个样本点,所以事件甲中奖的概率P(A)==,故A正确;
事件乙中奖包含(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共8个样本点,所以事件乙中奖的概率P(B)==,故B错误;
事件只有乙中奖包含(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共6个样本点,所以事件只有乙中奖的概率P(C)==,故C错误;
事件甲、乙都中奖包含(1,2),(2,1),共2个样本点,所以事件甲、乙都中奖的概率P(D)==,故D正确.故选AD.
13.(16分)春节假期,我国高速公路继续执行节假日高速免费政策.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点发现大年初三上午9:20～10:40这一时间段内有600辆车通过,将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9:20～9:40记作区间[20,40),9:40～10:00记作[40,60),10:00～10:20记作[60,80),10:20～10:40记作[80,100],例如:
10点04分,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)为了对数据进行分析,现用比例分配的分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取5辆,再从这5辆车中随机抽取3辆,则恰有1辆为 9:20～10:00之间通过的概率是多少
(2)由题意知,[20,60)内抽取车辆数为 5×(0.005×20+0.015×20)=2,分别记为a1,a2,[60,80)内抽取车辆数为5×0.020×20=2,分别记为b1,b2,[80,100]内抽取车辆数为5×0.010×20=1,记为c,
所以从这5辆车中随机抽取3辆的情况有(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,c),(a1,b1,b2),(a1,b1,c),
(a1,b2,c),(a2,b1,b2),(a2,b1,c),(a2,b2,c),(b1,b2,c),共10个,
恰有1辆为9:20～10:00之间通过的情况有(a1,b1,b2),(a1,b1,c),(a1,b2,c),(a2,b1,b2),(a2,b1,c),(a2,b2,c),共6个,所以恰有1辆为9:20～10:00之间通过的概率P==.

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