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(共31张PPT)
10.1.4　概率的基本性质
1.理解概率的基本性质,会利用概率的基本性质解决简单问题.2.类比函数性质的研究内容和方法,提出概率基本性质的研究内容和方法.3.经历具体实例的探究过程,归纳出概率的基本性质,提升逻辑推理素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　概率的性质
一般地,概率有如下性质:
性质1:对任意的事件A,都有P(A) 0.
性质2:必然事件的概率为 ,不可能事件的概率为 ,即P(Ω)= ,P( )= .
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+
P(Am).
≥
1
0
1
0
P(A)+P(B)
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= .
性质5:如果A B,那么P(A) P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=
.
1-P(A)
1-P(B)
≤
P(A)+P(B)-
P(A∩B)
·疑难解惑·
对概率性质的理解
(1)在同一试验中,对任意两个事件A,B,只有A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
(2)对于任意事件A,事件A的概率的范围是0≤P(A)≤1.
基础自测
1.在一个试验中,若P(A+B)=P(A)+P(B)=1,事件A与事件B的关系是(　　)
[A] 互斥不对立 [B] 对立不互斥
[C] 互斥且对立 [D] 以上答案都不对
C
C
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)
D
关键能力·素养培优
题型一　概率的基本性质
D
·解题策略·
(1)求解与概率中的参数有关的问题,首先应明确概率的范围是P(A)∈[0,1],而对于多个含有相同参数的概率的问题,要同时满足这一条件.
(2)由于本例中随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不为0,因此概率的范围是(0,1).
[变式训练] 已知事件A与事件B是互斥事件,A,B发生的概率均不为0,则(　　)
D
[例2] 一名射箭运动员在一次射箭中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环(最高环数)的概率.
题型二　互斥事件与对立事件概率公式的应用
【解】 将该射箭运动员在一次射箭中“命中10环或9环”记为事件A,将其“命中10环”“命中9环”“命中8环”“命中不够8环”分别记为事件B,C,D,E,则P(C)=0.28,P(D)=0.19,P(E)=0.29.
因为事件C,D,E彼此互斥,
所以P(C∪D∪E)=P(C)+P(D)+P(E)=0.28+0.19+0.29=0.76.
又因为事件B与事件C∪D∪E为对立事件,故
P(B)=1-P(C∪D∪E)
=1-0.76
=0.24.
而事件B与事件C互斥,且A=B∪C,
因此P(A)=P(B∪C)
=P(B)+P(C)
=0.24+0.28
=0.52.
故这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环的概率为0.52.
·解题策略·
(1)应用互斥事件的概率加法公式的注意事项
运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.
(2)对于比较复杂的事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解.
[变式训练] 某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.
1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券中奖的概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
题型三　概率性质的综合运用
[例3] 一个不透明的盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取 1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
【解】 (1)由题意知,(a,b,c)所有的样本点为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),
(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27个.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包含的样本点有(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3个.
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
·解题策略·
当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时,可以通过逻辑推理,找到所求事件的对立事件,利用对立事件的概率公式求解.
[变式训练] 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
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【课程标准要求】　1.理解概率的基本性质,会利用概率的基本性质解决简单问题.2.类比函数性质的研究内容和方法,提出概率基本性质的研究内容和方法.3.经历具体实例的探究过程,归纳出概率的基本性质,提升逻辑推理素养.
知识点　概率的性质
一般地,概率有如下性质:
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
对概率性质的理解
(1)在同一试验中,对任意两个事件A,B,只有A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
(2)对于任意事件A,事件A的概率的范围是0≤P(A)≤1.
基础自测
1.在一个试验中,若P(A+B)=P(A)+P(B)=1,事件A与事件B的关系是(　　)
[A] 互斥不对立 [B] 对立不互斥
[C] 互斥且对立 [D] 以上答案都不对
【答案】 C
2.已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为P(B)=1-P()=,
又事件A,B是互斥事件,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故选C.
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2,从3个红球、2个白球中任取3个球,则样本空间Ω={(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),
(a2,b1,b2),(a3,b1,b2)},共10个样本点,样本点出现的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.用事件A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的样本点有1个(a1,a2,a3),所以P()=.故P(A)=1-P()=1-=.故选D.
4.某乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么该队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 由于事件“该队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算,即该队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.
