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【课程标准要求】　1.理解两个事件相互独立的概念.2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.3.通过对实例的分析,会进行简单的应用.
知识点　相互独立事件
1.概念
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.
知识拓展
　与相互独立事件A,B有关的概率计算公式如下表
事件A,B相 互独立 概率计算公式
A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B)
A,B同时不发生 P( )=P()P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
A,B至少有一个不发生 P( +B+A)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
A,B至少有一个发生 P(AB+B+A)=1- P( )=1-P()P()= P(A)+P(B)-P(A)P(B)
A,B恰有一个发生 P(A+B)=P(A)P()+ P()P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
基础自测
1.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球,用A1表示“第1次摸到白球”,A2表示“第2次摸到白球”,则A1与A2(　　)
[A] 是互斥事件
[B] 是相互独立事件
[C] 是对立事件
[D] 不是相互独立事件
【答案】 D
【解析】 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件,故A,C错误.事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响,故两者不是相互独立事件,故B错误,D正确.故选D.
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
[A] 1 [B] 0.629
[C] 0 [D] 0.74或0.85
【答案】 B
【解析】 设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断”为事件B,则P(A)=0.85,P(B)=0.74,由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.85×0.74=0.629.故选B.
3.从应届高中毕业生中选飞行员,已知这批学生体形合格的概率为,视力合格的概率为,其他综合标准合格的概率为,从中任选一名学生,则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意知三项标准互不影响,
所以P=××=.故选B.
4.加工某一零件需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为　 .
【答案】
【解析】 加工出来的零件的正品率是(1-)×(1-)×(1-)=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.
题型一　相互独立性的判断
[例1] (苏教版必修第二册P295例1)一只不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的 3个球.
(1)“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
(2)“从口袋内无放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内无放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件.
【解】 法一　(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},
A={(1,1),(1,2),(1,3)},
B={(1,2),(2,2),(3,2)}.
若A发生,则B发生的概率为;
若A不发生,则B发生的概率为=.
可见,事件A发生与否不影响事件B发生的概率,因此,A,B相互独立.
(2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
A={(1,2),(1,3)},
B={(1,2),(3,2)}.
若A发生,则B发生的概率为;
若A不发生,则B发生的概率为.
可见,事件A发生与否影响事件B发生的概率,因此,A,B不相互独立.
法二　(1)P(A)==,P(B)==.
又因为AB={(1,2)},所以P(AB)=,
从而P(AB)=P(A)P(B).
因此,A,B为相互独立事件.
(2)因为P(A)==,P(B)==,
P(AB)=,
所以P(AB)≠P(A)P(B).
因此,A,B不是相互独立事件.
事件的独立性的判断
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
[变式训练] 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则(　　)
[A] 甲与乙相互独立 [B] 乙与丙相互独立
[C] 甲与丙相互独立 [D] 乙与丁相互独立
【答案】 A
【解析】 由题意得,P(甲)=,P(乙)=,
P(丙)==, P(丁)==.
对于A,P(甲乙)=,P(甲)×P(乙)=P(甲乙),所以甲与乙相互独立,故A正确;
对于B,P(乙丙)=,P(乙)×P(丙)≠P(乙丙),所以乙与丙不相互独立,故B不正确;
对于C,P(甲丙)=,P(甲)×P(丙)≠P(甲丙),所以甲与丙不相互独立,故C不正确;
对于D,P(乙丁)=,P(乙)×P(丁)≠P(乙丁),所以乙与丁不相互独立,故D不正确.故选A.
题型二　相互独立事件的概率计算
[例2] 甲、乙两人练习射击,甲命中的概率为0.8,乙命中的概率为0.7,两人同时射击,且中靶与否相互独立,求:
(1)甲或乙命中的概率;
(2)甲中、乙不中的概率;
(3)甲不中、乙中的概率.
【解】 设A=“甲命中”,B=“乙命中”,
则A∪B=“甲或乙命中”,A=“甲中、乙不中”,B=“甲不中、乙中”,且P(A)=0.8,P(B)=0.7.
(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.94.
(2)P(A)=P(A)P()=0.8×0.3=0.24.
(3)P(B)=P()P(B)=0.2×0.7=0.14.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的.
(2)求出每个事件的概率,再求积.
[变式训练] 某市男子乒乓球队为备战下届市运会,在某训练基地进行封闭式训练,甲、乙两名队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
【解】 (1)设“甲发球甲赢”为事件A,“乙发球甲赢”为事件B,“该局打4个球甲赢”为事件C,
由题知,P(A)=,P(B)=,所以C=AAB,
所以P(C)=P(AAB)=P(A)P()P(A)P(B)=×××=,
所以该局打4个球甲赢的概率为.
(2)设“该局打5个球结束时甲赢”为事件D,“该局打5个球结束时乙赢”为事件E,“打5个球结束”为事件F,易知D,E为互斥事件,
D=BBA,E=A A ,F=D∪E,
所以P(D)=P(BBA)
=P()P(B)P()P(B)P(A)
=(1-)××(1-)××
=,
P(E)=P(AA )
=P(A)P()P(A)P()P()
=×(1-)××(1-)×(1-)
=,
所以P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)
=+
=,
所以该局打5个球结束的概率为.
题型三　相互独立事件与互斥事件的综合应用
[例3] (人教B版必修第二册P119例2)已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少
【解】 (1)记事件A:甲投中,B:乙投中,因为A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,即都命中的概率为0.56.
(2)记事件Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,则
P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即A1+A2,
注意到A1与A2相互独立,且A1与A2互斥,因此
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]·P(A2)
=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7
=0.42.
求较为复杂事件的概率的步骤
(1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示.
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
[变式训练] 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都合格者,则计算机考试合格,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
【解】 (1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则
P(A)=×=,P(B)=×=,
P(C)=×=.
因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,
由题易知三人是否获得合格证书相互独立,则
P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××
=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.掷一枚质地均匀的骰子一次,设事件A为“掷出偶数点”,事件B为“掷出3点或6点”,则事件A,B的关系是(　　)
[A] 互斥
[B] 对立
[C] 相互独立
[D] 既不相互独立也不互斥
【答案】 C
【解析】 事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},所以P(A)==,
P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B相互独立;当“掷出6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.
故选C.
2.已知事件A,B相互独立,P(A)=,P(B)=,则P(AB)等于(　　)
[A] [B] [C] [D] 1
【答案】 A
【解析】 事件A,B相互独立,
P(A)=,P(B)=,
所以P(AB)=P(A)P(B)=×=.故选A.
3.甲、乙两人独立地攻克一道难题,已知两人能攻克的概率分别是,,则该题被攻克的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为该题未被攻克的概率为(1-)×(1-)=,所以该题被攻克的概率为1-=.故选B.
4.从集合{1,2,3,4,5}中依次不放回地任取两个数,记事件A=“第一次取出的数是1”,事件B=“取出的两个数之和为7”,下列说法错误的是(　　)
[A] P(A)=,P(B)=
[B] A∩B为不可能事件
[C] 事件A,B相互独立
[D] P(A∪B)=P(A)+P(B)
【答案】 C
【解析】 从集合{1,2,3,4,5}中依次不放回地任取两个数,若用(a,b)表示第一次取出的数是a,第二次取出的数是b,
则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
则A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)},
B={(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)}.
对于A,因为P(A)==,P(B)==,故 A正确,不合题意;
对于B,因为A∩B= ,故A∩B为不可能事件,故B正确,不合题意;
对于C,因为A∩B= ,所以P(A∩B)=0,则 P(A∩B)≠P(A)·P(B),即事件A,B不相互独立,故 C错误,符合题意;
对于D,因为A∩B= ,所以必有P(A∪B)=P(A)+P(B),故D正确,不合题意.
故选C.