题型一　概率的基本性质
[例1] 若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不为0,且P(A)=2-3a,P(B)=2a-,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] [,)
【答案】 D
【解析】 因为A,B互斥,且A,B发生的概率均不为0,
所以
解得≤a<,所以实数a的取值范围是[,).故选D.
(1)求解与概率中的参数有关的问题,首先应明确概率的范围是P(A)∈[0,1],而对于多个含有相同参数的概率的问题,要同时满足这一条件.
(2)由于本例中随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不为0,因此概率的范围是(0,1).
[变式训练] 已知事件A与事件B是互斥事件,A,B发生的概率均不为0,则(　　)
[A] P(∩)=0
[B] P(A∩B)=P(A)P(B)
[C] P(A)=1-P(B)
[D] P(∪)=1
【答案】 D
【解析】 因为事件A与事件B是互斥事件,所以,不一定是互斥事件,所以P(∩)不一定为0,故A错误;
因为事件A与事件B是互斥事件,所以A∩B= ,则P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不为0,故B错误;
因为事件A与事件B是互斥事件,不一定是对立事件,故C错误;
因为事件A与事件B是互斥事件,∪是必然事件,所以P(∪)=1,故D正确.故选D.
题型二　互斥事件与对立事件概率公式的应用
[例2] 一名射箭运动员在一次射箭中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环(最高环数)的概率.
【解】 将该射箭运动员在一次射箭中“命中10环或9环”记为事件A,将其“命中10环”“命中9环”“命中8环”“命中不够8环”分别记为事件B,C,D,E,则P(C)=0.28,P(D)=0.19,P(E)=0.29.
因为事件C,D,E彼此互斥,
所以P(C∪D∪E)=P(C)+P(D)+P(E)
=0.28+0.19+0.29
=0.76.
又因为事件B与事件C∪D∪E为对立事件,故
P(B)=1-P(C∪D∪E)
=1-0.76
=0.24.
而事件B与事件C互斥,且A=B∪C,
因此P(A)=P(B∪C)
=P(B)+P(C)
=0.24+0.28
=0.52.
故这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环的概率为0.52.
(1)应用互斥事件的概率加法公式的注意事项
运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.
(2)对于比较复杂的事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解.
[变式训练] 某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券中奖的概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【解】 (1)由题意知,P(A)=,
P(B)==,P(C)==.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M,
则M=A∪B∪C.
因为A,B,C两两互斥,
所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
故1张奖券中奖的概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
题型三　概率性质的综合运用
[例3] 一个不透明的盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取 1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
【解】 (1)由题意知,(a,b,c)所有的样本点为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),
(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),
(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27个.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包含的样本点有(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3个.
所以P(A)==.
即“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B的对立事件包含的样本点有(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3个.
所以P(B)=1-P()=1-=.
即“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时,可以通过逻辑推理,找到所求事件的对立事件,利用对立事件的概率公式求解.
[变式训练] 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【解】 (1)分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.
由题图知3支球队共有队员20名.
则P(A)==,P(B)=,P(C)==.
令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.
则D=A+B+C,因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(D)=P(A+B+C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=++=.
(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,
则为“抽取一名队员,该队员属于三支球队”,
所以P(E)=1-P()=1-=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若A,B为互斥事件,则(　　)
[A] P(A)+P(B)<1 [B] P(A)+P(B)>1
[C] P(A)+P(B)=1 [D] P(A)+P(B)≤1
【答案】 D
【解析】 由互斥事件概率加法公式得P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.
故选D.
2.掷两枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”,事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”,则(　　)
[A] A与B互为对立事件
[B] A与B互斥
[C] P(A)=P(B)
[D] A=B
【答案】 C
【解析】 因为事件A,B可以同时发生,所以A与B不是互斥事件,也不是对立事件.因为事件A,B包含的样本点不一样,所以事件A,B不相等.因为 P(A)==,P(B)==,所以P(A)=P(B).
故选C.
3.不透明的口袋内装有编号为1,2,3的卡片各若干张,从中随机取出一张,若编号为1的概率为0.5,编号为2的概率为0.3,则编号为奇数的概率为(　　)
[A] 0.3 [B] 0.5 [C] 0.7 [D] 0.8
【答案】 C
【解析】 设“编号为1,2,3”分别为事件A1,A2,A3,“编号为奇数”为事件C.因为P(A1)=0.5,
P(A2)=0.3,所以P(A3)=1-0.5-0.3=0.2,所以 P(C)=P(A1+A3)=P(A1)+P(A3)=0.5+0.2=0.7.故选C.