5.抛一枚质地均匀的骰子两次,设事件N表示“第二次朝上的数字为偶数”,则下列事件中与事件N相互独立的是(　　)
[A] 第二次朝上的数字是奇数
[B] 第二次朝上的数字为2
[C] 两次朝上的数字之和为9
[D] 两次朝上的数字之和为10
【答案】 C
【解析】 由题意,若用(a,b)表示第一次朝上的数字为a,第二次朝上的数字为b,则样本空间
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
则事件N={(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),
(6,2),(6,4),(6,6)},共 18个样本点,则P(N)==,
设事件M为第二次朝上的数字是奇数,则事件M与事件N是对立事件,故A不符合题意;
设事件F为第二次朝上的数字为2,则F N,故B不符合题意;
设事件E为两次朝上的数字之和为9,则E={(6,3),(3,6),(5,4),(4,5)},共4个样本点,则 P(E)==,且EN={(3,6),(5,4)},则 P(EN)==,P(EN)=P(N)P(E),所以事件E与事件N相互独立,故C符合题意;
设事件Q为两次朝上的数字之和为10,则Q={(6,4),(4,6),(5,5)},则P(Q)==,
且NQ={(6,4),(4,6)},则P(NQ)==,因为P(NQ)≠P(N)P(Q),所以事件Q与事件N不相互独立,故D不符合题意.故选C.
6. (多选题)甲、乙两名志愿者均打算去a,b,c三个考点中的一个考点做服务,甲去a,b考点做服务的概率分别为 0.4,0.3,乙去b,c考点做服务的概率分别为 0.5,0.2,则(　　)
[A] 甲去c考点做服务的概率为0.3
[B] 甲去a考点、乙不去c考点做服务的概率为0.32
[C] 甲、乙同去c考点做服务的概率为0.15
[D] 甲、乙不去同一考点做服务的概率为0.67
【答案】 ABD
【解析】 对于A,甲去c考点做服务的概率为1-0.4-0.3=0.3,故A正确;
对于B,甲去a考点、乙不去c考点做服务的概率为0.4×(1-0.2)=0.32,故B正确;
对于C,甲、乙同去c考点做服务的概率为0.3×0.2=0.06,故C错误;
对于D,乙去a考点做服务的概率为1-0.5-0.2=0.3,
甲、乙不去同一考点做服务的概率为1-(0.4×0.3+0.3×0.5+0.3×0.2)=0.67,故D正确.故选ABD.
7.(5分)已知生产某零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p,每道工序是否产生废品相互独立.若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,则p=　　　　.
【答案】 0.03
【解析】 由题意,得(1-0.01)(1-p)=0.960 3,解得p=0.03.
8.(5分)已知在8个电子元件中,有3个次品,5个合格品,每次任取一个测试,每次测试结果互不影响,测试完后不再放回,直到3个次品都找到为止,则经过4次测试恰好将3个次品全部找出的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意可得,前3次抽到了2个次品,1个合格品,且第4次抽到第3个次品,结合相互独立事件的概率乘法公式,
所求概率P=×××+×××+×××=.
9.(13分)据某保险公司统计,某地车主购买车损险的概率为0.5,购买第三者责任险的概率为 0.6,购买两种保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买车损险与第三者责任险的概率;
(2)求一位车主购买第三者责任险但不购买车损险的概率.
【解】 记A表示事件“购买车损险”,B表示事件“购买第三者责任险”,由题意,得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买车损险与第三者责任险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买第三者责任险但不购买车损险”,则D=B,
所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
10.(14分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求P;
(2)求电流能在M与N之间通过的概率.
【解】 记事件Ai表示“电流能通过Ti”,i=1,2,3,4,事件A表示“T1,T2,T3中至少有一个能通过电流”,事件B表示“电流能在M与N之间通过”.
(1)=,A1,A2,A3相互独立,
所以P()=P()=P()P()P()=(1-P)3.
又P()=1-P(A)=1-0.999=0.001,
所以(1-P)3=0.001,解得P=0.9.
(2)因为B=A4+A1A3+A2A3,
所以P(B)=P(A4)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A4)+P()P(A1)P(A3)+P()P()·P(A2)P(A3)
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.989 1.
11.(多选题)已知事件A,B发生的概率分别为 P(A)=,P(B)=,则(　　)
[A] 若A与B互斥,则P(A∪B)=
[B] 若A与B相互独立,则P(AB)=
[C] 若A与B相互独立,则P(A)=
[D] 若A与B相互独立,则P(A∪B)=
【答案】 ACD
【解析】 对于A,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=,故A正确;对于B,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=,故B错误;对于C,若A与B相互独立,则A与相互独立,
则P(A)=P(A)P()=,故C正确;对于D,若A与B相互独立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=,故D正确.故选ACD.
12.(5分)某自助银行有A,B,C,D四台ATM,在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为,,,.
(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为　　　　;
(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为　　　　.
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)该客户需要等待意味着A与B同时被占用,故所求概率为×=.
(2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为
×××+×××+×××+×××+×××+×××=.
13.(16分)已知甲、乙两人进行台球比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得0分.已知每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛结果相互独立.设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”.
(1)若进行三局比赛,求“甲至少胜2局”的概率;
(2)若规定多得两分的一方赢得比赛.记“甲赢得比赛”为事件M,最多进行6局比赛,求P(M).
【解】 (1)记“甲至少胜2局”为事件D,
则D=AAA∪AAB∪ABA∪BAA,
因为AAA,AAB,ABA,BAA互斥,
所以P(D)=P(AAA)+P(AAB)+P(ABA)+P(BAA)=()3+3×()2×=.
(2)若比赛最多进行6局,甲赢得比赛包括以下3种情况:比赛进行2局甲赢得比赛,比赛进行4局甲赢得比赛,比赛进行6局甲赢得比赛.
设Mi=“比赛进行2i局甲赢得比赛”(i=1,2,3),
则P(M1)=P(AA)=()2=,
P(M2)=P(AB∪BA)P(AA)=2×××()2=×,
P(M3)=P2(AB∪BA)P(AA)=×()2,
因为M=M1∪M2∪M3,且M1,M2,M3互斥,
所以P(M)=P(M1)+P(M2)+P(M3)==×(1-)=.【课程标准要求】　1.理解两个事件相互独立的概念.2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.3.通过对实例的分析,会进行简单的应用.
知识点　相互独立事件
1.概念
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.
知识拓展
　与相互独立事件A,B有关的概率计算公式如下表
事件A,B相 互独立 概率计算公式
A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B)
A,B同时不发生 P( )=P()P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
A,B至少有一个不发生 P( +B+A)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
A,B至少有一个发生 P(AB+B+A)=1- P( )=1-P()P()= P(A)+P(B)-P(A)P(B)
A,B恰有一个发生 P(A+B)=P(A)P()+ P()P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
基础自测
1.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球,用A1表示“第1次摸到白球”,A2表示“第2次摸到白球”,则A1与A2(　　)
[A] 是互斥事件
[B] 是相互独立事件
[C] 是对立事件
[D] 不是相互独立事件
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
[A] 1 [B] 0.629
[C] 0 [D] 0.74或0.85
3.从应届高中毕业生中选飞行员,已知这批学生体形合格的概率为,视力合格的概率为,其他综合标准合格的概率为,从中任选一名学生,则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
[A] [B] [C] [D]
所以P=××=.故选B.
4.加工某一零件需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为　 .
题型一　相互独立性的判断
[例1] (苏教版必修第二册P295例1)一只不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的 3个球.
(1)“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
(2)“从口袋内无放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内无放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件.
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},
A={(1,1),(1,2),(1,3)},
B={(1,2),(2,2),(3,2)}.
若A发生,则B发生的概率为;
若A不发生,则B发生的概率为=.
可见,事件A发生与否不影响事件B发生的概率,因此,A,B相互独立.
(2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
A={(1,2),(1,3)},
B={(1,2),(3,2)}.
若A发生,则B发生的概率为;
若A不发生,则B发生的概率为.
可见,事件A发生与否影响事件B发生的概率,因此,A,B不相互独立.
法二　(1)P(A)==,P(B)==.