4.已知事件A,B互斥,A,B都不发生的概率为,且P(A)=3P(B),则P()等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为事件A,B互斥,A,B都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.又P(A)=3P(B),解得P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(A)=1-=.故选C.
5.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个,从中随机取出1个,若是肉馅包子的概率为,不是豆沙馅包子的概率为,则素馅包子的个数为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 C
【解析】 由题意可知,肉馅包子的个数为10×=4.从中随机取出1个,不是豆沙馅包子的概率为,则该包子是豆沙馅的概率为1-=,所以豆沙馅包子的个数为10×=3.因此,素馅包子的个数为10-4-3=3.故选C.
6.(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的有(　　)
[A] 甲获胜的概率是
[B] 甲不输的概率是
[C] 乙输的概率是
[D] 乙不输的概率是
【答案】 BCD
【解析】 “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是1--=,故A正确;设“甲不输”为事件A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=
,故B错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C错误;设“乙不输”为事件B,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D错误.故选BCD.
7.(5分)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是　　　　　　.
【答案】 (,]
【解析】 因为随机事件A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=3a-3,依题意及概率的性质得即解得8.(5分)某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概率如下表所示:
月收入 [1 000, 1 500) [1 500, 2 000) [2 000, 2 500) [2 500, 3 000)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000,3 000)内的概率为0.67,则月收入在[1 500,3 000)内的概率为　　　　.
【答案】 0.55
【解析】 记这个商店月收入在[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500),[2 500,3 000)内分别为事件A,B,C,D,
因为事件A,B,C,D互斥,
且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,
所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.67-0.12=0.55.
9.(13分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
【解】 (1)设A=“有2人及以下外出家访”,B=“有3人外出家访”,C=“有4人外出家访”,D=“有5人外出家访”,E=“有6人及以上外出家访”,它们彼此互斥,
则“有4人或5人外出家访”的事件为C+D.
根据互斥事件的概率加法公式
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)“至少有3人外出家访”的对立事件为“有2人及以下外出家访”,所以由对立事件的概率公式P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.(14分)不透明的袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率;
(2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率.
【解】 (1)记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A,B,C,D,它们彼此
互斥,
则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.
则
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D,由互斥事件的概率加法公式得
P(A∪D)=P(A)+P(D)=+=,
故得到的不是红球也不是绿球的概率
P=1-P(A∪D)=1-=.
11.(多选题)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为a,b,记m=|a-b|,则下列说法错误的有(　　)
[A] 事件“m=2”的概率为
[B] 事件“m是奇数”的概率为
[C] 事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件
[D] 事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件
【答案】 AC
【解析】 由题意知,所有的样本点为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,对于A,事件“m=2”包含的样本点有(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4),共8个,
所以事件“m=2”的概率为=,即A错误;
对于B,事件“m是奇数”有18个样本点,
因此事件“m是奇数”的概率为,即B正确;
对于C,易知m的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,
可知事件“m=2”与“m≠3”可以同时发生,即C错误;
对于D,若a=b,则m=0,此时m是偶数,
因此“m是奇数”与“a=b”不可能同时发生,互为互斥事件,即D正确.
故选AC.
12.(5分)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知P(A)==,
P(B)==,P(A∩B)==,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
13.(16分)班级联欢时,主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目,指定3个男生和2个女生来参与.把五个人编号为1,2,3,4,5,其中编号1,2,3是男生,编号4,5是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上,放入一个不透明的箱子中,并搅拌均匀,每次从中随机取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目.
(1)为了选出2人来表演双人舞,连续抽取2张卡片,求选出的2人不全是男生的概率.
(2)为了确定表演独唱和独奏的人选,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充分混合后再从中抽取第二张卡片,求:
①独唱和独奏由同一个人表演的概率;
②选出的不全是男生的概率.
【解】 把抽取的2张卡片的结果记为(i,j),其中i表示第一次抽取的卡片编号,j表示第二次抽取的卡片编号.
(1)依题意可知抽取的所有样本点为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
共20个.因为每次都是随机抽取,所以可以认为每个样本点出现的可能性相等,从而用古典概型来解决.
用事件A表示“选出的2人不全是男生”.
法一　依题意知事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共14个.因此,P(A)==.
法二　依题意知事件A的对立事件“选出的 2人全是男生”包含的样本点有(1,2),(1,3),
(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个.