又因为AB={(1,2)},所以P(AB)=,
从而P(AB)=P(A)P(B).
因此,A,B为相互独立事件.
(2)因为P(A)==,P(B)==,
P(AB)=,
所以P(AB)≠P(A)P(B).
因此,A,B不是相互独立事件.
事件的独立性的判断
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
[变式训练] 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则(　　)
[A] 甲与乙相互独立 [B] 乙与丙相互独立
[C] 甲与丙相互独立 [D] 乙与丁相互独立
P(丙)==, P(丁)==.
对于A,P(甲乙)=,P(甲)×P(乙)=P(甲乙),所以甲与乙相互独立,故A正确;
对于B,P(乙丙)=,P(乙)×P(丙)≠P(乙丙),所以乙与丙不相互独立,故B不正确;
对于C,P(甲丙)=,P(甲)×P(丙)≠P(甲丙),所以甲与丙不相互独立,故C不正确;
对于D,P(乙丁)=,P(乙)×P(丁)≠P(乙丁),所以乙与丁不相互独立,故D不正确.故选A.
题型二　相互独立事件的概率计算
[例2] 甲、乙两人练习射击,甲命中的概率为0.8,乙命中的概率为0.7,两人同时射击,且中靶与否相互独立,求:
(1)甲或乙命中的概率;
(2)甲中、乙不中的概率;
(3)甲不中、乙中的概率.
则A∪B=“甲或乙命中”,A=“甲中、乙不中”,B=“甲不中、乙中”,且P(A)=0.8,P(B)=0.7.
(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.94.
(2)P(A)=P(A)P()=0.8×0.3=0.24.
(3)P(B)=P()P(B)=0.2×0.7=0.14.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的.
(2)求出每个事件的概率,再求积.
[变式训练] 某市男子乒乓球队为备战下届市运会,在某训练基地进行封闭式训练,甲、乙两名队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
由题知,P(A)=,P(B)=,所以C=AAB,
所以P(C)=P(AAB)=P(A)P()P(A)P(B)=×××=,
所以该局打4个球甲赢的概率为.
(2)设“该局打5个球结束时甲赢”为事件D,“该局打5个球结束时乙赢”为事件E,“打5个球结束”为事件F,易知D,E为互斥事件,
D=BBA,E=A A ,F=D∪E,
所以P(D)=P(BBA)
=P()P(B)P()P(B)P(A)
=(1-)××(1-)××
=,
P(E)=P(AA )
=P(A)P()P(A)P()P()
=×(1-)××(1-)×(1-)
=,
所以P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)
=+
=,
所以该局打5个球结束的概率为.
题型三　相互独立事件与互斥事件的综合应用
[例3] (人教B版必修第二册P119例2)已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少
(2)记事件Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,则
P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即A1+A2,
注意到A1与A2相互独立,且A1与A2互斥,因此
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]·P(A2)
=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7
=0.42.
求较为复杂事件的概率的步骤
(1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示.
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
[变式训练] 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都合格者,则计算机考试合格,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
P(A)=×=,P(B)=×=,
P(C)=×=.
因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,
由题易知三人是否获得合格证书相互独立,则
P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××
=.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.掷一枚质地均匀的骰子一次,设事件A为“掷出偶数点”,事件B为“掷出3点或6点”,则事件A,B的关系是(　　)
[A] 互斥
[B] 对立
[C] 相互独立
[D] 既不相互独立也不互斥
P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B相互独立;当“掷出6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.
故选C.
2.已知事件A,B相互独立,P(A)=,P(B)=,则P(AB)等于(　　)
[A] [B] [C] [D] 1
P(A)=,P(B)=,
所以P(AB)=P(A)P(B)=×=.故选A.
3.甲、乙两人独立地攻克一道难题,已知两人能攻克的概率分别是,,则该题被攻克的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.从集合{1,2,3,4,5}中依次不放回地任取两个数,记事件A=“第一次取出的数是1”,事件B=“取出的两个数之和为7”,下列说法错误的是(　　)
[A] P(A)=,P(B)=
[B] A∩B为不可能事件
[C] 事件A,B相互独立
[D] P(A∪B)=P(A)+P(B)
则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
则A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)},
B={(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)}.
对于A,因为P(A)==,P(B)==,故 A正确,不合题意;
对于B,因为A∩B= ,故A∩B为不可能事件,故B正确,不合题意;
对于C,因为A∩B= ,所以P(A∩B)=0,则 P(A∩B)≠P(A)·P(B),即事件A,B不相互独立,故 C错误,符合题意;
对于D,因为A∩B= ,所以必有P(A∪B)=P(A)+P(B),故D正确,不合题意.
故选C.
5.抛一枚质地均匀的骰子两次,设事件N表示“第二次朝上的数字为偶数”,则下列事件中与事件N相互独立的是(　　)
[A] 第二次朝上的数字是奇数
[B] 第二次朝上的数字为2
[C] 两次朝上的数字之和为9
[D] 两次朝上的数字之和为10
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
则事件N={(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),
(6,2),(6,4),(6,6)},共 18个样本点,则P(N)==,
设事件M为第二次朝上的数字是奇数,则事件M与事件N是对立事件,故A不符合题意;
设事件F为第二次朝上的数字为2,则F N,故B不符合题意;
设事件E为两次朝上的数字之和为9,则E={(6,3),(3,6),(5,4),(4,5)},共4个样本点,则 P(E)==,且EN={(3,6),(5,4)},则 P(EN)==,P(EN)=P(N)P(E),所以事件E与事件N相互独立,故C符合题意;
设事件Q为两次朝上的数字之和为10,则Q={(6,4),(4,6),(5,5)},则P(Q)==,
且NQ={(6,4),(4,6)},则P(NQ)==,因为P(NQ)≠P(N)P(Q),所以事件Q与事件N不相互独立,故D不符合题意.故选C.
6. (多选题)甲、乙两名志愿者均打算去a,b,c三个考点中的一个考点做服务,甲去a,b考点做服务的概率分别为 0.4,0.3,乙去b,c考点做服务的概率分别为 0.5,0.2,则(　　)
[A] 甲去c考点做服务的概率为0.3
[B] 甲去a考点、乙不去c考点做服务的概率为0.32
[C] 甲、乙同去c考点做服务的概率为0.15
[D] 甲、乙不去同一考点做服务的概率为0.67
对于B,甲去a考点、乙不去c考点做服务的概率为0.4×(1-0.2)=0.32,故B正确;
对于C,甲、乙同去c考点做服务的概率为0.3×0.2=0.06,故C错误;
对于D,乙去a考点做服务的概率为1-0.5-0.2=0.3,
甲、乙不去同一考点做服务的概率为1-(0.4×0.3+0.3×0.5+0.3×0.2)=0.67,故D正确.故选ABD.
7.(5分)已知生产某零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p,每道工序是否产生废品相互独立.若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,则p=　　　　.
8.(5分)已知在8个电子元件中,有3个次品,5个合格品,每次任取一个测试,每次测试结果互不影响,测试完后不再放回,直到3个次品都找到为止,则经过4次测试恰好将3个次品全部找出的概率为　　　　.
所求概率P=×××+×××+×××=.
9.(13分)据某保险公司统计,某地车主购买车损险的概率为0.5,购买第三者责任险的概率为 0.6,购买两种保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买车损险与第三者责任险的概率;
(2)求一位车主购买第三者责任险但不购买车损险的概率.
(1)记C表示事件“同时购买车损险与第三者责任险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买第三者责任险但不购买车损险”,则D=B,
所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
10.(14分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求P;
(2)求电流能在M与N之间通过的概率.
(1)=,A1,A2,A3相互独立,
所以P()=P()=P()P()P()=(1-P)3.
又P()=1-P(A)=1-0.999=0.001,
所以(1-P)3=0.001,解得P=0.9.
(2)因为B=A4+A1A3+A2A3,
所以P(B)=P(A4)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A4)+P()P(A1)P(A3)+P()P()·P(A2)P(A3)
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.989 1.