因此,P(A)=1-P()=1-=,
即选出的2人不全是男生的概率为.
(2)抽取的所有样本点为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),
共25个.因为每次都是随机抽取,所以可以认为每个样本点出现的可能性相等,从而用古典概型来解决.
①设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”,则事件B包含的样本点有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),
(5,5),共5个.因此,P(B)==,
即独唱和独奏由同一个人表演的概率为.
②设事件C表示“选出的不全是男生”,其对立事件表示“选出的全是男生”,包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9个.
因此,P(C)=1-P()=1-=,
即选出的不全是男生的概率为.10.1.4　概率的基本性质
【课程标准要求】　1.理解概率的基本性质,会利用概率的基本性质解决简单问题.2.类比函数性质的研究内容和方法,提出概率基本性质的研究内容和方法.3.经历具体实例的探究过程,归纳出概率的基本性质,提升逻辑推理素养.
知识点　概率的性质
一般地,概率有如下性质:
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
对概率性质的理解
(1)在同一试验中,对任意两个事件A,B,只有A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
(2)对于任意事件A,事件A的概率的范围是0≤P(A)≤1.
基础自测
1.在一个试验中,若P(A+B)=P(A)+P(B)=1,事件A与事件B的关系是(　　)
[A] 互斥不对立 [B] 对立不互斥
2.已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
又事件A,B是互斥事件,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故选C.
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(a2,b1,b2),(a3,b1,b2)},共10个样本点,样本点出现的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.用事件A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的样本点有1个(a1,a2,a3),所以P()=.故P(A)=1-P()=1-=.故选D.
4.某乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么该队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
题型一　概率的基本性质
[例1] 若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不为0,且P(A)=2-3a,P(B)=2a-,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] [,)
所以
解得≤a<,所以实数a的取值范围是[,).故选D.
(1)求解与概率中的参数有关的问题,首先应明确概率的范围是P(A)∈[0,1],而对于多个含有相同参数的概率的问题,要同时满足这一条件.
(2)由于本例中随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不为0,因此概率的范围是(0,1).
[变式训练] 已知事件A与事件B是互斥事件,A,B发生的概率均不为0,则(　　)
[A] P(∩)=0
[B] P(A∩B)=P(A)P(B)
[C] P(A)=1-P(B)
[D] P(∪)=1
因为事件A与事件B是互斥事件,所以A∩B= ,则P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不为0,故B错误;
因为事件A与事件B是互斥事件,不一定是对立事件,故C错误;
因为事件A与事件B是互斥事件,∪是必然事件,所以P(∪)=1,故D正确.故选D.
题型二　互斥事件与对立事件概率公式的应用
[例2] 一名射箭运动员在一次射箭中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环(最高环数)的概率.
因为事件C,D,E彼此互斥,
所以P(C∪D∪E)=P(C)+P(D)+P(E)
=0.28+0.19+0.29
=0.76.
又因为事件B与事件C∪D∪E为对立事件,故
P(B)=1-P(C∪D∪E)
=1-0.76
=0.24.
而事件B与事件C互斥,且A=B∪C,
因此P(A)=P(B∪C)
=P(B)+P(C)
=0.24+0.28
=0.52.
故这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环的概率为0.52.
(1)应用互斥事件的概率加法公式的注意事项
运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.
(2)对于比较复杂的事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解.
[变式训练] 某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券中奖的概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
P(B)==,P(C)==.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M,
则M=A∪B∪C.
因为A,B,C两两互斥,
所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
故1张奖券中奖的概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
题型三　概率性质的综合运用
[例3] 一个不透明的盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取 1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),
(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27个.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包含的样本点有(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3个.
所以P(A)==.
即“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B的对立事件包含的样本点有(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3个.
所以P(B)=1-P()=1-=.
即“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时,可以通过逻辑推理,找到所求事件的对立事件,利用对立事件的概率公式求解.
[变式训练] 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
由题图知3支球队共有队员20名.
则P(A)==,P(B)=,P(C)==.
令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.
则D=A+B+C,因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(D)=P(A+B+C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=++=.
(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,
则为“抽取一名队员,该队员属于三支球队”,
所以P(E)=1-P()=1-=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若A,B为互斥事件,则(　　)
[A] P(A)+P(B)<1 [B] P(A)+P(B)>1
[C] P(A)+P(B)=1 [D] P(A)+P(B)≤1
故选D.
2.掷两枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”,事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”,则(　　)
[A] A与B互为对立事件
[B] A与B互斥
[C] P(A)=P(B)
[D] A=B
故选C.
3.不透明的口袋内装有编号为1,2,3的卡片各若干张,从中随机取出一张,若编号为1的概率为0.5,编号为2的概率为0.3,则编号为奇数的概率为(　　)
[A] 0.3 [B] 0.5 [C] 0.7 [D] 0.8
P(A2)=0.3,所以P(A3)=1-0.5-0.3=0.2,所以 P(C)=P(A1+A3)=P(A1)+P(A3)=0.5+0.2=0.7.故选C.
4.已知事件A,B互斥,A,B都不发生的概率为,且P(A)=3P(B),则P()等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
5.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个,从中随机取出1个,若是肉馅包子的概率为,不是豆沙馅包子的概率为,则素馅包子的个数为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
6.(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的有(　　)
[A] 甲获胜的概率是
[B] 甲不输的概率是
[C] 乙输的概率是
[D] 乙不输的概率是
,故B错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C错误;设“乙不输”为事件B,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D错误.故选BCD.
7.(5分)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是　　　　　　.
8.(5分)某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概率如下表所示:
月收入 [1 000, 1 500) [1 500, 2 000) [2 000, 2 500) [2 500, 3 000)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000,3 000)内的概率为0.67,则月收入在[1 500,3 000)内的概率为　　　　.
因为事件A,B,C,D互斥,
且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,
所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.67-0.12=0.55.
9.(13分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
则“有4人或5人外出家访”的事件为C+D.
根据互斥事件的概率加法公式
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)“至少有3人外出家访”的对立事件为“有2人及以下外出家访”,所以由对立事件的概率公式P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.(14分)不透明的袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率;
(2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率.
互斥,
则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.
则
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D,由互斥事件的概率加法公式得
P(A∪D)=P(A)+P(D)=+=,
故得到的不是红球也不是绿球的概率
P=1-P(A∪D)=1-=.
11.(多选题)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为a,b,记m=|a-b|,则下列说法错误的有(　　)
[A] 事件“m=2”的概率为
[B] 事件“m是奇数”的概率为
[C] 事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件
[D] 事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,对于A,事件“m=2”包含的样本点有(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4),共8个,
所以事件“m=2”的概率为=,即A错误;
对于B,事件“m是奇数”有18个样本点,
因此事件“m是奇数”的概率为,即B正确;
对于C,易知m的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,
可知事件“m=2”与“m≠3”可以同时发生,即C错误;
对于D,若a=b,则m=0,此时m是偶数,
因此“m是奇数”与“a=b”不可能同时发生,互为互斥事件,即D正确.
故选AC.
12.(5分)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=　　　　.
P(B)==,P(A∩B)==,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
13.(16分)班级联欢时,主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目,指定3个男生和2个女生来参与.把五个人编号为1,2,3,4,5,其中编号1,2,3是男生,编号4,5是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上,放入一个不透明的箱子中,并搅拌均匀,每次从中随机取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目.
(1)为了选出2人来表演双人舞,连续抽取2张卡片,求选出的2人不全是男生的概率.
(2)为了确定表演独唱和独奏的人选,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充分混合后再从中抽取第二张卡片,求:
①独唱和独奏由同一个人表演的概率;
②选出的不全是男生的概率.
(1)依题意可知抽取的所有样本点为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
共20个.因为每次都是随机抽取,所以可以认为每个样本点出现的可能性相等,从而用古典概型来解决.
用事件A表示“选出的2人不全是男生”.
法一　依题意知事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共14个.因此,P(A)==.
法二　依题意知事件A的对立事件“选出的 2人全是男生”包含的样本点有(1,2),(1,3),
(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个.
因此,P(A)=1-P()=1-=,
即选出的2人不全是男生的概率为.
(2)抽取的所有样本点为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),
共25个.因为每次都是随机抽取,所以可以认为每个样本点出现的可能性相等,从而用古典概型来解决.
①设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”,则事件B包含的样本点有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),
(5,5),共5个.因此,P(B)==,
即独唱和独奏由同一个人表演的概率为.
②设事件C表示“选出的不全是男生”,其对立事件表示“选出的全是男生”,包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9个.
因此,P(C)=1-P()=1-=,
即选出的不全是男生的概率为.

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