11.(多选题)已知事件A,B发生的概率分别为 P(A)=,P(B)=,则(　　)
[A] 若A与B互斥,则P(A∪B)=
[B] 若A与B相互独立,则P(AB)=
[C] 若A与B相互独立,则P(A)=
[D] 若A与B相互独立,则P(A∪B)=
则P(A)=P(A)P()=,故C正确;对于D,若A与B相互独立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=,故D正确.故选ACD.
12.(5分)某自助银行有A,B,C,D四台ATM,在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为,,,.
(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为　　　　;
(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为　　　　.
(2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为
×××+×××+×××+×××+×××+×××=.
13.(16分)已知甲、乙两人进行台球比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得0分.已知每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛结果相互独立.设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”.
(1)若进行三局比赛,求“甲至少胜2局”的概率;
(2)若规定多得两分的一方赢得比赛.记“甲赢得比赛”为事件M,最多进行6局比赛,求P(M).
则D=AAA∪AAB∪ABA∪BAA,
因为AAA,AAB,ABA,BAA互斥,
所以P(D)=P(AAA)+P(AAB)+P(ABA)+P(BAA)=()3+3×()2×=.
(2)若比赛最多进行6局,甲赢得比赛包括以下3种情况:比赛进行2局甲赢得比赛,比赛进行4局甲赢得比赛,比赛进行6局甲赢得比赛.
设Mi=“比赛进行2i局甲赢得比赛”(i=1,2,3),
则P(M1)=P(AA)=()2=,
P(M2)=P(AB∪BA)P(AA)=2×××()2=×,
P(M3)=P2(AB∪BA)P(AA)=×()2,
因为M=M1∪M2∪M3,且M1,M2,M3互斥,
所以P(M)=P(M1)+P(M2)+P(M3)==×(1-)=.(共34张PPT)
10.2　事件的相互独立性
1.理解两个事件相互独立的概念.2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.3.通过对实例的分析,会进行简单的应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　相互独立事件
1.概念
对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.相互独立事件的性质
P(A)P(B)
B
『知识拓展』
与相互独立事件A,B有关的概率计算公式如下表
基础自测
1.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球,用A1表示“第1次摸到白球”,A2表示“第2次摸到白球”,则A1与A2(　　)
[A] 是互斥事件
[B] 是相互独立事件
[C] 是对立事件
[D] 不是相互独立事件
D
【解析】 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件,故A,C错误.事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响,故两者不是相互独立事件,故B错误,D正确.故选D.
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
[A] 1 [B] 0.629
[C] 0 [D] 0.74或0.85
B
【解析】 设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断”为事件B,则P(A)=0.85,
P(B)=0.74,由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.85×0.74=0.629.故选B.
B
关键能力·素养培优
题型一　相互独立性的判断
[例1] (苏教版必修第二册P295例1)一只不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的 3个球.
(1)“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
(2)“从口袋内无放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内无放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件.
【解】 法一　(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},
A={(1,1),(1,2),(1,3)},
B={(1,2),(2,2),(3,2)}.
·解题策略·
事件的独立性的判断
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
[变式训练] 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件
“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则(　　)
[A] 甲与乙相互独立 [B] 乙与丙相互独立
[C] 甲与丙相互独立 [D] 乙与丁相互独立
A
[例2] 甲、乙两人练习射击,甲命中的概率为0.8,乙命中的概率为0.7,两人同时射击,且中靶与否相互独立,求:
(1)甲或乙命中的概率;
题型二　相互独立事件的概率计算
(2)甲中、乙不中的概率;
(3)甲不中、乙中的概率.
·解题策略·
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的.
(2)求出每个事件的概率,再求积.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
题型三　相互独立事件与互斥事件的综合应用
[例3] (人教B版必修第二册P119例2)已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少
【解】 (1)记事件A:甲投中,B:乙投中,因为A与B相互独立,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,即都命中的概率为0.56.
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少
·解题策略·
求较为复杂事件的概率的步骤
(1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示.
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
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